تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: المشتقات العكسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد المشتقة العكسية لدالة. المشتقة العكسية لدالةٍ ما 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎).

المشتقة العكسية، التي تُعرَف أيضًا باسم معكوس المشتقة أو القاعدة البدائية لدالة 󰎨، هي دالة أخرى 𞸕 مشتقتها تساوي الدالة الأصلية 󰎨.

تعريف: المشتقة العكسية لدالة

بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق 𞸕(𞸎)، إذا كان لدينا: 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، إذن نقول إن 𞸕(𞸎) هي المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎).

نلاحظ أنه بما أن 󰎨(𞸎) هي مشتقة 󰎨(𞸎)، تكون 󰎨(𞸎) مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸎). وبالمثل، تكون 󰎨(𞸎) مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸎)، 󰎨(𞸎) مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸎). عملية إيجاد المشتقة العكسية لدالة هي العملية العكسية لاشتقاق دالة؛ على سبيل المثال، ٢𞸎 هي مشتقة لـ 𞸎٢، ومن ثَمَّ يمكننا قول إن 𞸎٢ هي المشتقة العكسية لـ ٢𞸎.

يوجد العديد من تطبيقات المشتقات العكسية الحياتية؛ على سبيل المثال، عندما نتناول معادلات الحركة في ميكانيكا نيوتن. تُعرَّف السرعة المتجهة، 𞸏(𞸍)، بأنها معدَّل تغيُّر الإزاحة، 𞸐(𞸍)، بالنسبة إلى الزمن، 𞸍. بعبارة أخرى، السرعة المتجهة هي مشتقة الإزاحة: 𞸏(𞸍)=𞸐(𞸍).

وهذا يعني أن العكس صحيح أيضًا؛ فالإزاحة هي مشتقة عكسية للسرعة المتجهة، ومن ثَمَّ فإن الدالة 𞸐(𞸍) هي المشتقة العكسية للدالة 𞸏(𞸍). وبالمثل، العجلة 𞸢(𞸍) هي مشتقة السرعة المتجهة، وهو ما يعني أن السرعة المتجهة هي مشتقة عكسية للعجلة.

في الواقع، المشتقة العكسية ليست وحيدة، وهناك العديد من الدوالِّ التي تختلف باختلاف الثابت، والتي تعطي المشتقة نفسها. لمعرفة ذلك، دعونا نتناول الدالة الثابتة 𞸕(𞸎)=١. مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى 𞸎 هي: 󰎨(𞸎)=𞸕(𞸎)=(١)=٠.󰍱

وهذا متوقَّع لأن الدالة 𞸕 لا تتغيَّر بتغيُّر 𞸎، ومن ثَمَّ فإن مشتقتها تساوي صفرًا. وهذا يعني أن المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎)=٠ هي 𞸕(𞸎)=١. ينطبق هذا أيضًا بالنسبة لـ 𞸕(𞸎)=٢. وفي الواقع ينطبق على أيِّ ثابت حقيقي 𞸕(𞸎)=ث، لأن المشتقة ستكون دائمًا 󰎨(𞸎)=٠؛ حيث ث=٠. وهذا يعني أن المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎)=٠ ستكون ثابتًا ما 𞸕(𞸎)=ث، أو يمكننا القول إن المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎)=٠ هي 𞸕(𞸎)=ث؛ لجميع قيم ث𞹇.

ماذا عن مشتقة الدالة 𞸕(𞸎)+ث؟ بما أن المشتقة خطية، أي يمكننا اشتقاق تركيبات خطية من الدوالِّ بشكل منفصل، وتحديدًا (󰎨+𞸓)=󰎨+𞸓󰍱، فإنه يكون لدينا: (𞸕(𞸎)+)=𞸕(𞸎)+=𞸕(𞸎)+٠=󰎨(𞸎).ثث󰍱

الثابت ث، الذي يُعرَف أيضًا بثابت الاشتقاق العكسي، مهم للغاية؛ حيث إنه يُنتِج مجموعة من المشتقات العكسية، 𞸕(𞸎)+ث، التي يمثِّلها بارامتريًّا ث. وهذا يعني أن 󰎨(𞸎) هي مشتقة 𞸕(𞸎)+ث؛ بحيث تكون 𞸕(𞸎)+ث هي المشتقة العكسية أو المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)، لجميع قيم ث𞹇. ولهذا السبب نضيف دائمًا +ث عند إيجاد المشتقة العكسية (العامة) لأيِّ دالة؛ لأنه دون وجوده تكون لدينا فقط مشتقة عكسية، وهي ليست وحيدة. بعبارة أخرى 𞸕(𞸎)+ث هي الدالة العامة التي لها مشتقة 󰎨(𞸎) لجميع قيم ث𞹇. على سبيل المثال، بينما 𞸎٢ هي المشتقة العكسية لـ ٢𞸎، تكون 𞸎+٢ث هي المشتقة العكسية العامة لـ ٢𞸎. وهذا يعني أن: 𞸎+١٢، 𞸎+٧٢، 𞸎+󰋴٢٢، أو 𞸎+𝜋٢، وهكذا؛ هي أيضًا جميعها مشتقات عكسية لـ ٢𞸎.

