شارح الدرس: مجال ومدى الدالة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحدِّد مجال الدالة ومداها من معادلاتها.

تذكَّر أنه عندما نريد تمثيل دالة ما، فإننا نَستخدِم عادة الصورة الآتية:

بالنسبة إلى الدالة ، نُسمِّي «مجال» الدالة، ونُسمِّي «المجال المقابل» للدالة.

في الأساس، الدالة عملية يُمكن أن تأخذ أيَّ عنصر يَنتمي إلى المجال وتحوِّله إلى عنصر ما يَنتمي إلى المجال المقابل . رياضيًّا، نكتب ذلك على الصورة ؛ حيث ، . ومن ثمَّ، يُمكننا التفكير في المجال على أنه جميع المُدخَلات المُمكِنة الصحيحة للدالة.

على الجانب الآخَر، «مدى» الدالة هو مجموعة جميع القِيَم المُمكِنة التي يُمكن الحصول عليها من تطبيق على عنصر ما في . هناك طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أن المدى هو جميع المُخرَجات المُمكِنة للدالة. وهذا يعني أنه إذا حسبنا لكلِّ قيمة مُمكِنة لـ في المجال، وجمَّعنا هذه الأعداد في مجموعة، فإن هذه المجموعة ستمثِّل المدى. وعادة ما نُشير إلى هذه المجموعة بـ ، وهي مجموعة جزئية من المجال المقابل.

لنوضِّح هذه الفكرة في الشكل الموضَّح.

لدينا هنا الدالة ، لها و. تأخذ الدالة العناصر وتحوِّلها إلى عناصر محدَّدة من . وعلى وجه التحديد، نحصل على:

إذن الدالة هو ؛ حيث يُمكن الحصول فقط على ٢ و٥ بتطبيق على عناصر . لاحِظ أن المدى، في هذه الحالة، مجموعة جزئية «فعلية» من المجال المقابل؛ حيث إنه يحتوي على عدد أقلَّ من العناصر.

بالإضافة إلى ذلك، نلاحِظ أنه يُمكننا تمثيل هذه الدالة أيضًا على صورة مجموعة من «الأزواج المرتَّبة»، كما يأتي:

بشكل عام، لكتابة دالة ما على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة، نُكوِّن مجموعة تحتوي على عناصر على الصورة ، لكلِّ قيمة لـ في المجال.

بعد أن رأينا مثالًا أساسيًّا على مجال دالة ومداها، دعونا نعرِّفهما الآن بشكل مُحدَّد.

ومن الجدير بالذكر التأكيد، في التعريف السابق، على تحديد أن المجال لا بدَّ أن يحتوي فقط على القِيَم التي تحقِّق الدالة . وهذا يَطرح السؤال الآتي: في أيِّ حالة يُمكن ألَّا تتحقَّق الدالة ؟ من الأمثلة البسيطة على ذلك الدالة:

بما أنه يُمكننا إيجاد الجذر التربيعي فقط لعدد غير سالب، إذن هذه الدالة غير مُعرَّفة لأيِّ قِيَم سالبة. ومن ثمَّ فإن المجال يجب أن يتكوَّن من الأعداد غير السالبة .

نلاحِظ أنه في بعض الحالات، كما في المثال السابق، يُمكننا حصر المجال لدالة ما بطريقة عشوائية في فترة أو مجموعة صغيرة من الأعداد (وهو في هذه الحالة ليس المجال «الحقيقي»، بل هو مجموعة جزئية من المجال الكامل). لكن في العديد من الحالات، نريد أن يكون أكبر مجموعة مُمكِنة من القِيَم التي تحقِّق الدالة . لعرض مثال أكثر شيوعًا لمجال ومدًى قد نُواجههما، لنفترض أن لدينا الدالة مُعرَّفة بـ:

المجال هنا هو أكبر مجموعة من القِيَم التي تجعل عملية مُعرَّفة لكلِّ في . إذا أخذنا المجموعة التي تناولناها سابقًا، ، فمن الطبيعي أن نلاحِظ أن مُعرَّف لكلِّ عنصر في هذه المجموعة. لكن بما أنه من الواضح أن هذه الدالة صحيحة لأيِّ عدد حقيقي، فمن المنطقي أخذ ؛ أي مجموعة الأعداد الحقيقية، ومن ثمَّ يُمكن تطبيق على أيِّ عدد نريده.

