فيديو: المشتقات العكسية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد المشتقة العكسية لدالة. المشتقة العكسية لدالة ما ‪𝑓(𝑥)‬‏هي الدالة ‪𝐹(𝑥)‬‏؛ حيث ‪𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)‬‏.

١٥:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

المشتقات العكسية

لا بد أنك قد تعلمت كيفية إيجاد مشتقات دوال عديدة. وتعرفت على مجموعة متنوعة من تطبيقاتها. في هذا الفيديو، نريد أن نطرح سؤالًا يتناول هذه العملية بطريقة عكسية. إذا كان لدينا دالة ما ‪𝑓‬‏، فكيف نوجد دالة تكون ‪𝑓‬‏ هي مشتقتها؟ ولماذا نهتم بهذا النوع من الدوال؟

إجابة الجزء الأول من هذا السؤال هي المشتقة العكسية. هذا السؤال الذي يقول: إذا كان لدينا دالة ما ‪𝑓‬‏، فكيف نوجد دالة تكون ‪𝑓‬‏ هي مشتقتها؟ المشتقة العكسية لدالة ما ‪𝑓‬‏ هي دالة مشتقتها ‪𝑓‬‏. بعبارة أخرى، هي دالة تعكس ما تفعله المشتقة. لننظر إلى الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏. لإيجاد المشتقة العكسية لهذه الدالة، نحتاج إلى دالة مشتقتها تساوي اثنين ‪𝑥‬‏. نعلم أنه عند اشتقاق ‪𝑥‬‏ تربيع، فإننا نحصل على اثنين ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أن المشتقة العكسية لاثنين ‪𝑥‬‏ هي ‪𝑥‬‏ تربيع. لكن ‪𝑥‬‏ تربيع ليست المشتقة العكسية الوحيدة لاثنين ‪𝑥‬‏. ‏‏‪‏𝑥‬‏ تربيع زائد واحد هي أيضًا مشتقة عكسية لاثنين ‪𝑥‬‏. وذلك لأن مشتقة عدد ثابت تساوي صفرًا. ولكي نأخذ ذلك في الحسبان، نقول إن المشتقة العكسية لاثنين ‪𝑥‬‏ هي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑐‬‏؛ حيث ‪𝑐‬‏ أي قيمة ثابتة.

والآن لننظر في السبب وراء اهتمامنا بالقيام بأمر كهذا. لنفكر فيما نعرفه عن الحركة. إذا بدأنا بموضع جسم والدالة ‪𝑠‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، فيمكننا إيجاد السرعة المتجهة لذلك الجسم، أي ‪𝑣‬‏ لـ ‪𝑡‬‏، باشتقاق دالة الموضع. وباشتقاق دالة السرعة المتجهة، يمكننا إيجاد عجلة الجسم، أي ‪𝑎‬‏ لـ ‪𝑡‬‏. لكن ماذا إذا أردنا التحرك في الاتجاه الآخر؟ إذا كنا نعرف العجلة وأردنا إيجاد الموضع، فسنحتاج إذن إلى المشتقة العكسية. هذه مجرد حالة من الحالات العديدة التي نحتاج فيها إلى المشتقة العكسية. هيا نتناول بعض الأمثلة على إيجاد المشتقة العكسية.

أوجد الصورة العامة للمشتقة العكسية ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ أس سبعة ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع.

للقيام بذلك، سنوجد المشتقة العكسية لكل حد من هذه الحدود على حدة. نحتاج إلى المشتقة العكسية لاثنين في ‪𝑥‬‏ أس سبعة. علينا إيجاد الدالة، التي عند اشتقاقها، تعطينا اثنين في ‪𝑥‬‏ أس سبعة. وبالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏، يمكننا القول إن المشتقة العكسية هي ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑎‬‏ زائد واحد على ‪𝑎‬‏ زائد واحد. ولكي نعطي الصورة العامة نضيف ‪𝑐‬‏ ليمثل أي ثابت. دعونا نطبق ذلك على اثنين في ‪𝑥‬‏ أس سبعة. سننحي اثنين جانبًا، ثم نكتب ‪𝑥‬‏ أس سبعة زائد واحد، ثم نقسم على سبعة زائد واحد.

المشتقة العكسية لاثنين في ‪𝑥‬‏ أس سبعة تساوي اثنين في ‪𝑥‬‏ أس ثمانية على ثمانية. ويمكننا اختصار ذلك ليصبح واحدًا على أربعة. إذن، المشتقة العكسية لاثنين في ‪𝑥‬‏ أس سبعة تساوي ‪𝑥‬‏ أس ثمانية على أربعة. وسنكرر هذه العملية مع سالب ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة. يمكننا الاحتفاظ بسالب ثلاثة، ونكتب ‪𝑥‬‏ أس خمسة زائد واحد الكل على خمسة زائد واحد. نحصل على سالب ثلاثة في ‪𝑥‬‏ أس ستة على ستة، ويختصر ليصبح ‪𝑥‬‏ أس ستة على اثنين. وسنتأكد من أننا نحتفظ بهذه الإشارة السالبة.