باستخدام هذه الطريقة، يمكننا القول أيضًا إن المشتقة العكسية العامة لدالةٍ ما 󰎨(𞸎) هي الدالة 󰎨(𞸎)+ث لـ ث𞹇، وبالمثل يمكننا القول إن المشتقة العكسية العامة للدالة 󰎨(𞸎) هي الدالة 󰎨(𞸎)+ث وهذه العملية مستمرة.

إذا كان لدينا أيضًا 𞸕󰁓𞸎󰁒=𞸕٠٠، التي تُعرَف أيضًا باسم الشرط الحدِّي، يمكننا إذن تحديد الثابت ث للحصول على مشتقة عكسية وحيدة تحقِّق الشرط الحدِّي.

ونلاحظ أيضًا أن وجود مضاعَف ثابت مضروب في أول دالة لا يؤثِّر على مشتقتها العكسية. وهذا يتبع تعريف المشتقة المطبَّقة على 󰏡𞸕(𞸎): (󰏡𞸕(𞸎))=󰏡𞸕(𞸎)=󰏡(𞸕(𞸎))=󰏡󰎨(𞸎).󰍱󰍱

إذن، 󰏡𞸕(𞸎) هي مشتقة عكسية لـ 󰏡󰎨(𞸎)، أو 󰏡𞸕(𞸎)+ث هي المشتقة العكسية العامة لـ 󰏡󰎨(𞸎)؛ لجميع قيم ث𞹇. هذا يعني أنه يمكننا دائمًا وضع مضاعَف ثابت داخل المشتقة على الصورة: 󰏡(𞸕(𞸎))=(󰏡𞸕(𞸎))󰍱󰍱. بعبارة أخرى، إذا ضُربَت المشتقة في ثابت، تُضرَب المشتقة العكسية أيضًا في الثابت نفسه، والعكس صحيح.

إذا أردنا إيجاد المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎)=󰏡𞹟(𞸎)+𞸁𞸓(𞸎) لبعض الدوالِّ: 𞹟(𞸎)،𞸓(𞸎)𞹇𞹇، والثوابت: 󰏡،𞸁𞹇؛ يمكننا إيجاد المشتقات العكسية لـ 󰏡𞹟(𞸎)، 𞸁𞸓(𞸎) على حدة، لنَقُل: 󰏡𞸕(𞸎)𞹟، 𞸁𞸕(𞸎)𞸓، ثم نجمع النواتج. بعبارة أخرى، المشتقة العكسية لأيِّ مجموعٍ هي مجموع المشتقات العكسية؛ فالمشتقة العكسية هي عملية خطية تتبع خطية المشتقة.

لكي نرى هذا نجعل 𞸕(𞸎)=󰏡𞸕(𞸎)+𞸁𞸕(𞸎)𞹟𞸓؛ بحيث يكون 𞹟(𞸎)=𞸕(𞸎)𞹟، 𞸓(𞸎)=𞸕(𞸎)𞸓، وباستخدام حقيقة أنه يمكننا اشتقاق تركيبات خطية من الدوالِّ بشكل منفصل يكون لدينا: 󰎨(𞸎)=𞸕(𞸎)=󰁓󰏡𞸕(𞸎)+𞸁𞸕(𞸎)󰁒=󰏡𞸕(𞸎)+𞸁𞸕(𞸎)=󰏡𞹟(𞸎)+𞸁𞸓(𞸎).𞹟𞸓󰍱𞹟𞸓

ومن ثَمَّ، تكون المشتقة العكسية للمجموع 󰎨(𞸎)=󰏡𞹟(𞸎)+𞸁𞸓(𞸎) هي: 𞸕(𞸎)=󰏡𞸕(𞸎)+𞸁𞸕(𞸎)𞹟𞸓؛ أي مجموع المشتقات العكسية. ومن ثَمَّ، لكي نعمل بصورة عكسية، ونوجد مشتقة عكسية لمجموع الدوالِّ؛ علينا فقط إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ جزء على حدة، وجمع النواتج معًا، دون أن ننسى +ث في النهاية. في المعتاد، قد نحصل على ثوابت المضاعَف لكلِّ جزء من خلال عملية الاشتقاق العكسي، لكن يمكننا تجميعها في ثابت واحد. المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=󰏡𞹟(𞸎)+𞸁𞸓(𞸎) هي: 𞸕(𞸎)+=󰏡𞸕(𞸎)+𞸁𞸕(𞸎)+.ثث𞹟𞸓

ونلاحظ أننا بينما نكتب المشتقة العكسية العامة على الصورة: 𞸕(𞸎)+ث للتأكُّد من أن الثابت يظهر بوضوح، يمكننا عادة تضمين ذلك في الدالة 𞸕(𞸎)؛ بحيث تتضمَّن بالفعل +ث. على سبيل المثال، يمكننا القول إن المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=٢𞸎 هي: 𞸕(𞸎)=𞸎+٢ث، بدلًا من كتابة المشتقة العكسية العامة على الصورة: 𞸕(𞸎)+ث مع 𞸕(𞸎)=𞸎٢.

