فيديو الدرس: مجال ومدى الدالة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد مجال الدالة ومداها من معادلاتها.

نبدأ بتذكر أن الدالة ﺩ تتعين بعناصر في مجموعة ما، على سبيل المثال ﺱ، وتتعين بقيم في مجموعة ثانية، ﺹ. نعتبر أن ﺱ مصدر مدخلات الدالة وأن ﺹ هدف مخرجاتها. لكل قيمة مدخلة ﺱ تنتمي إلى المجموعة ﺱ، توجد قيمة مخرجة ﺩﺱ تنتمي إلى المجموعة ﺹ. وهذا يمكننا من تعريف كل من المجال والمدى. مجال ﺩ هو مجموعة جميع مدخلات ﺱ، التي توجد في المجموعة ﺱ، والمعرف عليها ﺩﺱ. ومدى ﺩ هو مجموعة جميع مخرجات ﺩﺱ حيث ﺱ يتغير خلال المجال.

في المثال الأول، سنحدد الأزواج المرتبة لدالة بمعلومية مجالها ومداها ومعادلتها.

‏ﺱ وﺹ مجموعتان من الأعداد، حيث تحتوي المجموعة ﺱ على القيم ١٠، واحد، اثنان، ثمانية، وتحتوي المجموعة ﺹ على القيم ١٢، سبعة، ٦٠، ستة، ٤٨، أربعة. الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ، حيث ﺩ يحول عناصر ﺱ إلى عناصر ﺹ. أوجد الأزواج المرتبة التي تحقق الدالة ومداها.

إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي رسم مخطط سهمي يمثل الدالة ﺩ. توجد أربعة عناصر في المجموعة ﺱ. وهي الأعداد: ١٠، واحد، اثنان، ثمانية. وتحتوي المجموعة ﺹ على ستة عناصر، وهي القيم ١٢، سبعة، ٦٠، ستة، ٤٨، أربعة. نعرف من المعطيات أن الدالة ﺩﺱ تساوي ستة ﺱ. نتذكر هنا أن مجال ﺩ هو مجموعة المدخلات المعرف عليها ﺩﺱ. ومدى ﺱ هو مجموعة المخرجات المناظرة.

القيمة الأولى في المجموعة ﺱ هي ١٠. وبما أن ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ، فإن ﺩ ١٠ يساوي ستة مضروبًا في ١٠. هذا يساوي ٦٠ ويعني أن القيمة المدخلة ١٠ تعطي القيمة المخرجة ٦٠. إذن، الزوج المرتب الأول الذي يحقق الدالة هو ١٠، ٦٠. ‏ﺩ لواحد يساوي ستة مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ستة. هذا يعطينا الزوج المرتب الثاني: واحد، ستة. بتكرار هذا مع القيمة الثالثة في المجموعة ﺱ، نحصل على ﺩ لاثنين يساوي ١٢، وهو ما يعطينا زوجًا مرتبًا ثالثًا وهو اثنان، ١٢. وأخيرًا، ﺩ لثمانية يساوي ٤٨. ومن ثم، لدينا زوج مرتب رابع وهو ثمانية، ٤٨. وعليه فإن الأزواج المرتبة الأربعة التي تحقق الدالة هي ١٠، ٦٠؛ وواحد، ستة؛ واثنان، ١٢؛ وثمانية، ٤٨.

مطلوب منا أيضًا إيجاد مدى الدالة. وكما ذكرنا من قبل، المدى هو مجموعة جميع مخرجات ﺩﺱ. إذن، مدى الدالة هو مجموعة القيم الأربع: ٦٠، ستة، ١٢، ٤٨. وبذلك، نكون قد أجبنا على جزأي هذا السؤال.

في السؤال التالي، سنوجد مدى دالة ممثلة بمخطط بياني.

