نسخة الفيديو النصية
استخدم المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ مما يلي.
لتحديد التمثيل البياني لدالة، نبدأ عادة بمحاولة إيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين ﺱ وﺹ. لكن هذه الدالة الكسرية ﺩﺱ لن تساوي صفرًا أو لن يكون لها حل عند ﺱ يساوي صفرًا، ولذا يمكننا استنتاج أنه لن يكون هناك جزء مقطوع من المحور ﺱ أو جزء مقطوع من المحور ﺹ. وهذا يتوافق مع الخيارات الخمسة المعطاة؛ حيث لا يوجد تمثيل بياني يقطع المحور ﺱ أو المحور ﺹ.
بدلًا من ذلك، يطلب منا هذا السؤال استخدام المشتقات لتحديد التمثيل البياني للدالة. نعلم أن مشتقة ﺩﺱ ، المكتوبة على الصورة ﺩ شرطة ﺱ ، تساوي صفرًا عند أي من نقاط التحول أو التوقف. سنوجد إذن تعبيرًا لـ ﺩ شرطة ﺱ ونساويه بالصفر.
بتذكر أن التعبير واحدًا على ﺱ يمكن إعادة كتابته على الصورة ﺱ أس سالب واحد، يمكننا إذن إعادة كتابة الدالة ﺩﺱ على الصورة ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ الكل أس سالب واحد. يمكننا الآن اشتقاق هذه الدالة. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة العامة، وهي امتداد لقاعدة السلسلة. في هذه الحالة، نضرب التعبير كله في الأس ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا سالب واحد مضروبًا في ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ أس سالب اثنين. ثم نضرب هذا التعبير في مشتقة الدالة ما بين القوسين.
مشتقة ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ تساوي ٢٠ﺱ زائد ١٠. وبهذا، يمكننا استنتاج أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب واحد مضروبًا في ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ أس سالب اثنين مضروبًا في ٢٠ﺱ زائد ١٠. يمكن إعادة كتابة ذلك على الصورة سالب ٢٠ﺱ زائد ١٠ على ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ الكل تربيع. ويمكننا الآن مساواة هذا التعبير بالصفر.
لكي يساوي أي كسر صفرًا، نعلم أن البسط يجب أن يساوي صفرًا. هذا يعني أن سالب ٢٠ﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا. وبقسمة كلا الحدين على سالب واحد، يصبح لدينا ٢٠ﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك طرح ١٠ من كلا الطرفين وقسمة كلا الطرفين على ٢٠ وبذلك نحصل على ﺱ يساوي سالب نصف. وعليه، يجب أن يكون للتمثيل البياني للدالة نقطة تحول أو نقطة توقف عند ﺱ يساوي سالب نصف.
ينطبق ذلك على التمثيل البياني (أ) والتمثيل البياني (هـ). أما التمثيل البياني (د) فليس له نقطة توقف؛ لذا يمكننا استبعاد هذا الخيار. ويبدو أن نقطة التحول في كل من التمثيلين البيانيين (ب) و(ج) تقع بالقرب من سالب ثلاثة أرباع وليس سالب نصف. لذا، يمكننا استبعاد هذين الخيارين أيضًا. في الخيار (أ)، نقطة التحول هي نقطة قيمة عظمى محلية، والإحداثي ﺹ لهذه النقطة يقع أسفل المحور ﺱ ومن ثم فهو سالب، أما في الخيار (هـ) فلدينا قيمة صغرى محلية، والإحداثي ﺹ يقع أعلى المحور ﺱ ومن ثم فهو موجب.
لإيجاد الإحداثي ﺹ عند نقطة التحول، يمكننا التعويض بـ ﺱ يساوي سالب نصف في الدالة الأصلية. هذا يعطينا ﺩﺱ تساوي واحدًا على ١٠ مضروبًا في سالب نصف تربيع زائد ١٠ مضروبًا في سالب نصف. يبسط هذا إلى واحد على خمسة على اثنين ناقص خمسة، وهو ما يساوي واحدًا على سالب خمسة على اثنين، أي ما يساوي سالب خمسين. هذا يعني أن الدالة ﺩﺱ لها نقطة تحول عند سالب نصف، سالب خمسين.
بما أن الإحداثي ﺹ سالب، يمكننا إذن استبعاد الخيار (هـ). ومن ثم، يمكننا استنتاج أن التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على ١٠ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ هو التمثيل البياني (أ).
يتمثل أحد الحلول البديلة لإيجاد الإحداثي ﺹ في إيجاد المشتقة الثانية؛ حيث تخبرنا قيمة ﺩ شرطتين ﺱ بما إذا كانت لدينا قيمة صغرى محلية أم قيمة عظمى محلية. فإذا كانت المشتقة الثانية أكبر من صفر، فإن نقطة التحول هي قيمة صغرى، أما إذا كانت أصغر من صفر، فستكون قيمة عظمى. ومع أن هذه الطريقة شائعة، فإنها ستكون أكثر صعوبة نظرًا لأن الدالة في هذا السؤال معقدة. ونتيجة لذلك، كان من الأفضل إيجاد إحداثيات نقطة التحول أولًا. وهذا مكننا من استبعاد الخيارات (ب) و(ج) و(د) و(هـ).