الآن، لنفترض أن 𞸕(𞸎)=𞸎𞸋 لـ 𞸋𞹇، يمكن إيجاد مشتقة هذه الدالة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق على الصورة: 󰁓𞸎󰁒=𞸋𞸎.𞸋󰍱𞸋١

سيكون من المفيد إعادة كتابة هذا في صورة: ١𞸋󰁓𞸎󰁒=󰃁𞸎𞸋󰃀=𞸎،𞸋󰍱𞸋󰍱𞸋١ حيث نقسمها على الثابت 𞸋٠؛ لأن المضاعَف بثابت للدالة لا يؤثِّر على المشتقة أو المشتقة العكسية. لكن ماذا إذا أردنا الحلَّ بطريقة عكسية؟ أي؛ إذا كانت 󰎨(𞸎)=𞸎󰏡، نحن نريد إيجاد المشتقة العكسية. هذا يعني أننا نريد إيجاد الدالة العامة 𞸕(𞸎) وهي تُشتَق لتعطينا 𞸎󰏡.

لقد أوضحنا بالفعل أن مشتقة 𞸎𞸋𞸋 هي: 𞸎𞸋١، لـ 𞸋٠. لنفترض أن: 𞸋=󰏡+١، إذن يكون لدينا: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، تكون 𞸎󰏡+١󰏡+١ هي المشتقة العكسية لـ 𞸎󰏡، شريطة أن يكون 󰏡١. ويمكن إيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=𞸎󰏡 عن طريق إضافة ثابت عدم الاشتقاق على الصورة: 𞸕(𞸎)=𞸎󰏡+١+،󰏡١،󰏡+١ث وهو الذي يمكننا التحقُّق منه عن طريق اشتقاق هذا التعبير بالنسبة إلى 𞸎. عندما تكون الحالة أن 󰏡=١؛ أي المشتقة العكسية لـ 𞸎١، نلاحظ أن: 󰁓|𞸎|󰁒=𞸎.𞸤󰍱١

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=𞸎󰏡 عندما تكون 󰏡=١ هي: 𞸕(𞸎)=|𞸎|+.ث𞸤

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي نطبِّق فيها هذه القواعد، بدءًا من إيجاد مشتقة عكسية لدالة كثيرة الحدود.

مثال ١: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة كثيرة الحدود

أوجد الصورة العامة للمشتقة العكسية 𞸕(𞸎) للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎٣𞸎𞸎٧٥٢.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة كثيرة الحدود.

المشتقة العكسية العامة للدالة 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸎) للتبسيط.

نتذكُّر أن المشتقة العكسية خطية؛ حيث إن المشتقة العكسية لمجموعٍ ما هي مجموع المشتقات العكسية. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ حدٍّ على حدة، وتجميع ثوابت الاشتقاق العكسي لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎󰏡 هي: 𞸎󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

ويمكن إيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=٢𞸎٣𞸎𞸎٧٥٢ باستخدام هذه القواعد على الصورة: 𞸕(𞸎)=٢󰃁𞸎٧+١󰃀٣󰃁𞸎٥+١󰃀󰃁𞸎٢+١󰃀+=٢٨𞸎٣٦𞸎١٣𞸎+=𞸎٤𞸎٢𞸎٣+.٧+١٥+١٢+١٨٦٣٨٦٣ثثث

والآن، لنتناول مثالًا علينا فيه تحديد ثابت الاشتقاق العكسي بتطبيق الشرط الحدِّي.

مثال ٢: إيجاد المشتقة العكسية لدالة كثيرة الحدود

أوجد المشتقة العكسية 𞸕 للدالة 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٤𞸎٤٣؛ حيث 𞸕(١)=٢.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد المشتقة العكسية الوحيدة لدالة بمعلومية شرط حدِّي.

المشتقة العكسية العامة لدالةٍ ما 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸎) للتبسيط.

نتذكَّر أن المشتقة العكسية خطية؛ حيث إن المشتقة العكسية لمجموعٍ ما هي مجموع المشتقات العكسية. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ حدٍّ على حدة، وتجميع ثوابت الاشتقاق العكسي لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎󰏡 هي: 𞸎󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

ويمكن إيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=٥𞸎+٤𞸎٤٣ من هذه القواعد على الصورة: 𞸕(𞸎)=٥󰃁𞸎٤+١󰃀+٤󰃁𞸎٣+١󰃀+=𞸎+𞸎+.٤+١٣+١٥٤ثث

إذا كانت لدينا أيضًا معطيات 𞸕󰁓𞸎󰁒=𞸕٠٠، التي تُعرَف أيضًا باسم الشرط الحدِّي، يمكننا أيضًا تحديد الثابت ث للحصول على مشتقة عكسية وحيدة تحقِّق الشرط الحدِّي.