ماذا عن المدى؟ يَعتمد المدى دائمًا على المجال. إذا كان المجال هو ، فإن المدى الناتج سيكون:

على الجانب الآخَر، إذا اخترنا ، فإن المدى سيكون أيضًا. وهذا لأن كلَّ عدد حقيقي يُمكن كتابته على الصورة ؛ أيْ بوجود عدد حقيقي يكون هناك دائمًا عدد حقيقي ، يحقِّق .

وكملاحظة جانبية، يُمكن أن يكون المجال المقابل أي مجموعة كبيرة بما يكفي لاحتواء المدى. في هذه الحالة، يُمكننا أن نلاحِظ أن كافٍ، وفي جميع الحالات تقريبًا فإن هذا سيمثِّل المجموعة الافتراضية التي نأخذها. ومع ذلك، فإن اختيار مساواة المجال المقابل بالمدى هو الخيار الأفضل في حالات عديدة؛ لأنه يُزيل أيَّ لَبْس.

بالنسبة إلى المثال الأول، لنَعُد إلى فكرة كتابة الدالة على صورة مجموعة من الأزواج المرتَّبة التي تطرَّقنا إليها سابقًا، ونَستفِد ممَّا تعلَّمناه عن المجال والمدى.

مثلما يُمكننا إيجاد مدى دالة بمعلومية مجالها ومعادلتها، يُمكننا أيضًا استخدام تمثيلها البياني لإيجاد المجال والمدى. ويُمكن فعْل ذلك من خلال النظر إلى التمثيل البياني عن كَثَب، وإيجاد القِيَم المُناظِرة للنقاط أو المنحنيات. سنوضِّح هذا فيما يأتي.

مثال ٢: تحديد مدى دالة متقطِّعة بمعلومية تمثيلها البياني

يوضِّح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالة .

ما مدى الدالة؟

الحل

نلاحِظ في هذا المثال أن المحور يُناظِر المجال، ، والمحور يُناظِر المدى، . تمثِّل كل نقطة على هذا التمثيل البياني حالة واحدة لـ محوَّلة في . على سبيل المثال، نأخذ النقطة الموجودة أقصى اليسار، الموضَّحة في الشكل الموضَّح.

قيمة هنا هي ١، وقيمة هي . وهذا يُناظِر العلاقة الآتية بين القيمة المُدخَلة والقيمة المُخرَجة:

للحصول على مدى هذه الدالة، نأخذ قيمة لكلِّ نقطة على التمثيل البياني، ونُكوِّن مجموعة. في المجمل، تُعطينا النقاط الأربع أربع قِيَم لـ :

ومن ثمَّ، فإن المدى هو مجموعة هذه القِيَم، بعد حذف الأعداد المتكرِّرة:

ملاحَظة

يُمكننا أيضًا إيجاد مجال الدالة بطريقة مُشابِهة. المجال هو مجموعة قِيَم للنقاط الموجودة على التمثيل البياني. وهو:

لقد تناولنا في الغالب حتى الآن الدوالَّ المتقطِّعة في الأمثلة (وهي الدوالُّ التي لها عدد منتهٍ من القِيَم في المجال والمدى). لكن في معظم الأحيان، نريد تناول الدوالِّ المتَّصِلة (وهي الدوالُّ التي تحتوي على عدد لا نهائي من القِيَم في المجال والمدى). عند تناول الدوالِّ المتَّصِلة، عادة ما يكون علينا تناول فترات القِيَم. تذكَّر أن الفترة هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية بين قيمتين. على سبيل المثال: هي فترة تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية بين ٥ و٧، متضمِّنة ٥. ويُمكننا أيضًا استخدام الترميز: للإشارة إلى جميع الأعداد الحقيقية بين ٤ و؛ أي جميع الأعداد الأكبر من ٤.

في المثال الآتي، سنتناول مجال دالة متَّصِلة ومداها؛ حيث يتعيَّن علينا التفكير في الفترات الصحيحة بناء على التمثيل البياني.

مثال ٣: تحديد مجال دالة متَّصِلة بمعلومية تمثيلها البياني

أوجد مجال الدالة الممثَّلة بالتمثيل البياني الموضَّح.

