شارح الدرس: المشتقات العكسية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد المشتقة العكسية لدالة. المشتقة العكسية لدالةٍ ما هي الدالة ؛ حيث .

المشتقة العكسية، التي تُعرَف أيضًا باسم معكوس المشتقة أو القاعدة البدائية لدالة ، هي دالة أخرى مشتقتها تساوي الدالة الأصلية .

نلاحظ أنه بما أن هي مشتقة ، تكون مشتقة عكسية لـ ، وبالمثل، تكون مشتقة عكسية لـ ، مشتقة عكسية لـ . عملية إيجاد المشتقة العكسية لدالة هي العملية العكسية لاشتقاق دالة؛ على سبيل المثال، هي مشتقة لـ ، ومن ثَمَّ يمكننا قول إن هي المشتقة العكسية لـ .

يوجد العديد من تطبيقات المشتقات العكسية الحياتية؛ على سبيل المثال، عندما نتناول معادلات الحركة في ميكانيكا نيوتن. تُعرَّف السرعة المتجهة، ، بأنها معدَّل تغيُّر الإزاحة، ، بالنسبة إلى الزمن، . بعبارة أخرى، السرعة المتجهة هي مشتقة الإزاحة:

وهذا يعني أن العكس صحيح أيضًا؛ فالإزاحة هي مشتقة عكسية للسرعة المتجهة، ومن ثَمَّ فإن الدالة هي المشتقة العكسية للدالة . وبالمثل، العجلة هي مشتقة السرعة المتجهة، وهو ما يعني أن السرعة المتجهة هي مشتقة عكسية للعجلة.

في الواقع، المشتقة العكسية ليست وحيدة، وهناك العديد من الدوالِّ التي تختلف باختلاف الثابت، والتي تعطي المشتقة نفسها. لمعرفة ذلك، دعونا نتناول الدالة الثابتة . مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى هي:

وهذا متوقَّع لأن الدالة لا تتغيَّر بتغيُّر ، ومن ثَمَّ فإن مشتقتها تساوي صفرًا. وهذا يعني أن المشتقة العكسية لـ هي . ينطبق هذا أيضًا بالنسبة لـ ، وفي الواقع ينطبق على أيِّ ثابت حقيقي ، لأن المشتقة ستكون دائمًا ؛ حيث . وهذا يعني أن المشتقة العكسية لـ ستكون ثابتًا ما ، أو يمكننا القول إن المشتقة العكسية لـ هي ؛ لجميع قيم .

ماذا عن مشتقة الدالة ؟ بما أن المشتقة خطية، أي يمكننا اشتقاق تركيبات خطية من الدوالِّ بشكل منفصل، وتحديدًا ، فإنه يكون لدينا:

الثابت ث، الذي يُعرَف أيضًا بثابت الاشتقاق العكسي، مهم للغاية؛ حيث إنه يُنتِج مجموعة من المشتقات العكسية، ، التي يمثِّلها بارامتريًّا ث. وهذا يعني أن هي مشتقة ؛ بحيث تكون هي المشتقة العكسية أو المشتقة العكسية العامة لـ ، لجميع قيم ؛ ولهذا السبب نضيف دائمًا عند إيجاد المشتقة العكسية (العامة) لأيِّ دالة؛ لأنه دون وجوده تكون لدينا فقط مشتقة عكسية، وهي ليست وحيدة. بعبارة أخرى هي الدالة العامة التي لها مشتقة لجميع قيم ؛ فعلى سبيل المثال، بينما هي المشتقة العكسية لـ ، تكون هي المشتقة العكسية العامة لـ . وهذا يعني أن: ، ، ، أو ، وهكذا؛ هي أيضًا جميعها مشتقات عكسية لـ .

باستخدام هذه الطريقة، يمكننا القول أيضًا إن المشتقة العكسية العامة لدالةٍ ما هي الدالة لـ ، وبالمثل يمكننا القول إن المشتقة العكسية العامة للدالة هي الدالة وهذه العملية مستمرة.

إذا كان لدينا أيضًا ، التي تُعرَف أيضًا باسم الشرط الحدِّي، يمكننا إذن تحديد الثابت ث للحصول على مشتقة عكسية وحيدة تحقِّق الشرط الحدِّي.

ونلاحظ أيضًا أن وجود مضاعَف ثابت مضروب في أول دالة لا يؤثِّر على مشتقتها العكسية. وهذا يتبع تعريف المشتقة المطبَّقة على :

إذن، هي مشتقة عكسية لـ ، أو هي المشتقة العكسية العامة لـ ؛ لجميع قيم . هذا يعني أنه يمكننا دائمًا وضع مضاعَف ثابت داخل المشتقة على الصورة: ، أو بعبارة أخرى، إذا ضُربَت المشتقة في ثابت، تُضرَب المشتقة العكسية أيضًا في الثابت نفسه، والعكس صحيح.