يوضح الشكل الآتي التمثيل البياني لدالة ﺩ. ما مدى الدالة؟

يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن الدالة ﺩ تتضمن أربعة أزواج مرتبة. وهي واحد، سالب اثنين؛ واثنان، سالب ثلاثة؛ وثلاثة، صفر؛ وأربعة، سالب ثلاثة. والمطلوب منا هو إيجاد مدى هذه الدالة.

نبدأ بتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة جميع القيم المدخلة أو قيم ﺱ المعرف عليها ﺩﺱ. أي قيم ﺱ بالأزواج المرتبة التي لدينا. وهي الأعداد واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة. أما مدى الدالة فهو مجموعة جميع القيم المخرجة. أي إحداثيات ﺹ في الأزواج المرتبة. وهي القيم سالب اثنين، سالب ثلاثة، صفر، سالب ثلاثة مرة ثانية.

على الرغم من أن هذه القيمة تظهر مرتين، علينا تضمينها مرة واحدة فقط عند كتابة المدى. مدى الدالة الموضحة في الشكل هو مجموعة القيم سالب اثنين، سالب ثلاثة، صفر. وبكتابة هذه الأعداد تصاعديًّا، يصبح لدينا سالب ثلاثة، سالب اثنين، صفر.

يمكننا أيضًا إيجاد هذه القيم مباشرة من الشكل عن طريق رسم خطوط أفقية تمر بجميع النقاط الموجودة على التمثيل البياني. هذه الخطوط المستقيمة الثلاثة تتقاطع مع المحور ﺹ عند سالب ثلاثة، وسالب اثنين، وصفر.

في المثالين التاليين، سنوجد مجال ومدى دالة بمعلومية تمثيلها البياني.

أوجد مجال الدالة الممثلة بالتمثيل البياني الموضح.

نبدأ بتذكر أن مجال الدالة ﺩ هو مجموعة جميع قيم ﺱ أو المدخلات المعرف عليها ﺩﺱ. تقع الدائرة المصمتة عند أقصى يسار المنحنى عند النقطة التي إحداثياتها أربعة، واحد. هذا يعني أنه عند ﺱ يساوي أربعة، فإن ﺹ يساوي واحدًا. وباستخدام ترميز الدالة، فإن ﺩ لأربعة يساوي واحدًا.

يوضح لنا السهم الموجود في الطرف الآخر للمنحنى أن الدالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية الموجودة على يمين هذه النقطة. لذا، يمكننا استنتاج أن الدالة معرفة لجميع قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي أربعة. لو أن الدائرة عند النقطة أربعة، واحد كانت مفرغة، لأصبحت ﺩﺱ معرفة على المتباينة التامة ﺱ أكبر من أربعة. هذه المتباينة ﺱ أكبر من أو يساوي أربعة هي مجال الدالة. يمكننا أيضًا كتابة ذلك باستخدام رمز الفترة. وعليه، فإن مجال الدالة الممثلة في التمثيل البياني هو الفترة المغلقة من اليمين، والمفتوحة من اليسار، من أربعة إلى ∞.

يمكننا أيضًا إيجاد مدى الدالة من التمثيل البياني، وسنفعل هذا في المثال التالي.

أوجد مدى الدالة الممثلة بالتمثيل البياني الموضح.

نبدأ حل هذا السؤال بتذكر أن مدى الدالة ﺩ هو مجموعة جميع مخرجاتها أو قيم ﺹ. علينا إيجاد جميع قيم ﺹ الممثلة بالمنحنى. التمثيل البياني لدينا يأخذ شكل قطع مكافئ. ويبدو أن الدالة تربيعية. أي لها قيمة عظمى عند النقطة التي إحداثياتها سالب سبعة، واحد. هذا يعني أن ﺩ لسالب سبعة يساوي واحدًا، والقيمة العظمى للدالة تساوي واحدًا. ولا توجد قيمة لـ ﺱ عندما يكون ﺩﺱ أكبر من واحد.