سنكرر العملية مرة أخيرة. لدينا سالب ‪𝑥‬‏ تربيع، لذا سنخرج سالب واحد. وسيصبح لدينا سالب واحد في ‪𝑥‬‏ أس اثنين زائد واحد على اثنين زائد واحد، أي سالب ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة. ولأننا نوجد الصورة العامة، فيجب ألا ننسى هذا الثابت في النهاية. وهو ما يجعل المشتقة العكسية ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ أس ثمانية على أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ أس ستة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة زائد ‪𝑐‬‏.

والآن لنلق نظرة على حالة لا يطلب فيها السؤال الصورة العامة.

أوجد المشتقة العكسية ‪𝐹‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد أربعة ‪𝑥‬‏ تكعيب؛ حيث ‪𝐹‬‏ لواحد تساوي سالب اثنين.

قبل أي شيء، سنوجد المشتقة العكسية العامة. وهذا يعني أننا سنتبع الخطوات نفسها التي قمنا بها في المثال السابق. سنضع الثابت خارجًا، ونضيف واحدًا إلى الأس، ثم نقسم على قيمة الأس الجديد. في هذه الحالة، سيكون لدينا خمسة في ‪𝑥‬‏ أس خمسة مقسومًا على خمسة. وسنختصر ذلك ليصبح ‪𝑥‬‏ أس خمسة. والآن، بالنسبة للحد الثاني، نضع العدد أربعة خارجًا، و‪𝑥‬‏ تكعيب يصبح ‪𝑥‬‏ أس أربعة، ثم نقسم على أربعة. وهو ما يختصر ليصبح ‪𝑥‬‏ أس أربعة. العددان أربعة في البسط وأربعة في المقام يلغي أحدهما الآخر.

لو كنا نريد الصورة العامة، كنا سنضيف الثابت ‪𝑐‬‏. وكنا سنقول إن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ أس خمسة زائد ‪𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪𝑐‬‏. لكننا سنعوض بـ ‪𝐹‬‏ لواحد كي نتمكن من إيجاد قيمة ‪𝑐‬‏. قيمة ‪𝐹‬‏ لواحد تساوي سالب اثنين. واحد أس خمسة زائد واحد أس أربعة. واحد زائد واحد يساوي اثنين. إذن، اثنان زائد ‪𝑐‬‏ يجب أن يساوي سالب اثنين. نطرح اثنين من كلا الطرفين. لنجد أن قيمة الثابت هي سالب أربعة. سنأخذ هذا الناتج ونعوض به في الصورة العامة للمشتقة العكسية التي أوجدناها. المشتقة العكسية بناء على هذه المعطيات تساوي ‪𝑥‬‏ أس خمسة زائد ‪𝑥‬‏ أس أربعة ناقص أربعة.

إذا كانت المشتقة الثانية للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد خمسة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد اثنين، فأوجد الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

إذا كانت لدينا المشتقة الثانية، فيمكننا إيجاد المشتقة العكسية التي تعطينا المشتقة الأولى للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. بعد ذلك، سنوجد المشتقة العكسية لذلك الناتج، ما يعطينا الدالة الأصلية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ولن تختلف هذه العملية عن الأمثلة السابقة. كل ما علينا فعله هو أن نجري هذه العملية مرتين. هيا نوجد المشتقة العكسية لثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة، وهي ثلاثة في ‪𝑥‬‏ أس ستة على ستة. والحد الثاني، ثلاثة في ‪𝑥‬‏ تكعيب، مشتقته العكسية هي ثلاثة في ‪𝑥‬‏ أس أربعة على أربعة. والمشتقة العكسية لخمسة ‪𝑥‬‏ تربيع هي خمسة ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة. والمشتقة العكسية لاثنين هي اثنان ‪𝑥‬‏. وتأكد من إضافة الحد الثابت.

الآن، عند هذه المرحلة، لدينا المشتقة الأولى لهذه الدالة. ويمكننا تبسيط بعض المعاملات هنا. ولكن لأننا سنوجد المشتقة العكسية مرة أخرى، سننتظر ونبسط في الخطوة الأخيرة. والآن علينا إيجاد المشتقة العكسية لثلاثة في ‪𝑥‬‏ أس ستة على ستة. نحصل على ثلاثة أسداس في ‪𝑥‬‏ أس سبعة على سبعة. والمشتقة العكسية لثلاثة أرباع ‪𝑥‬‏ أس أربعة هي ثلاثة أرباع في ‪𝑥‬‏ أس خمسة على خمسة. وخمسة على ثلاثة في ‪𝑥‬‏ تكعيب. مشتقته العكسية هي خمسة أثلاث في ‪𝑥‬‏ أس أربعة على أربعة. واثنان ‪𝑥‬‏ مشتقته العكسية اثنان في ‪𝑥‬‏ تربيع على اثنين. والمشتقة العكسية لأي ثابت تساوي ذلك الثابت مضروبًا في ‪𝑥‬‏. وسنحتاج إلى إضافة ثابت آخر في النهاية، يمكننا أن نسميه ‪𝐷‬‏.