باستخدام الشرط الحدِّي 𞸕(١)=٢ نحصل على: 𞸕(١)=(١)+(١)+=٢،٥٤ث وهي التي تعطينا بعد إعادة ترتيبها: ث=٤.

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية الوحيدة التي تحقِّق الشرط الحدِّي 𞸕(١)=٢ تكون معطاة بدلالة: 𞸕(𞸎)=𞸎+𞸎٤.٥٤

يتضمَّن المثال التالي أخذ المشتقة العكسية مرتين لتحديد الدالة من مشتقتها الثانية.

مثال ٣: إيجاد مقدار دالة بمعلومية مشتقتها الثانية باستخدام التكامل

إذا كان 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٣𞸎+٥𞸎+٢٥٣ فأوجد 󰎨(𞸎).

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد الدالة 󰎨(𞸎) من مقدار مشتقتها الثانية 󰎨(𞸎) باستخدام عملية الاشتقاق العكسي.

المشتقة العكسية العامة للدالة 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸎) للتبسيط.

بما أن 󰎨(𞸎) هي مشتقة لـ 󰎨(𞸎)، تكون 󰎨(𞸎) هي مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸎)، وبالمثل تكون 󰎨(𞸎) هي مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸎). ولذلك، لتحديد 󰎨(𞸎) من 󰎨(𞸎) علينا إجراء الاشتقاق العكسي مرتين.

نتذكَّر أن المشتقة العكسية خطية؛ حيث إن المشتقة العكسية لمجموعٍ ما هي مجموع المشتقات العكسية. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ حدٍّ على حدة، وتجميع ثوابت الاشتقاق العكسي لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎󰏡 هي: 𞸎󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

ويمكن إيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٣𞸎+٥𞸎+٢٥٣ من خلال هذه القواعد لنتمكَّن من تحديد 󰎨(𞸎) على الصورة: 󰎨(𞸎)=٣󰃁𞸎٥+١󰃀+٣󰃁𞸎٣+١󰃀+٥󰃁𞸎١+١󰃀+٢󰃁𞸎١+٠󰃀+=𞸎٢+٣𞸎٤+٥𞸎٢+٢𞸎+.٥+١٣+١١+١١+٠٦٤٢ثث

بتكرار هذه العملية لإيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎) نجد أن 󰎨(𞸎) على الصورة: 󰎨(𞸎)=١٢󰃁𞸎٦+١󰃀+٣٤󰃁𞸎٤+١󰃀+٥٢󰃁𞸎٢+١󰃀+٢󰃁𞸎١+١󰃀+󰃁𞸎١+٠󰃀+=𞸎٤١+٣𞸎٠٢+٥𞸎٦+𞸎+𞸎+.٦+١٤+١٢+١١+١١+٠٧٥٣٢ثثثث

يتضمَّن المثال التالي إيجاد المقدار الوحيد للدالة باستخدام مشتقتها الأولى والشرط الحدِّي.

مثال ٤: إيجاد مقدار دالة بمعلومية مشتقتها الأولى وقيمة الدالة عند نقطةٍ ما

أوجد الدالة 󰎨 إذا كانت 󰎨(𞸎)=٣𞸎+١󰋴𞸎، 󰎨(١)=٤.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد المشتقة العكسية الوحيدة لدالةٍ بمعلومية الشرط الحدِّي.

المشتقة العكسية العامة لدالةٍ ما 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸎) للتبسيط.

وبما أن 󰎨(𞸎) هي مشتقة لـ 󰎨(𞸎)، فإن 󰎨(𞸎) هي مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸎).

نتذكَّر أن المشتقة العكسية خطية؛ حيث إن المشتقة العكسية لمجموعٍ ما هي مجموع المشتقات العكسية. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ حدٍّ على حدة، وتجميع ثوابت الاشتقاق العكسي لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎󰏡 هي: 𞸎󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

نبدأ بإعادة كتابة 󰎨(𞸎) على الصورة: 󰎨(𞸎)=٣𞸎+١𞸎=٣𞸎𞸎+١𞸎=٣𞸎+𞸎.١٢١٢١٢١٢١٢

يمكننا الآن إيجاد المشتقة العكسية عن طريق تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق العكسي المعطاة أعلاه: 󰎨(𞸎)=٣󰃭𞸎+١󰃬+󰃭𞸎+١󰃬+=٢𞸎+٢󰋴𞸎+.١٢١٢٣٢+١١٢+١١٢ثث

إذا أخبرنا السؤال بـ 󰎨󰁓𞸎󰁒=󰎨٠٠، التي تُعرَف أيضًا باسم الشرط الحدِّي، يمكننا أيضًا تحديد الثابت ث للحصول على مشتقة عكسية وحيدة تحقِّق الشرط الحدِّي.

باستخدام الشرط الحدِّي 󰎨(١)=٤: 󰎨(١)=٢(١)+٢󰋴١+=٤.٣٢ث

ومن ثَمَّ، نجد أن: ث=٤.

