فيديو السؤال: إيجاد المجاهيل في دالة متعددة التعريف التي تجعل لها نهاية عند نقطة ما الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الدالة د ﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺏ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ستة، إذا كان ﺱ أقل من اثنين، ود ﺱ تساوي ستة ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من اثنين، لها نهاية عندما يكون ﺱ يساوي اثنين. فأوجد قيمة كل من ﺃ وﺏ.

نعرف من المعطيات أن نهاية الدالة د ﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين موجودة. والمطلوب منا هنا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ اللتين تحققان ذلك. يمكننا البدء بطرح السؤال. ما الذي يعنيه أن تكون نهاية الدالة د ﺱ موجودة عندما يقترب ﺱ من اثنين؟ تكون نهاية الدالة، عندما يقترب ﺱ من ﺟ، موجودة في حالة وجود كل من النهايتين اليسرى واليمنى للدالة. وإذا تساوت هاتان النهايتان. فهذا يعني أنه توجد ثلاثة أجزاء للتحقق من أن النهاية المذكورة في السؤال موجودة. لا بد أن تكون نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليسار، موجودة. وكذلك لا بد أن تكون نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليمين، موجودة. وأخيرًا، يجب أن تكون كلتا هاتين النهايتين متساويتين.

لنبدأ بنهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليمين. بما أن قيم ﺱ تقترب من اثنين من اليمين، فلا بد أن يكون ﺱ أكبر من اثنين. ومن السؤال، يمكننا أن نلاحظ أن الدالة د ﺱ تساوي ستة ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من اثنين. وبما أن الدالة د ﺱ تساوي ستة ﺱ لجميع قيم ﺱ الأكبر من اثنين، إذن يمكننا ببساطة التعويض عن د ﺱ في النهاية اليمنى بستة ﺱ. ونعرف أيضًا أنه يمكننا إيجاد قيمة نهاية أي دالة كثيرة الحدود باستخدام التعويض المباشر. نعوض بالقيمة اثنين في الدالة ستة ﺱ لنحصل على ستة مضروبًا في اثنين. وهو ما يمكننا حسابه بعد ذلك لنحصل على ١٢. وبذلك نكون قد أوجدنا أن نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليمين، تساوي ١٢.

وبما أننا نعرف من السؤال أن نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين، موجودة، فلا بد أن الأجزاء الثلاثة لتعريف النهاية صحيحة. وهذا يعني، على وجه التحديد، أن النهايتين اليسرى واليمنى للدالة د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين، يجب أن تكونا متساويتين. وقد أوضحنا للتو أن نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليمين، تساوي ١٢. وهذا يعني أن نهاية د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين من اليسار، يجب أن تساوي ١٢. والآن بعد أن عرفنا أن هذه النهاية تساوي ١٢، هيا نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية. بما أن قيم ﺱ تقترب من اثنين من اليسار، فهذا يعني أن ﺱ أقل من اثنين. ومن السؤال، يمكننا ملاحظة أنه عندما يكون ﺱ أقل من اثنين، فإن الدالة تساوي ﺱ تربيع زائد ﺃﺱ زائد ﺏ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ستة. وبما أن الدالة د ﺱ تساوي هذه الدالة الكسرية بالضبط، عند ﺱ أقل من اثنين، فيمكننا التعويض عن الدالة د ﺱ في النهاية بهذه الدالة الكسرية.

ونعرف أيضًا أنه يمكننا إيجاد قيمة نهاية دالة كسرية باستخدام التعويض المباشر. نعوض بالقيمة اثنين في الدالة الكسرية. فيصبح لدينا اثنان تربيع زائد ﺃ مضروبًا في اثنين زائد ﺏ الكل مقسوم على اثنين تربيع ناقص خمسة في اثنين زائد ستة. وهو ما يمكننا تبسيطه لنحصل على أربعة زائد اثنين ﺃ زائد ﺏ الكل مقسوم على صفر. وهذه صيغة غير معينة. إننا نعلم من السؤال أن هذه النهاية موجودة. ونعرف أن هذه النهاية يجب أن تساوي ١٢. وإننا نعلم أيضًا أنه إذا كان البسط قيمة ثابتة موجبة، وهو هنا أربعة زائد اثنين ﺃ زائد ﺏ، فإن قيمة هذه النهاية ستساوي موجب ما لا نهاية. وبالمثل، إذا كان هذا البسط قيمة ثابتة سالبة، فإن قيمة النهاية ستساوي سالب ما لا نهاية. وبما أننا نعلم أن هذه النهاية لا بد أن تساوي ١٢، فإن الخيار الوحيد هو أن يعطينا التعويض المباشر بـ ﺱ يساوي اثنين الصيغة غير المعينة صفرًا مقسومًا على صفر. إذن، البسط يساوي صفرًا عند التعويض بـ ﺱ يساوي اثنين. ومن ثم، يمكننا استخدام نظرية العوامل للحصول على بسط يحتوي على ﺱ ناقص اثنين.

بمساواة معاملي ﺱ تربيع، يمكننا ملاحظة أن ﺟ لا بد أن يساوي واحدًا. وبالمثل، بمساواة الثابتين، سنحصل على د يساوي سالب ﺏ على اثنين. وأخيرًا، إذا أردنا مساواة معاملي ﺱ، فسنجد أن ﺃ يساوي سالب ﺏ على اثنين ناقص اثنين. وبعد ذلك، يمكننا إعادة كتابة النهاية في البسط باستخدام ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص ﺏ على اثنين. وبالمثل، يمكننا أيضًا تحليل مقام النهاية للحصول على ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة. ثم يمكننا حذف هذا العامل المشترك ﺱ ناقص اثنين. وهو ما يعطينا نهاية ﺱ ناقص ﺏ على اثنين الكل مقسوم على ﺱ ناقص ثلاثة عندما يقترب ﺱ من اثنين من الجهة اليسرى. ومرة أخرى، نلاحظ أن هذه هي نهاية دالة كسرية.

لذا، يمكننا حل هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. ومن ثم، نعوض باثنين في هذا التعبير لنحصل على اثنين ناقص ﺏ على اثنين الكل مقسوم على اثنين ناقص ثلاثة. وهو ما يمكننا تبسيطه لنحصل على ﺏ على اثنين ناقص اثنين. وبما أن النهاية تساوي ١٢، فإننا نحصل على تعبير عن ﺏ، وهو ١٢ يساوي ﺏ على اثنين ناقص اثنين. وهو ما يمكننا حله لنجد أن ﺏ يساوي ٢٨. وقد رأينا سابقًا أن ﺃ يساوي سالب ﺏ على اثنين ناقص اثنين. من ثم، يمكننا التعويض بقيمة ﺏ التي تساوي ٢٨ في هذا التعبير. لنلاحظ أن ﺃ يساوي سالب ٢٨ على اثنين ناقص اثنين، ويمكننا حساب ذلك لنحصل على ﺃ يساوي سالب ١٦.

من ثم، يمكننا استنتاج أن نهاية الدالة د ﺱ، عندما يقترب ﺱ من اثنين، ستكون موجودة عند ﺃ يساوي سالب ١٦. وعند ﺏ يساوي ٢٨.