لقد أوجدنا الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، لكننا نريد التبسيط. يمكننا اختصار ثلاثة على ستة هذا ليصبح نصفًا. ومن ثم، سيكون لدينا ‪𝑥‬‏ أس سبعة على ‪14‬‏. لقد ضربنا هنا المقامين في الحد الثاني. وبذلك نحصل على ثلاثة في ‪𝑥‬‏ أس خمسة على ‪20‬‏. والحد الثالث يصبح خمسة في ‪𝑥‬‏ أس أربعة على ‪12‬‏. في الحد الرابع، يلغي العددان اثنان في البسط واثنان في المقام أحدهما الآخر، ويتبقى لدينا ‪𝑥‬‏ تربيع. ولا يمكن تبسيط الحدين الأخيرين، ‪𝑐𝑥‬‏ زائد ‪𝐷‬‏ ، أكثر من ذلك. وهو ما يعني أن المشتقة العكسية العامة للدالة المعطاة هي ‪𝑥‬‏ أس سبعة على ‪14‬‏ زائد ثلاثة في ‪𝑥‬‏ أس خمسة على ‪20‬‏ زائد خمسة في ‪𝑥‬‏ أس أربعة على ‪12‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑐𝑥‬‏ زائد ‪𝐷‬‏.

في المثالين الأخيرين، سنتناول صورة تبدو للوهلة الأولى غير معتادة.

أوجد الصورة العامة للمشتقة العكسية ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏، إذا كانت ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة على اثنين زائد أربعة على ‪𝑥‬‏.

هذا الحد الأول، وهو خمسة على اثنين، يمثل ثابتًا. ونحصل على مشتقته العكسية بأن نقول خمسة على اثنين في ‪𝑥‬‏. في البداية، قد لا يبدو واضحًا كيف يمكننا التعامل مع أربعة على ‪𝑥‬‏. لكن ماذا إذا كتبناه هكذا: أربعة في واحد على ‪𝑥‬‏؟ والآن نقول: ما الدالة التي مشتقتها واحد على ‪𝑥‬‏؟ اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ مشتقته واحد على ‪𝑥‬‏. هذا يعني أن المشتقة العكسية لأربعة في واحد على ‪𝑥‬‏ هي أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. وذلك لأن أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ مشتقته أربعة في واحد على ‪𝑥‬‏. إذن سنكتب أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏. وبما أننا نضع الصورة العامة، فسنحتاج إلى إضافة الثابت ‪𝑐‬‏. الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة على اثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑐‬‏.

باستخدام قاعدة حاصل الضرب، أوجد الدالة ‪𝑓‬‏؛ حيث ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ زائد اثنين في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ في الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏.

سنحتاج أولًا إلى تذكر قاعدة حاصل ضرب المشتقات. تنص قاعدة حاصل الضرب هذه على أن مشتقة الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في الدالة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في مشتقة ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في مشتقة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. قبل محاولة إيجاد ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، لنعد كتابة هذه الدالة. لدينا ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. ونعرف أنه مضروب في واحد على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏. يمكننا إعادة كتابة ذلك ليصبح ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. إننا نضرب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف زائد اثنين في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس نصف.

ما نعرفه هو أن مشتقة ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. إذا قلنا إن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏، فإن ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي أيضًا ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أن ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف يساوي ‪𝑔‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. ويعني أن ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين في ‪𝑥‬‏ أس نصف. ‏‏‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين في ‪𝑥‬‏ أس نصف. إذا تحققنا من هذه المشتقة، فسنحصل على اثنين في نصف في ‪𝑥‬‏ أس نصف ناقص واحد، وهو ما يساوي في الواقع ‪𝑥‬‏ أس سالب نصف. لكن ما الذي يعنيه ذلك؟ حسنًا، في قاعدة حاصل الضرب، هذه القيمة هي مشتقة حاصل ضرب ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وهذا يعني أن المشتقة العكسية ستكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. نعرف ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ ونعرف ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، ما يعني أن المشتقة العكسية تساوي اثنين في ‪𝑥‬‏ أس نصف في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏. ويمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة المعطاة في السؤال. لنحصل على اثنين في الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ في ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑥‬‏.

دعونا نراجع باختصار هذه النقطة الأساسية الخاصة بالمشتقات العكسية. إذا كان لدينا دالة ما ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏، فإن مشتقتها العكسية هي الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ التي مشتقتها ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏. في المثال الأول عندما كانت ‪𝑓‬‏ شرطة لـ ‪𝑥‬‏ تساوي اثنين ‪𝑥‬‏، وجدنا أن المشتقة العكسية هي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد أي ثابت ‪𝑐‬‏. وإذا اشتققنا ‪𝑥‬‏ تربيع زائد أي ثابت ‪𝑐‬‏، فسنحصل على اثنين ‪𝑥‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.