فيديو السؤال: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة معطاة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة العكسية العامة ﺕ ﺱ للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ مضروبًا في سالب ﺱ زائد خمسة.

لدينا في السؤال دالة ﺩﺱ، ومطلوب منا إيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩﺱ. سنرمز لها بـ ﺕﺱ. دعونا نبدأ بتذكر ما معنى أن ﺕ ﺱ هي المشتقة العكسية لـ ﺩﺱ. يمكننا القول إن ﺕ ﺱ هي المشتقة العكسية للدالة ﺩﺱ إذا كانت ﺕ شرطة ﺱ تساوي ﺩﺱ. بعبارة أخرى، مشتقة ﺕ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺩﺱ. اعتدنا أن يعطى لنا في السؤال دالة ثم يطلب منا اشتقاقها. لكن في هذا السؤال، لدينا دالة ومطلوب منا إيجاد الدالة التي عند اشتقاقها نحصل على الدالة المعطاة. هذه العملية تسمى التكامل.

هيا نبدأ بإلقاء نظرة على الدالة ﺩﺱ. نلاحظ أنها تساوي أربعة ﺱ مضروبًا في سالب ﺱ زائد خمسة. تبدو هذه الدالة معقدة. نحن لا نعرف أي دالة عند اشتقاقها نحصل على شيء ما على هذه الصورة. لذا بدلًا من ذلك، سنبسط الدالة ﺩﺱ عن طريق توزيع أربعة ﺱ على القوسين. عند القيام بذلك، نجد أن ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ. وبهذا نكون قد أعدنا كتابة الدالة على الصورة العامة للدالة كثيرة الحدود. ونحن نعرف الكثير عن اشتقاق الدوال على هذه الصورة. لإيجاد المشتقة العكسية، دعونا نتذكر كيفية اشتقاق ﺃ في ﺱ أس ﻥ.

أول ما نفعله هو ضرب المقدار بالكامل في أس ﺱ. وفي هذه الحالة يساوي ﻥ. الخطوة التالية هي تقليل الأس بمقدار واحد. وهذا يعطينا ﻥ في ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نسمي ذلك قاعدة القوة للاشتقاق. بهذا نكون وصفنا كيف يمكننا اشتقاق دالة كثيرة الحدود كل حد تلو الآخر للحصول على دالة أخرى كثيرة الحدود. لكن هذا ليس ما نريد إيجاده في هذا السؤال. في هذا السؤال، لدينا دالة كثيرة الحدود وعلينا إيجاد الدالة كثيرة الحدود التي عند اشتقاقها نحصل على هذه الدالة المعطاة. بعبارة أخرى، نحاول أن نجري العملية العكسية. وللقيام بذلك، بدلًا من استخدام قاعدة القوة للاشتقاق، سنفعل عكس ذلك.

لذا دعونا نشرح عملية إيجاد المشتقة العكسية للدوال على هذه الصورة. عند استخدام قاعدة القوة للاشتقاق، فإن آخر ما فعلناه هو تقليل الأس بمقدار واحد. علينا فعل عكس ذلك. فبدلًا من تقليل الأس بمقدار واحد، سنضيف واحدًا إلى الأس. إذن، الخطوة الأولى هي إضافة واحد إلى أس ﺱ. بعد ذلك، علينا إيجاد عكس الخطوة الأولى في قاعدة القوة للاشتقاق. كانت الخطوة الأولى هي ضرب المعامل في أس ﺱ. وعكس هذه الخطوة هو قسمة المعامل على أس ﺱ. لكن تذكر أننا كنا نضرب المعامل في الأس الأصلي. والآن علينا قسمة المعامل على الأس الجديد لـ ﺱ.