بالنظر إلى التمثيل البياني، نجد أن القطع المكافئ يأخذ جميع القيم الأقل من أو تساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن مدى الدالة هو مجموعة قيم ﺹ الحقيقية، حيث ﺹ أصغر من أو يساوي واحدًا. ويمكن كتابة هذا أيضًا باستخدام رمز الفترة على الصورة: الفترة المفتوحة من اليمين، والمغلقة من اليسار، من سالب ∞ إلى واحد.

في المثالين الأخيرين، سنوجد مجال ومدى دالة بمعلومية معادلتها.

أوجد مجال الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص ٣٣.

نبدأ بتذكر أن مجال الدالة هو مجموعة المدخلات المعرف عليها ﺩﺱ. ونعلم أنه يمكن إيجاد الجذر التربيعي للأعداد غير السالبة فقط. وهذا يعني أن القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص ٣٣ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا. بإضافة ٣٣ إلى كلا طرفي المتباينة، نحصل على القيمة المطلقة لـ ﺱ أكبر من أو تساوي ٣٣. بتذكر التمثيل البياني للمعادلة، ﺹ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ ثم برسم الخط الأفقي ﺹ يساوي ٣٣، نلاحظ أن القيمة المطلقة لـ ﺱ تكون أكبر من أو تساوي ٣٣ عندما يكون ﺱ أصغر من أو يساوي سالب ٣٣ أو عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ٣٣. يمكن إعادة كتابة هاتين المتباينتين على صورة اتحاد فترتين: الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب ∞ إلى سالب ٣٣، والفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من ٣٣ إلى ∞.

وعلى الرغم من أن هذه إجابة صحيحة تمامًا لمجال الدالة، فإنها ليست على صورة فترة. ومع ذلك، يمكننا كتابتها على صورة المكمل لفترة. مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تقع في الفترة المفتوحة من سالب ٣٣ إلى ٣٣.

مجددًا، كان يمكننا أيضًا إيجاد مدى هذه الدالة. لكننا سنفعل هذا في مثال أخير.

إذا كان ﺩ يحول عناصر في الفترة المغلقة من اثنين إلى ٢١ إلى مجموعة الأعداد الحقيقية؛ حيث ﺩﺱ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص ١٠، فأوجد مدى الدالة ﺩ.

في هذا السؤال، لدينا دالة خطية ﺩﺱ، وهي تساوي ثلاثة ﺱ ناقص ١٠. نعرف أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ ناقص ١٠ هو خط مستقيم كما هو موضح. ونعرف أن مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة أو قيم ﺱ. وفي هذا السؤال، نعرف أن هذه القيم تقع في الفترة المغلقة من اثنين إلى ٢١. وبذلك، تكون الدالة ﺩﺱ معرفة لجميع القيم بين النقطتين الموضحتين.

يمكننا حساب قيم ﺩﺱ المناظرة بالتعويض بـ ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي ٢١ في الدالة. عندما يكون ﺱ مساويًا لاثنين، فإن ﺩﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في اثنين ناقص ١٠. وهذا يساوي سالب أربعة. وبالمثل، عندما يكون ﺱ يساوي ٢١، فإن ﺩﺱ يساوي ثلاثة مضروبًا في ٢١ ناقص ١٠. وهذا يساوي ٥٣. بما أن مدى الدالة ﺩ هو مجموعة المخرجات أو قيم ﺹ، يمكننا أن نستنتج أن ﺩﺱ أو ﺹ أكبر من أو يساوي سالب أربعة وأصغر من أو يساوي ٥٣. باستخدام رمز الفترة، فإن مدى الدالة ﺩ على المجال المعطى هو الفترة المغلقة من سالب أربعة إلى ٥٣.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تناولنا تعريفي مجال الدالة ومداها. مجال الدالة هو مجموعة المدخلات أو قيم ﺱ المعرفة عليها الدالة. والمدى هو مجموعة المخرجات المناظرة أو قيم ﺹ. تناولنا أيضًا أمثلة أوجدنا فيها مجال ومدى دالة معطاة بمعلومية مخططها السهمي أو تمثيلها البياني أو معادلتها.