الحل

لنرمز للدالة السابقة بـ . باتِّباع الاصطلاح المعتاد، نلاحِظ أن المحور في هذا السؤال يُناظِر مجال الدالة، ، والمحور يُناظِر مدى الدالة، . كلُّ نقطة على المنحنى تربط نقطة من بنقطة من . ونلاحِظ أيضًا أن السهم الموجود على المنحنى يوضِّح أنه عندما يزداد في اتجاه ، يستمرُّ في الاتجاه نفسه؛ أيْ يظلُّ ثابتًا. وعلى الجانب الآخَر، يَنتهي المنحنى بدائرة مظلَّلة، وهو ما يُشير إلى أن ضمن المنحنى.

يُمكننا تحديد مجال هذه الدالة بالنظر إلى الكيفية التي تُناظِر بها النقاط الموجودة على المنحنى المحور ، كما هو موضَّح فيما يأتي.

وكما نلاحِظ، يُناظِر المجال على وجه التحديد قِيَم الموجودة أسفل التمثيل البياني. يَبدأ المنحنى عند ، ويَستمرُّ في مساره؛ حيث يزداد . ومن ثمَّ، فإن المجال هو الفترة:

ملاحظة

على الرغم من أن السؤال لم يطلب ذلك، فمثلما أوجدنا مجال الدالة، يُمكننا إيجاد المدى بإسقاط المنحنى على المحور . يُمكننا ملاحَظة أن المنحنى يبدأ من ، ثم يزداد إلى ؛ حيث يظلُّ ثابتًا. ومن ثمَّ، فإن مدى هو الفترة:

لقد رأينا حتى الآن أمثلة كان لدينا فيها مجال الدالة، وعلينا حساب المدى، لكن ماذا عن العكس؟ إذا كان لدينا معادلة دالة ومداها، فهل يُمكننا حساب المجال؟

الإجابة نعم، يُمكننا حساب ذلك، بالعمل بطريقة عكسية، وإيجاد القِيَم المنطقية. لنفترض أن لدينا الدالة: وعرفنا أن المدى هو . حسنًا، نحن نعلم أن المدى هو القِيَم المُمكِنة التي يُمكننا الحصول عليها من المعادلة بعد تطبيق الدالة على أيِّ في المجال. وأسهل طريقة لمعرفة ذلك هي رسم مخطَّط بياني.

يُمكننا هنا أن نلاحِظ على المحور أن قد حُدِّد. باتِّباع هذه المنطقة حتى الخط المستقيم للدالة وإسقاطها على المحور ، يُمكننا أن نجد أن الدالة هو (نلاحِظ أن هذا ليس المجال الكامل لهذه الدالة).

لاحِظ هنا أنه ليس من الضروري للغاية رسم مخطَّط بياني لإيجاد ذلك؛ حيث يُمكننا الاستفادة من حقيقة أن الدالة دالة تزايدية، وأن الطرفين ، يُناظِران ، ؛ لذا يجب أن يقع المجال بين ٢ و٦. لكن من المُفيد دائمًا أن نكون قادرين على رؤية ما يَحدُث.

في المثال الآتي، سنطبِّق ذلك، ونتناول مسألة علينا فيها إيجاد مجال دالة (ربما تكون مُقيَّدة)، بمعلومية مداها.

مثال ٤: تحديد مجال دالة بمعلومية مداها ومعادلتها

أوجد مجال الدالة ، إذا كان المدى هو .

الحل

أفضل طريقة لحلِّ سؤال من هذا النوع هو البدء بتحديد القِيَم المُمكِنة التي يُمكن أن تحقِّق الدالة ورسم تمثيل بياني لها.

عند إيجاد الجذر التربيعي لعدد ما، لا بدَّ أن يكون هذا العدد عددًا غير سالب لكي يكون الناتج عددًا حقيقيًّا. ومن ثمَّ نحصل على الشرط:

لنرسم الآن التمثيل البياني لهذه الدالة. لا يتطلب الأمر أن يكون التمثيل البياني دقيقًا، لكن لمعرفة الشكل الذي سيبدو عليه هذا التمثيل البياني، يُمكننا تمثيل بعض النقاط الأوَّلية وملاحَظة كيف يتَّصِل بعضها ببعض. على سبيل المثال، نحصل على:

			٠	١	٢	٣
	٠	١			٢

وهكذا. بملاحَظة أن المنحنى يستمرُّ في الاتجاه لأعلى، مع وجود ميل تناقُصي، نحصل على المخطَّط البياني الموضَّح.