إذا أردنا إيجاد المشتقة العكسية لـ لبعض الدوالِّ: ، والثوابت: ؛ يمكننا إيجاد المشتقات العكسية لـ ، على حدة، لنَقُل: ، ، ثم نجمع النواتج. بعبارة أخرى، المشتقة العكسية لأيِّ مجموعٍ هي مجموع المشتقات العكسية؛ فالمشتقة العكسية هي عملية خطية تتبع خطية المشتقة.

لكي نرى هذا نجعل ؛ بحيث يكون ، ، وباستخدام حقيقة أنه يمكننا اشتقاق تركيبات خطية من الدوالِّ بشكل منفصل يكون لدينا:

ومن ثَمَّ، تكون المشتقة العكسية للمجموع هي: ؛ أي مجموع المشتقات العكسية. ومن ثَمَّ، لكي نعمل بصورة عكسية، ونوجد مشتقة عكسية لمجموع الدوالِّ؛ علينا فقط إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ جزء على حدة، وجمع النواتج معًا، دون أن ننسى في النهاية. في المعتاد، قد نحصل على ثوابت المضاعَف لكلِّ جزء من خلال عملية الاشتقاق العكسي، لكن يمكننا تجميعها في ثابت واحد. المشتقة العكسية العامة لـ هي:

ونلاحظ أننا بينما نكتب المشتقة العكسية العامة على الصورة: للتأكُّد من أن الثابت يظهر بوضوح، يمكننا عادة تضمين ذلك في الدالة ؛ بحيث تتضمَّن بالفعل . على سبيل المثال، يمكننا القول إن المشتقة العكسية العامة لـ هي: ، بدلًا من كتابة المشتقة العكسية العامة على الصورة: مع .

الآن، لنفترض أن لـ ، يمكن إيجاد مشتقة هذه الدالة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق على الصورة:

سيكون من المفيد إعادة كتابة هذا في صورة: حيث نقسمها على الثابت ؛ لأن المضاعَف بثابت للدالة لا يؤثِّر على المشتقة أو المشتقة العكسية. لكن ماذا إذا أردنا الحلَّ بطريقة عكسية؟ أي؛ إذا كانت ، نحن نريد إيجاد المشتقة العكسية. هذا يعني أننا نريد إيجاد الدالة العامة وهي تُشتَق لتعطينا .

لقد أوضحنا بالفعل أن مشتقة هي: ، لـ . لنفترض أن: ، إذن يكون لدينا:

ومن ثَمَّ، تكون هي المشتقة العكسية لـ ، شريطة أن يكون . ويمكن إيجاد المشتقة العكسية العامة لـ عن طريق إضافة ثابت عدم الاشتقاق على الصورة: وهو الذي يمكننا التحقُّق منه عن طريق اشتقاق هذا التعبير بالنسبة إلى . عندما تكون الحالة أن ؛ أي المشتقة العكسية لـ ، نلاحظ أن:

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ عندما تكون هي:

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي نطبِّق فيها هذه القواعد، بدءًا من إيجاد مشتقة عكسية لدالة كثيرة الحدود.

والآن، لنتناول مثالًا علينا فيه تحديد ثابت الاشتقاق العكسي بتطبيق الشرط الحدِّي.

يتضمَّن المثال التالي أخذ المشتقة العكسية مرتين لتحديد الدالة من مشتقتها الثانية.

يتضمَّن المثال التالي إيجاد المقدار الوحيد للدالة باستخدام مشتقتها الأولى والشرط الحدِّي.

حتى الآن، عرفنا كيف نوجد المشتقة العكسية لدالةٍ تتضمَّن قوى من خلال الحلِّ بطريقة معكوسة من مشتقة. وبالمثل، يمكننا تطبيق العملية نفسها على دوالَّ شائعة أخرى (مثل: الدوالِّ الأسية، أو المثلثية) التي نتناولها؛ عن طريق حساب المشتقة أولًا، والحلِّ بطريقة عكسية لإيجاد مشتقة عكسية بتضمين الثابت . هذا يتيح لنا تكوين جدولٍ من المشتقات العكسية العامة:

ويمكن أيضًا التحقُّق من هذا مباشرة عن طريق حساب مشتقات لإظهار أنها تساوي المناظرة لها. على سبيل المثال، إذا كانت ، إذن يمكن إيجاد المشتقة على الصورة:

في حالة الدوالِّ الأكثر تعقيدًا التي تكون معطاة بدلالة مجموع هذه الدوالِّ القياسية أو حاصل ضربها، يمكننا استخدام بعض القواعد لمساعدتنا في تحديد المشتقة العكسية؛ مثل: القاعدة الخطية للمشتقة العكسية التي أنشأناها.