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية الوحيدة لـ 󰎨(𞸎) التي تحقِّق الشرط الحدِّي تكون معطاة بدلالة: 󰎨(𞸎)=٢𞸎+٢󰋴𞸎+٤.٣٢

حتى الآن، عرفنا كيف نوجد المشتقة العكسية لدالةٍ تتضمَّن قوى 𞸎 من خلال الحلِّ بطريقة معكوسة من مشتقة. وبالمثل، يمكننا تطبيق العملية نفسها على دوالَّ شائعة أخرى (مثل: الدوالِّ الأسية، أو المثلثية) التي نتناولها؛ عن طريق حساب المشتقة أولًا، والحلِّ بطريقة عكسية لإيجاد مشتقة عكسية بتضمين الثابت +ث. هذا يتيح لنا تكوين جدولٍ من المشتقات العكسية العامة:

ويمكن أيضًا التحقُّق من هذا مباشرة عن طريق حساب مشتقات 𞸕(𞸎) لإظهار أنها تساوي 󰎨(𞸎) المناظرة لها. على سبيل المثال، إذا كانت 𞸕(𞸎)+=١󰏡𞸤+ثث󰏡𞸎، إذن يمكن إيجاد المشتقة على الصورة: 󰎨(𞸎)=(𞸕(𞸎)+)=󰂔١󰏡𞸤+󰂓=١󰏡󰁓𞸤󰁒+٠=١󰏡×󰏡𞸤=𞸤.ثث󰍱󰏡𞸎󰍱󰏡𞸎󰍱󰏡𞸎󰏡𞸎

في حالة الدوالِّ الأكثر تعقيدًا التي تكون معطاة بدلالة مجموع هذه الدوالِّ القياسية أو حاصل ضربها، يمكننا استخدام بعض القواعد لمساعدتنا في تحديد المشتقة العكسية؛ مثل: القاعدة الخطية للمشتقة العكسية التي أنشأناها.

لكي نرى ذلك، لنفترض أننا نريد إيجاد المشتقة العكسية لـ: 󰎨(𞸎)=٢𞸤+𞸎.𞸎

هذا هو مجموع نوعين مختلفين من الدوالِّ: الدالة الأسية، والدالة المثلثية. يمكننا إيجاد مشتقة عكسية لـ ٢𞸤𞸎، 𞸎 بشكل منفصل، وإضافة الناتج. مشتقة 𞸎 هي 𞸎، ومن ثَمَّ تكون المشتقة العكسية لـ 𞸎 هي 𞸎، وبالمثل تكون المشتقة العكسية لـ ٢𞸤𞸎 هي نفسها. على وجه التحديد، نجد أن: 𞸕(𞸎)+=٢𞸤𞸎+،ثث𞸎 وهي التي يمكننا التحقُّق من صحتها باستخدام المشتقة.

والآن، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى للتدرُّب وتعميق الفهم. يتضمَّن المثال التالي دالة مثلثية، وقوة 𞸎 تكون عددًا غير صحيح.

مثال ٥: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالةٍ معطاة تتضمَّن دوالَّ مثلثية وجذرية

أوجد المشتقة العكسية العامة للدالة 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٣٢٣󰋴𞸎.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد المشتقة العكسية العامة لدالة تتضمَّن دالة جذرية ودالة مثلثية.

المشتقة العكسية العامة للدالة 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸎) للتبسيط.

نتذكَّر أن المشتقة العكسية خطية؛ حيث إن المشتقة العكسية لمجموعٍ ما هي مجموع المشتقات العكسية. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ حدٍّ على حدة، وتجميع ثوابت الاشتقاق العكسي لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎󰏡 هي: 𞸎󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

أيضًا نلاحظ أن: (𞸎)=𞸎.󰍱

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎 هي: 𞸎+.ث

نبدأ بإعادة كتابة 󰎨(𞸎) على الصورة: 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٣٢٣󰋴𞸎=٤𞸎+٣٢٣𞸎.١٢

والآن، يمكننا تحديد المشتقة العكسية العامة باستخدام القواعد أعلاه على الصورة: 𞸕(𞸎)=٤𞸎+٣𞸎٢٣󰃭𞸎+١󰃬+=٤𞸎+٣𞸎٤٣𞸎+.ثث١٢١٢+١١٢

ومن ثَمَّ، تكون المشتقة العكسية العامة معطاة بدلالة: 𞸕(𞸎)=٤󰋴𞸎٣+٣𞸎٤𞸎+.ث

والآن، لنتناول مثالًا علينا فيه تحديد قيمة دالةٍ بمشتقتها الثالثة التي تتضمَّن دالة مثلثية ودالةَ جذرٍ تربيعيٍّ، من خلال إيجاد المشتقة العكسية ثلاث مرات.

مثال ٦: إيجاد مقدار دالة بمعلومية مشتقتها الثالثة

أوجد 󰎨(𞸍) إذا كانت 󰎨(𞸍)=٤󰋴𞸍+٥𞸍.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد التعبير العام لدالةٍ من مشتقتها الثالثة 󰎨(𞸍) باستخدام عملية الاشتقاق العكسي.