والآن نتذكَّر أن الدالة هو . المدى يُناظِر المحور على التمثيل البياني؛ لذا نبدأ بتحديد ، وكل ما يعلو هذه النقطة، على المحور . نلاحِظ أن الفترة مُغلَقة على اليسار؛ ومن ثمَّ، يقع ٢ ضمن هذه المنطقة.

نرسم بعد ذلك قطعة مستقيمة من المحور إلى المنحنى، ونُسقِط هذه المنطقة على المحور . هذه المنطقة تُناظِر الدالة. بكتابة هذه المعلومات على الشكل، نحصل على الشكل الموضَّح.

تقطع القطعة المستقيمة المتقطِّعة، التي تمثِّل الحدَّ السُّفلي للمجال وللمدى، المحور عند ٢ والمحور عند ٢. هذه النقطة تُناظِر ، وهو ما حسبناه في الجدول السابق. وبما أن المدى يتضمَّن ، إذن لا بدَّ أن يتضمَّن المجال ٢ أيضًا. على الجانب الآخَر، من الواضح أن المجال والمدى ليس لهما حدٌّ عُلوي.

في النهاية، يُمكننا القول إن المجال لا بدَّ أن يكون .

لقد رأينا أنه من المُمكِن إيجاد مجال دالة بمعلومية مداها ومعادلتها، لكن ماذا لو كان لدينا المعادلة فقط؟ لقد تناولنا سابقًا أسئلة كان فيها المجال والمدى أحدهما أو كلاهما مقيَّدًا مقارنة بالمجال والمدى الكاملين. لكن عادةً ما يُشير المجال إلى أكبر مجموعة مُدخَلات صحيحة مُمكِنة للدالة، والمدى يُناظِر ذلك.

لنتناول فيما يأتي مثالًا لذلك.

مثال ٥: تحديد مجال دالة ومداها بمعلومية معادلتها

أوجد مجال الدالة ومداها.

الحل

مطلوب منَّا هنا إيجاد أكبر مجموعة مُمكِنة من القِيَم المُدخَلة للدالة ومجموعة المُخرَجات الناتجة.

أولًا: علينا أن نسأل أنفسنا، هل هناك أيُّ قِيَم لـ تكون عندها غير مُعرَّفة؟ بعبارة أخرى: إذا كان لدينا ، هل يُمكننا اتِّباع الخطوات الآتية؟

يُمكن إجراء كلتا العمليتين السابقتين لأيِّ . ومن ثمَّ، فإن المجال هو أكبر مجموعة مُمكِنة، .

لإيجاد المدى، علينا إيجاد المدى المُمكِن للمُخرَجات بعد تطبيق على أيِّ . ربما تكون أفضل طريقة لفعل ذلك هي رسم تمثيل بياني لمعرفة سلوك عند قِيَم مختلفة لـ . وبما أنه قد لا يكون من الواضح على الفور كيف نرسم التمثيل البياني، فإننا سنبدأ بتحديد بعض النقاط الأوَّلية:

			٠	١	٢
	٥	٢	١	٢	٥

إذا وصَّلنا هذه النقاط بعضها ببعض وتابعنا رسم المنحنى، فسنحصل على التمثيل البياني الموضَّح.

نلاحِظ أن يبدو أنه يمثِّل أدنى نقطة على المنحنى، وهو ما يُعطي ، وأن المنحنى يستمرُّ لأعلى، على كلا الجانبين. يُمكننا التأكُّد من صحة هذا بملاحَظة حقيقة أن لكلِّ . ومن ثمَّ، فإن:

إذن لا بدَّ أن تكون النقطة الصُّغرى. ولإيجاد المدى، علينا إيجاد جميع القِيَم المُمكِنة التي يُمكن أن يتَّخِذها . وبما أن هي أصغر قيمة، وأنه عندما يزداد (أو ينقص)، فإن يزداد، إذن يُمكننا استنتاج أن المدى لا بدَّ أن يكون الفترة من ١ إلى ما لا نهاية. بعبارة أخرى:

في النهاية، مجال هو ، والمدى هو .

لنلخِّص النقاط الرئيسية التي تعلَّمناها في هذا الشارح.