لكي نرى ذلك، لنفترض أننا نريد إيجاد المشتقة العكسية لـ:

هذا هو مجموع نوعين مختلفين من الدوالِّ: الدالة الأسية، والدالة المثلثية. يمكننا إيجاد مشتقة عكسية لـ ، بشكل منفصل، وإضافة الناتج. مشتقة هي ، ومن ثَمَّ تكون المشتقة العكسية لـ هي ، وبالمثل تكون المشتقة العكسية لـ هي نفسها. على وجه التحديد، نجد أن: وهي التي يمكننا التحقُّق من صحتها باستخدام المشتقة.

والآن، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى للتدرُّب وتعميق الفهم. يتضمَّن المثال التالي دالة مثلثية، وقوة تكون عددًا غير صحيح.

والآن، لنتناول مثالًا علينا فيه تحديد قيمة دالةٍ بمشتقتها الثالثة التي تتضمَّن دالة مثلثية ودالةَ جذرٍ تربيعيٍّ، من خلال إيجاد المشتقة العكسية ثلاث مرات.

إذا كان لدينا حاصل ضرب دالتين ؛ حيث ، هما المشتقتان العكسيتان لـ ، مع ، ، ونعلم من قاعدة الضرب أن:

فمن ثَمَّ، تكون المشتقة العكسية لهذا الجمع هي: ، والمشتقة العكسية العامة لـ هي:

في الواقع، يمكننا اتباع هذه العملية مع أيِّ قاعدة مشتقة لإيجاد قاعدةٍ تناظر المشتقة العكسية.

الآن، لنفترض أننا نريد إيجاد المشتقة العكسية لـ:

هذا يساوي مجموع دالتين؛ كلٌّ منهما حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوالِّ: الدالة الأسية والدالة المثلثية. لإيجاد المشتقة العكسية علينا عكس قاعدة الضرب من خلال تحديد ، ، وأخذ حاصل الضرب لحساب المشتقة العكسية. وبمقارنة الحدِّ الأول في مع الحدِّ الأول في قاعدة الضرب، ، يمكننا أن نحصل على ، ومن ثَمَّ يكون الخياران: أو

خيار واحد فقط من هذين الخيارين سيعطينا المشتقة العكسية. يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لـ لتحديد لكلٍّ من هذين الخيارين، ثم مقارنة مشتقة حاصل الضرب لمعرفة أيُّهما سيعطينا الدالة .

الخيار الأول سيعطينا ؛ لأن المشتقة العكسية لـ هي نفسها، وحاصل الضرب :

من الواضح أن هذا الخيار ينطبق؛ حيث إن الطرف الأيسر يكافئ . ولإكمال الحلِّ، دعونا أيضًا نتناول الخيار الثاني. المشتقة العكسية لـ هي: ، وهو ما يعطينا حاصل الضرب: . وبإيجاد مشتقة حاصل الضرب هذا، يكون لدينا:

وهذا لا ينطبق؛ حيث إن الحدَّ الثاني به علامة مختلفة مقارنة بالدالة . ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ هي:

ونلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا فعل ذلك مع الحدِّ الثاني في قاعدة الضرب، مع ، ولكن قد يعطينا هذا الناتج نفسه، ومن ثَمَّ يكفي التحقُّق من أحد الحدود فقط لإيجاد حاصل الضرب المناسب؛ وهو المشتقة العكسية التي نحتاج إليها، ثم الاشتقاق للتحقُّق مما إذا كان هذا يعطينا الدالة مرة أخرى.

وأخيرًا، لنتناول الدالة:

مرة أخرى، هذا مجموع دالتين؛ كلٌّ منهما حاصل ضرب قوةٍ ما ، ودالة أسية. ولذلك، عند تحديد ، نحصل على: التي يمكننا التحقُّق منها أيضًا بأخذ المشتقة:

أخيرًا، لنتناول مثالًا علينا فيه عكس قاعدة الضرب، في دالة أسية تتضمَّن جذرًا تربيعيًا.

في هذا الشارح، حدَّدنا المشتقات العكسية لدالةٍ ما من خلال عكس عملية الاشتقاق. وهناك طرق أكثر مباشرة لحساب المشتقة العكسية باستخدام ما يُسمَّى بالتكامل. على وجه التحديد، المشتقة العكسية لدالةٍ ما تكافئ التكامل غير المحدَّد لـ . وبذلك، إذا كانت ، إذن: حيث (ث) أيضًا يُسمَّى ثابت التكامل. لتحديد التكاملات غير المحدَّدة، يوجد العديد من الأدوات التي يمكننا استخدامها، الأمر الذي يسهِّل إيجاد المشتقة العكسية. توضِّح النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل العلاقة بين المشتقات والتكاملات المحدَّدة، وهو ما يمكن تفسيره بأنه المساحة أسفل منحنى داخل فترةٍ ما.

وهذان يقعان خارج نطاق هذا الشارح، وسوف نتناولهما في درس آخَر بمزيدٍ من التفصيل.