نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني لدالة ﺩ. ما مدى الدالة؟
في هذا السؤال، لدينا التمثيل البياني للدالة ﺩ، ومطلوب منا إيجاد مدى هذه الدالة. لنفعل ذلك، علينا البدء بتذكر المقصود بمدى الدالة. نتذكر أنه عندما نقول «مدى دالة»، فإننا نقصد مجموعة كل المخرجات الممكنة لهذه الدالة. وهناك شيء علينا تسليط الضوء عليه في هذا التعريف. وهو أن مجموعة كل المخرجات الممكنة للدالة تعتمد على المدخلات المسموح بها. بعبارة أخرى، مدى الدالة يعتمد على مجال هذه الدالة.
إذن عندما يطلب منا السؤال إيجاد مدى هذه الدالة، فإننا نريد تحديد جميع المخرجات الممكنة للدالة لدينا. وعليه، سنفعل ذلك باستخدام التمثيل البياني. تذكر أنه في التمثيل البياني قيم ﺱ هي المدخلات، وقيم ﺽ هي مخرجات الدالة. وقبل البدء في إيجاد مدى الدالة لدينا، يمكننا أن نلاحظ بعض النقاط المهمة الخاصة بهذا التمثيل البياني.
أول ما يمكننا ملاحظته هو أن الدالة تتكون من أربع نقاط محددة فقط. لقد اعتدنا على رؤية دوال عبارة عن منحنيات أو خطوط. لكن في هذه الحالة الدالة عبارة عن أربع نقاط فقط. وكل نقطة من هذه النقاط تمثل قيمة مدخلة لـ ﺱ وقيمة مخرجة لـ ﺹ. إذن، نظرًا لوجود أربع نقاط فقط، فإن المجال لدينا سيتكون من أربع قيم مدخلة لـ ﺱ. وكما سنرى، هذا لا يعني بالضرورة أن المدى سيتكون من أربع قيم.
الشيء التالي الذي يمكننا ملاحظته هو أن المحورين لا يلتقيان عند نقطة الأصل. وهذا لن يغير شيئًا؛ لكن، من المفيد ملاحظة هذه المعلومة.
نحن الآن جاهزون لاستخدام التمثيل البياني لإيجاد مدى الدالة ﺩ. لنفعل ذلك، سنوجد المدخلات الممكنة للدالة، ثم نستخدم التمثيل البياني لإيجاد مخرجات الدالة. هيا نبدأ بالنقطة الموجودة في أقصى اليسار على الشكل. نلاحظ أن قيمة ﺱ عند هذه النقطة هي واحد. ما يعني أنه يمكننا إدخال القيمة واحد في الدالة لدينا. وتذكر أن الإحداثي ﺹ المناظر لهذه النقطة سيخبرنا بالقيمة المخرجة للدالة عند ﺱ يساوي واحدًا. ونرى أن هذا يساوي سالب اثنين. وعليه، فإن قيمة ﺩ عند واحد تساوي سالب اثنين. بذلك نكون قد أوضحنا أن سالب اثنين يقع في مدى الدالة لأنه قيمة مخرجة ممكنة.
لننتقل الآن إلى النقطة الثانية. وكما نرى فإن الإحداثي ﺱ لها يساوي اثنين. ومن ثم، فإن اثنين هو قيمة مدخلة ممكنة للدالة لدينا. مرة أخرى، يمكننا استخدام الإحداثي ﺹ لهذه النقطة لإيجاد قيمة ﺩ عند اثنين. والإحداثي ﺹ لهذه النقطة هو سالب ثلاثة. من ثم، من خلال التمثيل البياني لهذه الدالة علمنا أن قيمة ﺩ عند اثنين، لا بد أن تساوي سالب ثلاثة. وبالطبع، نعلم من هذا أن سالب ثلاثة أيضًا يقع في مدى الدالة لأنه قيمة مخرجة ممكنة للدالة لدينا.
يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه مع النقطة الثالثة. يمكننا أن نرى أن الإحداثي ﺱ لها يساوي ثلاثة. من ثم فإن ثلاثة هي قيمة مدخلة ممكنة للدالة. وتذكر أن هذا يعني أيضًا أن العدد ثلاثة يقع في مجال الدالة. والإحداثي ﺹ لهذه النقطة سيخبرنا بالقيمة المخرجة للدالة عند إدخال القيمة ثلاثة. نلاحظ أن الإحداثي ﺹ هنا يساوي صفرًا. من ثم، من خلال التمثيل البياني، نجد أن قيمة ﺩ عند ثلاثة تساوي صفرًا. مرة أخرى، يخبرنا هذا أن الصفر يقع في مدى الدالة لدينا.
لننتقل الآن إلى النقطة الرابعة والأخيرة. يمكننا أن نرى أن الإحداثي ﺱ لها يساوي أربعة. إذن، أربعة هو قيمة مدخلة ممكنة للدالة. بعبارة أخرى، العدد أربعة يقع في مجال الدالة. ونريد أن نعرف القيمة المخرجة للدالة عند ﺱ يساوي أربعة. لذا، علينا إيجاد الإحداثي ﺹ لهذه النقطة. نلاحظ أنه يساوي سالب ثلاثة. وعليه، من خلال التمثيل البياني، نجد أن قيمة ﺩ عند أربعة تساوي سالب ثلاثة. ما يعني أن سالب ثلاثة يقع في مدى الدالة. لكننا نعلم بالفعل أن سالب ثلاثة يقع في مدى الدالة؛ لأن قيمة ﺩ عند اثنين تساوي سالب ثلاثة.
وعند إيجاد مدى دالة ما، علينا معرفة مجموعة جميع المخرجات الممكنة للدالة. ولسنا بحاجة إلى معرفة عدد القيم المدخلة لـ ﺱ التي تعطينا المخرجات. فكل ما نريده هو قيمة مدخلة واحدة لـﺱ على الأقل تعطينا هذه القيمة المخرجة. بذلك نكون قد أوجدنا ثلاث قيم مخرجة فقط للدالة لدينا. جدير بالذكر هنا أننا لا نحتاج إلى التحقق من أي قيم مدخلة أخرى لـ ﺱ لأن علينا التحقق فقط من القيم المدخلة لـ ﺱ التي تقع على التمثيل البياني، ونلاحظ أن التمثيل البياني يتضمن أربع نقاط فقط. علينا فقط التحقق من هذه النقاط الأربع.
إذن، هذه القيم الثلاث هي القيم الممكنة الوحيدة للدالة. وستمثل هذه القيم مدى الدالة. تذكر أن مدى الدالة هو عبارة عن مجموعة. لذا، علينا كتابة الإجابة باستخدام ترميز المجموعة. سنكتب مدى الدالة على صورة المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة، سالب اثنين، صفر. وبالطبع لأنها مجموعة، يمكننا كتابة عناصرها بأي ترتيب. فهذا لن يغير إجابتنا. يرجع ذلك إلى التفضيل الشخصي فحسب. وعليه، بمعلومية التمثيل البياني للدالة ﺩ، تمكنا من إيجاد مدى الدالة. إنه المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة، سالب اثنين، صفر.