المشتقة العكسية العامة لدالةٍ ما 󰎨(𞸍) هي الدالة 𞸕(𞸍)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸍)=󰎨(𞸍). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸍) للتبسيط.

بما أن 󰎨(𞸍) هي مشتقة 󰎨(𞸍)، تكون 󰎨(𞸍) مشتقة عكسية لـ 󰎨(𞸍)، وبالمثل تكون 󰎨(𞸍) هي المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸍)، و󰎨(𞸍) هي المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸍). ولذلك، لتحديد 󰎨(𞸍) من 󰎨(𞸍) نحتاج إلى إجراء عملية الاشتقاق العكسي ثلاث مرات.

نتذكَّر أن المشتقة العكسية خطية؛ حيث إن المشتقة العكسية لمجموعٍ ما هي مجموع المشتقات العكسية. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكلِّ حدٍّ على حدة، وتجميع ثوابت الاشتقاق العكسي لإيجاد المشتقة العكسية العامة للدالة.

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸍󰏡+١󰃀=𞸍،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡 ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸍󰏡 هي: 𞸍󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

أيضًا نلاحظ أن: (𞸍)=𞸍،(𞸍)=𞸍.󰍱󰍱

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸍 هي: 𞸍+،ث والمشتقة العكسية العامة لـ 𞸍 هي: ث𞸍+.

يمكننا أيضًا كتابة الدالة الجذرية على الصورة: 󰋴𞸍=𞸍١٢.

ويمكن إيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸍)=٤𞸍+٥𞸍١٢ من خلال هذه القواعد لنتمكَّن من تحديد 󰎨(𞸍) على الصورة: 󰎨(𞸍)=٤󰃭𞸍+١󰃬+٥𞸍+󰁜=٨٣𞸍+٥𞸍+󰁜.١٢٣٢+١١٢ثث

بتكرار العملية لإيجاد المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸍) نجد أن 󰎨(𞸍) على الصورة: 󰎨(𞸍)=٨٣󰃭𞸍+١󰃬٥𞸍+󰁜𞸍+=٦١٥١𞸍٥𞸍+󰁜𞸍+.٣٢٥٢+١٣٢ثثثث

مرة أخرى، لتحديد المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸍) نجد أن 󰎨(𞸍): 󰎨(𞸍)=٦١٥١󰃭𞸍+١󰃬٥𞸍+󰁜󰃁𞸍١+١󰃀+𞸍+=٢٣𞸍٥٠١٥𞸍+󰁜𞸍٢+𞸍+=٢٣𞸍٥٠١٥𞸍+𞸍+𞸍+.٥٢٧٢٧٢+١٥٢١+١٢٢ثثثثثثثثث

ونلاحظ أننا أجرينا التعويض ثث=󰁜٢؛ لأن هذا مجرد ثابت آخَر يمكننا إعادة كتابته للتبسيط.

إذا كان لدينا حاصل ضرب دالتين 𞸕(𞸎)=𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)+𞹟𞸓ث؛ حيث 𞸕(𞸎)𞹟، 𞸕(𞸎)𞸓 هما المشتقتان العكسيتان لـ 𞹟(𞸎)، 𞸓(𞸎) مع 𞹟(𞸎)=𞸕(𞸎)𞹟، 𞸓(𞸎)=𞸕(𞸎)𞸓، ونعلم من قاعدة الضرب أن: 󰎨(𞸎)=𞸕(𞸎)=󰁓𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)+󰁒=𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)+𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)=𞹟(𞸎)𞸕(𞸎)+𞸓(𞸎)𞸕(𞸎).𞹟𞸓󰍱𞹟𞸓𞸓𞹟𞸓𞹟ث

فمن ثَمَّ، تكون المشتقة العكسية لهذا الجمع 𞹟(𞸎)𞸕(𞸎)+𞸓(𞸎)𞸕(𞸎)𞸓𞹟 هي: 𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)𞹟𞸓، والمشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=𞹟(𞸎)𞸕(𞸎)+𞸓(𞸎)𞸕(𞸎)𞸓𞹟 هي: 𞸕(𞸎)=𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)+.𞹟𞸓ث

في الواقع، يمكننا اتباع هذه العملية مع أيِّ قاعدة مشتقة لإيجاد قاعدةٍ تناظر المشتقة العكسية.