وإحدى طرق فهم ذلك هي التفكير فيما سيحدث إذا طبقنا هذه العملية على ﻥ في ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. تذكر أننا نريد أن نحصل من هذه العملية على ﺃ في ﺱ أس ﻥ. توضح لنا الخطوة الأولى إضافة واحد إلى الأس. في هذه الحالة، أس ﺱ هو ﻥ ناقص واحد. وهذا يعطينا ﻥ في ﺃ في ﺱ أس ﻥ. بعد ذلك، علينا قسمة المعامل على الأس الجديد. في هذه الحالة، الأس الجديد هو ﻥ. لذا، سنقسم المعامل على ﻥ. وبالطبع، يمكننا حذف ﻥ على ﻥ لنحصل على واحد. ونجد أن هذا يعطينا ﺃ في ﺱ أس ﻥ. هذا يعطينا طريقة لإيجاد المشتقات العكسية للدوال على هذه الصورة.

لكن ثمة أمرًا آخر علينا التفكير فيه. وهو أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا دائمًا. حسنًا، ما الذي يعنيه ذلك عمليًّا؟ لننظر إلى مشتقة ﺱ تربيع زائد واحد. نحن نعلم أن مشتقة ﺱ تربيع تساوي اثنين ﺱ، ومشتقة واحد تساوي صفرًا. إذن، ﺱ تربيع زائد واحد هي مشتقة عكسية لاثنين ﺱ. لكن الآن فكر في مشتقة ﺱ تربيع زائد ثلاثة. مرة أخرى سنشتق هذا المقدار حدًّا تلو الآخر. مشتقة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين ﺱ، ومشتقة الثابت ثلاثة تساوي صفرًا. إذن، ﺱ تربيع زائد ثلاثة هي أيضًا مشتقة عكسية لاثنين ﺱ. وفي الواقع، يمكننا أن نرى أن ﺱ تربيع زائد أي ثابت تمثل مشتقة عكسية لاثنين ﺱ.

إحدى طرق تمثيل ذلك هي أن نقول ﺱ تربيع ثم نضيف أي ثابت. سنسمي هذا الثابت ﺙ. نعلم أن ﺱ تربيع زائد ﺙ هي مشتقة عكسية لاثنين ﺱ، لأي قيمة لـ ﺙ. وهذا هو ما نعنيه بالمشتقة العكسية العامة لدالة. لذا عندما نريد إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة، فإننا نضيف الخطوة الأخيرة وهي إضافة ثابت التكامل الذي نطلق عليه عادة ﺙ. نحن الآن جاهزون لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة ﺩﺱ المعطاة في السؤال.

تذكر أنه بما أنه يمكننا تطبيق قواعد المشتقة على كل حد على حدة، يمكننا أيضًا استخدام قواعد إيجاد المشتقة العكسية لكل حد على حدة. لنبدأ إذن بالحد الأول سالب أربعة ﺱ تربيع. أولًا، نريد إضافة واحد إلى الأس. في هذه الحالة أس ﺱ هو اثنان، لذا نضيف واحدًا إلى ذلك لنحصل على ثلاثة. بعد ذلك، علينا إجراء الخطوة الثانية وهي قسمة المعامل على الأس الجديد. الأس الجديد هو ثلاثة. ومن ثم نقسم الحد بالكامل على ثلاثة. هذا يعطينا سالب أربعة ﺱ تكعيب مقسومًا على ثلاثة. والخطوة الثالثة هي إضافة ثابت التكامل. لكن يمكننا القيام بذلك في النهاية.

نريد الآن تطبيق هذه العملية على الحد الثاني. قد يكون من الأسهل اعتبار ذلك ٢٠ في ﺱ أس واحد. مرة أخرى، نضيف واحدًا إلى أس ﺱ لنحصل على اثنين، ثم نقسم على الأس الجديد اثنين. هذا يعطينا ٢٠ﺱ تربيع مقسومًا على اثنين. وبالطبع، يمكن تبسيط ٢٠ مقسومًا على اثنين لنحصل على ١٠. وتذكر أن الخطوة الأخيرة هي إضافة ثابت التكامل الذي سنسميه ﺙ. وهذه هي الإجابة النهائية.

لقد تمكنا من إيجاد المشتقة العكسية العامة ﺕ ﺱ للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ مضروبًا في سالب ﺱ زائد خمسة. وجدنا أن ﺕ ﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ تكعيب مقسومًا على ثلاثة زائد ١٠ﺱ تربيع زائد ثابت التكامل ﺙ.