نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝐀 و𝐁. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 و𝐁.
يعطينا هذا السؤال المتجهين 𝐀 و𝐁 على هيئة سهمين مرسومين على شكل. ويطلب السؤال منا حساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، 𝐀 ضرب قياسي 𝐁. لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب القياسي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين سنسميهما 𝐂 و𝐃. وسنفترض أن هذين المتجهين يقعان في المستوى 𝑥𝑦. ومن ثم، يمكننا كتابة هذين المتجهين بدلالة مركبتيهما حيث نضرب مركبة 𝑥، التي تتضمن حرف 𝑥 أسفلها، في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦، التي تتضمن حرف 𝑦 أسفلها، في 𝐣 هات.
تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑥، و𝐣 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑦. وعليه، فإن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐂 في 𝐃 يساوي مركبة 𝑥 للمتجه 𝐂 في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐃 زائد مركبة 𝑦 للمتجه 𝐂 في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐃. إذن، بوجه عام، حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 لهذين المتجهين زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦 لهما. يخبرنا هذا التعبير الخاص بحاصل الضرب القياسي لمتجهين أننا إذا أردنا حساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁، فعلينا إيجاد مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين 𝐀 و𝐁.
المتجهان 𝐀 و𝐁 معطيان على هيئة سهمين مرسومين على شكل. ونعلم من المعطيات أن طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم الموضحة بهذا الشكل يساوي واحدًا. إذا أضفنا محورين إلى الشكل بحيث تكون نقطة الأصل عند ذيل المتجهين، فسيمكننا بسهولة عد المربعات التي يشغلها كل متجه في اتجاهي المحورين 𝑥 و𝑦. وبما أننا نعرف أن طول ضلع كل مربع يساوي واحدًا، فإن عدد المربعات يعطينا مباشرة مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين.
لنبدأ بعد مربعات المتجه 𝐀. نلاحظ أن المتجه 𝐀 يمتد بمقدار أربع وحدات في الاتجاه الموجب من المحور 𝑥، وبمقدار وحدتين في الاتجاه الموجب من المحور 𝑦. هذا يعني أن مركبة 𝑥 للمتجه 𝐀 تساوي أربعة، ومركبة 𝑦 تساوي اثنين. إذن يمكننا كتابة المتجه 𝐀 بدلالة مركبتيه بحيث يساوي أربعة 𝐢 هات زائد اثنين 𝐣 هات. والآن سنفعل الأمر نفسه مع المتجه 𝐁. نجد أن المتجه 𝐁 يمتد بمقدار ثلاث وحدات في الاتجاه السالب من المحور 𝑥، وبمقدار ست وحدات في الاتجاه الموجب من المحور 𝑦. إذن مركبة 𝑥 للمتجه 𝐁 تساوي سالب ثلاثة، ومركبة 𝑦 تساوي موجب ستة. وفي الصورة المركبة، نجد أن 𝐁 يساوي سالب ثلاثة 𝐢 هات زائد ستة 𝐣 هات.
لدينا الآن المتجهان 𝐀 و𝐁 مكتوبين بدلالة مركبتيهما، ما يعني أننا مستعدون لحساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁. من التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، نرى أن الحد الأول من هذا التعبير يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 للمتجهين. إذن في هذه الحالة، علينا ضرب مركبة 𝑥 للمتجه 𝐀، التي تساوي أربعة، في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐁، التي تساوي سالب ثلاثة. ثم نضيف إلى ذلك حاصل ضرب مركبتي 𝑦 للمتجهين. في هذه الحالة، نضرب مركبة 𝑦 للمتجه 𝐀، التي تساوي اثنين، في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐁، التي تساوي ستة.
لدينا الآن تعبير لحاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁. وكل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا الطرف الأيمن. الحد الأول هو أربعة في سالب ثلاثة، وهو ما يعطينا سالب 12. والحد الثاني هو اثنان في ستة، وهذا يعطينا موجب 12. بعد ذلك، لدينا سالب 12 زائد 12، وهو ما يساوي صفرًا. إذن فالإجابة النهائية هي أن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐀 في 𝐁 يساوي صفرًا.
مصر
المملكة العربية السعودية