الآن، لنفترض أننا نريد إيجاد المشتقة العكسية لـ: 󰎨(𞸎)=٢𞸤𞸎+٢𞸤𞸎.𞸎𞸎

هذا يساوي مجموع دالتين؛ كلٌّ منهما حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوالِّ: الدالة الأسية والدالة المثلثية. لإيجاد المشتقة العكسية علينا عكس قاعدة الضرب من خلال تحديد 𞹟(𞸎)، 𞸓(𞸎)، وأخذ حاصل الضرب لحساب المشتقة العكسية. وبمقارنة الحدِّ الأول في 󰎨(𞸎) مع الحدِّ الأول في قاعدة الضرب، 𞹟(𞸎)𞸕(𞸎)𞸓، يمكننا أن نحصل على 𞹟(𞸎)𞸕(𞸎)=٢𞸤𞸎𞸓𞸎، ومن ثَمَّ يكون الخياران: 𞹟(𞸎)=𞸤،𞸕(𞸎)=٢𞸎،𞸎𞸓 أو 𞹟(𞸎)=٢𞸎،𞸕(𞸎)=𞸤.𞸓𞸎

خيار واحد فقط من هذين الخيارين سيعطينا المشتقة العكسية. يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لـ 𞸕(𞸎)𞹟 لتحديد 𞹟(𞸎) لكلٍّ من هذين الخيارين، ثم مقارنة مشتقة حاصل الضرب 𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)𞹟𞸓 لمعرفة أيُّهما سيعطينا الدالة 󰎨(𞸎).

الخيار الأول سيعطينا 𞸕(𞸎)=𞸤𞹟𞸎؛ لأن المشتقة العكسية لـ 𞸤𞸎 هي نفسها، وحاصل الضرب 𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)=٢𞸤𞸎𞹟𞸓𞸎: 𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸤𞸎󰁒=٢𞸤𞸎+٢𞸤𞸎.𞸎𞸎𞸎

من الواضح أن هذا الخيار ينطبق؛ حيث إن الطرف الأيسر يكافئ 󰎨(𞸎). ولإكمال الحلِّ، دعونا أيضًا نتناول الخيار الثاني. المشتقة العكسية لـ 𞹟(𞸎)=٢𞸎 هي: 𞸕(𞸎)=٢𞸎𞹟، وهو ما يعطينا حاصل الضرب: 𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)=٢𞸎𞸤𞹟𞸓𞸎. وبإيجاد مشتقة حاصل الضرب هذا، يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰁓٢𞸤𞸎󰁒=٢𞸤𞸎٢𞸤𞸎.𞸎𞸎𞸎

وهذا لا ينطبق؛ حيث إن الحدَّ الثاني به علامة مختلفة مقارنة بالدالة 󰎨(𞸎). ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎)=٢𞸤𞸎+٢𞸤𞸎𞸎𞸎 هي: 𞸕(𞸎)=٢𞸤𞸎+.𞸎ث

ونلاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا فعل ذلك مع الحدِّ الثاني في قاعدة الضرب، 󰎨(𞸎) مع 𞸓(𞸎)𞸕(𞸎)=٢𞸤𞸎𞹟𞸎، ولكن قد يعطينا هذا الناتج نفسه، ومن ثَمَّ يكفي التحقُّق من أحد الحدود فقط لإيجاد حاصل الضرب المناسب؛ وهو المشتقة العكسية التي نحتاج إليها، ثم الاشتقاق للتحقُّق مما إذا كان هذا يعطينا الدالة 󰎨(𞸎) مرة أخرى.

وأخيرًا، لنتناول الدالة: 󰎨(𞸎)=𞸎𞸤+٢𞸎𞸤.٢𞸎𞸎

مرة أخرى، هذا مجموع دالتين؛ كلٌّ منهما حاصل ضرب قوةٍ ما 𞸎، ودالة أسية. ولذلك، عند تحديد 𞸕(𞸎)=𞸎𞹟٢، 𞸕(𞸎)=𞸤𞸓𞸎 نحصل على: 𞸕(𞸎)=𞸎𞸤+،٢𞸎ث التي يمكننا التحقُّق منها أيضًا بأخذ المشتقة: 𞸕(𞸎)=󰁓𞸎𞸤+󰁒=󰁓𞸎𞸤󰁒+٠=𞸎𞸤+٢𞸎𞸤=󰎨(𞸎).٢𞸎󰍱٢𞸎󰍱٢𞸎𞸎ث

أخيرًا، لنتناول مثالًا علينا فيه عكس قاعدة الضرب، في دالة أسية تتضمَّن جذرًا تربيعيًا.

مثال ٧: استخدام قاعدة الضرب لإيجاد مشتقة عكسية

باستخدام قاعدة الضرب، أوجد الدالة 󰎨؛ حيث 󰎨(𞸎)=𞸤󰋴𞸎+٢𞸤󰋴𞸎𞸎𞸎.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎) من خلال تناول قاعدة الضرب.

المشتقة العكسية العامة للدالة 󰎨(𞸎) هي الدالة 𞸕(𞸎)+ث، لجميع قيم ث𞹇؛ حيث 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎). يمكننا أيضًا تضمين الثابت ث في الدالة 𞸕(𞸎) للتبسيط.

نريد إيجاد المشتقة العكسية لدالةٍ ما بتناول قاعدة الضرب في الاتجاه العكسي. تذكَّر أن قاعدة الضرب لدالتين قابلتين للاشتقاق 𞹟، 𞸓 تكون معطاة بدلالة: (𞹟𞸓)=𞹟𞸓+𞸓𞹟.󰍱

باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق يمكننا توضيح أن: 󰃁𞸎󰏡+١󰃀=𞸎،󰏡١.󰏡+١󰍱󰏡

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸎󰏡 هي: 𞸎󰏡+١+،󰏡١.󰏡+١ث

كما نلاحظ أن مشتقة 𞸤𞸎 هي نفسها. ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 𞸤𞸎 هي: 𞸤+𞸎ث.

إذا قارنَّا الحدود، يمكننا تحديد: 𞸓(𞸎)=٢𞸤،𞹟(𞸎)=󰋴𞸎،𞸎 حيث تكون المشتقة العكسية لـ 𞹟(𞸎) هي: 𞸓(𞸎)=٢𞸤،𞸎 أو 𞸓(𞸎)=󰋴𞸎،𞹟(𞸎)=٢𞸤،𞸎 حيث تكون المشتقة العكسية لـ 𞸓(𞸎) هي: 𞸓(𞸎)=𞸎+١=٢٣𞸎.١٢٣٢+١١٢

الخيار الأول يعطينا حاصل الضرب على الصورة: 𞹟(𞸎)𞸓(𞸎)=٢𞸤󰋴𞸎𞸎، وهو الذي يمكننا التحقُّق منه مباشرة من خلال حساب قيمة المشتقة باستخدام قاعدة الضرب 𞹟(𞸎)=٢𞸤𞸎، 𞸓(𞸎)=󰋴𞸎: 𞹟(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰁓𞸤󰁒=𞸤،𞸎𞸎𞸓(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰂔󰋴𞸎󰂓=𞸃𞸃𞸎󰂔𞸎󰂓=١٢𞸎=١٢𞸎=١٢󰋴𞸎.١٢١٢١٢١

وعليه، باستخدام قاعدة الضرب يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰂔٢󰋴𞸎𞸤󰂓=𞸤󰋴𞸎+٢󰋴𞸎𞸤،𞸎𞸎𞸎 وهو ما يساوي بوضوح 󰎨(𞸎)، ويمكننا كتابة: 󰎨(𞸎)=𞸃𞸃𞸎󰂔٢󰋴𞸎𞸤󰂓.𞸎

ومن ثَمَّ، فإن المشتقة العكسية العامة لـ 󰎨(𞸎) تكون معطاة بدلالة: 󰎨(𞸎)=٢󰋴𞸎𞸤+.𞸎ث

في هذا الشارح، حدَّدنا المشتقات العكسية لدالةٍ ما من خلال عكس عملية الاشتقاق. وهناك طرق أكثر مباشرة لحساب المشتقة العكسية باستخدام ما يُسمَّى بالتكامل. على وجه التحديد، المشتقة العكسية لدالةٍ ما 󰎨(𞸎) تكافئ التكامل غير المحدَّد لـ 󰎨(𞸎). وبذلك، إذا كانت 𞸕(𞸎)=󰎨(𞸎)، إذن: 𞸕(𞸎)=󰏅󰎨(𞸎)𞸃𞸎+،ث حيث (ث) أيضًا يُسمَّى ثابت التكامل. لتحديد التكاملات غير المحدَّدة، يوجد العديد من الأدوات التي يمكننا استخدامها، الأمر الذي يسهِّل إيجاد المشتقة العكسية. توضِّح النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل العلاقة بين المشتقات والتكاملات المحدَّدة، وهو ما يمكن تفسيره بأنه المساحة أسفل منحنى 󰎨(𞸎) داخل فترةٍ ما.

وهذان يقعان خارج نطاق هذا الشارح، وسوف نتناولهما في درس آخَر بمزيدٍ من التفصيل.

النقاط الرئيسية

  • الاشتقاق العكسي هو العملية العكسية للاشتقاق.
  • إذا كانت 𞸕(𞸎) هي المشتقة العكسية لـ 󰎨(𞸎)، إذن تكون المشتقة العكسية العامة هي: 𞸕(𞸎)+ث لجميع قيم ث𞹇. بعبارة أخرى، المشتقات العكسية تتضمَّن دائمًا +ث الذي يعطينا مجموعة من المشتقات العكسية (العامة) التي يمثِّلها بارامتريًّا الثابت ث.
  • يمكن تحديد المشتقة العكسية الوحيدة بتضمين شرط حدِّي.
  • تحقِّق المشتقات العكسية خواصَّ معينة، تشبه المشتقات. يمكننا تلخيص هذه الخواصِّ في جدول؛ حيث 𞸕𞹟، 𞸕𞸓، 𞸕 هي المشتقات العكسية لـ 𞹟، 𞸓، 󰎨 على الترتيب.
    الدالة الأصليةالمشتقة العكسية العامة
    قاعدة مضاعَف بثابت: 󰏡󰎨(𞸎)󰏡𞸕(𞸎)+ث
    قاعدة المجموع: 𞹟(𞸎)+𞸓(𞸎)𞸕(𞸎)+𞸕(𞸎)+𞹟𞸓ث
    قاعدة الضرب: 𞹟(𞸎)𞸕(𞸎)+𞸕(𞸎)𞸓(𞸎)𞸓𞹟𞸕(𞸎)𞸕(𞸎)+𞹟𞸓ث

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.