فيديو السؤال: استخدام الاحتمالات الشرطية لتحديد إذا ما كان حدثان واقعيان مستقلين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يستخدم كل من فارس وعادل جهازي الحاسب الخاصين بهما للمشاركة في تجربة عبر الإنترنت على أحد المواقع الإلكترونية. عند ضغط فارس على مفتاح المسافة على لوحة المفاتيح لديه، هناك احتمال بنسبة ٥٠٪ أن تتحول الشاشة إلى اللون الأزرق. عند ضغط عادل على مفتاح المسافة على لوحة المفاتيح لديه، هناك احتمال بنسبة ٤٥٪ أن تتحول الشاشة إلى اللون الأزرق. إذا ضغط كلاهما على مفتاحي المسافة لديهما، فهناك فرصة بنسبة ١٥٪ أن تتحول شاشتاهما إلى اللون الأزرق. هل يعد «تحول شاشة جهاز فارس إلى اللون الأزرق» و«تحول شاشة جهاز عادل إلى اللون الأزرق» حدثين مستقلين؟

مطلوب في هذا السؤال معرفة إذا ما كان الحدثان مستقلين أو لا. بعبارة أخرى، هل الحدثان «تحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق؟» و«تحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق» مستقلان أو لا؟ دعونا نسترجع أولًا ما نعنيه بقولنا إن الحدثين مستقلان. نقول إن الحدثين ﺃ وﺏ مستقلان إذا كان وقوع الحدث ﺃ لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ، والعكس صحيح. أما فيما يختص بالحدثين المستقلين ﺃ وﺏ، فاحتمال وقوع ﺃ وﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ في احتمال وقوع ﺏ.

لكن لنلق نظرة الآن على صيغة الاحتمال الشرطي. تنص الصيغة على أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال ﺃ وﺏ على احتمال ﺏ. يمكننا إعادة ترتيب ذلك بضرب كلا الطرفين في احتمال ﺏ بحيث يصبح احتمال وقوع ﺏ مضروبًا في احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ وﺏ. بتبديل الطرفين، يمكننا المقارنة بين هذه المعادلة وبين المعادلة الأولى للحدثين المستقلين. ونلاحظ أنه إذا كان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين، فإن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يجب أن يساوي احتمال وقوع ﺃ. وتنطبق الفكرة نفسها على احتمال وقوع ﺏ. وهذا يعني أن احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺏ.

وهذا منطقي تمامًا لأنه إذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، فإن حقيقة وقوع الحدث ﺃ لا تؤثر على احتمال وقوع الحدث ﺏ. نستخلص من ذلك طريقة مفيدة جدًّا للتحقق مما إذا كان الحدثان مستقلين أو لا. لنطبق الآن على سؤال فارس وعادل.

سنفترض أن احتمال وقوع ﻑ يمثل احتمال تحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق واحتمال وقوع ﻉ يمثل احتمال تحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق. نعلم أنه عندما يضغط فارس على مفتاح المسافة على لوحة المفاتيح، يوجد احتمال بنسبة ٥٠ بالمائة أن تتحول شاشته إلى اللون الأزرق. وهو ما يعني أن احتمال وقوع ﻑ يساوي ٥٠ بالمائة. وعندما يضغط عادل على مفتاح المسافة على لوحة المفاتيح، يوجد احتمال بنسبة ٤٥ بالمائة أن يتحول لون شاشته إلى اللون الأزرق لذا احتمال وقوع ﻉ يساوي ٤٥ بالمائة. يمكننا كتابة ذلك على صورة كسور، ٥٠ على ١٠٠ و٤٥ على ١٠٠، أو على صورة أعداد عشرية، أي ٠٫٥ و٠٫٤٥. نعرف أيضًا من السؤال أنه إذا ضغط كلاهما على مفتاح المسافة بالجهاز، فإن احتمال أن تتحول شاشتاهما إلى اللون الأزرق يساوي ١٥ بالمائة. وهو ما يساوي ٠٫١٥ في صورة عدد عشري، أي إن احتمال ﻑ تقاطع ﻉ، أي وقوع الحدثين ﻑ وﻉ معًا يساوي ٠٫١٥.

نريد الآن أن نعرف إذا ما كان «تحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق» و«تحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق» حدثين مستقلين. ونعرف أنه بالنسبة إلى أي حدثين مستقلين، لا بد أن تتحقق المعادلتان لكل من احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ، واحتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺏ. وإذا كان الحدثان مستقلين، فإن احتمال وقوع ﻑ بشرط وقوع ﻉ يجب أن يساوي احتمال وقوع ﻑ، واحتمال وقوع ﻉ بشرط وقوع ﻑ يجب أن يساوي احتمال وقوع ﻉ. سنطلق على هاتين المعادلتين واحدًا واثنين، ونرى إذا ما كانتا ستتحققان باستخدام صيغة الاحتمال الشرطي عند التعويض بالقيم التي لدينا.

باستخدام صيغة الاحتمال الشرطي، فإن احتمال وقوع ﻑ بشرط وقوع ﻉ، أي احتمال أن تتحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق بشرط تحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق، يساوي احتمال وقوع ﻑ وﻉ على احتمال وقوع ﻉ. وهذا احتمال تحول الشاشتين إلى اللون الأزرق على احتمال تحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق. نعلم أن البسط يساوي ٠٫١٥، والمقام يساوي ٠٫٤٥، وبذلك فإن احتمال وقوع ﻑ بشرط وقوع ﻉ يساوي ٠٫١٥ على ٠٫٤٥. وهذا يساوي العدد الدوري ٠٫٣ دوري.

إذا لم تكن قد رأيت هذا الرمز من قبل، فإن النقطة فوق الثلاثة تعني أن الثلاثة تتكرر إلى ما لا نهاية. إذن، لدينا احتمال وقوع ﻑ بشرط وقوع ﻉ يساوي العدد الدوري ٠٫٣٣ دوري. وإذا كان ﻑ وﻉ حدثين مستقلين، فلا بد أن يساوي ذلك احتمال ﻑ. لكن احتمال وقوع ﻑ هو ٠٫٥، وهذا لا يساوي العدد الدوري ٠٫٣ دوري. لذا، في الواقع، المعادلة الأولى لا تتحقق. احتمال وقوع ﻑ بشرط وقوع ﻉ لا يساوي احتمال وقوع ﻑ.

حسنًا، هيا ننظر إلى المعادلة الثانية، أي احتمال وقوع ﻉ بشرط وقوع ﻑ، هل يساوي احتمال وقوع ﻉ؟ احتمال وقوع ﻉ بشرط وقوع ﻑ، باستخدام صيغة الاحتمال الشرطي، يساوي احتمال وقوع ﻉ وﻑ على احتمال وقوع ﻑ. وهذا يعني أن احتمال أن تتحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق بشرط أن تتحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق يساوي احتمال أن تتحول الشاشتان إلى اللون الأزرق على احتمال أن تتحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق. باستخدام ما لدينا من قيم، نحصل على ٠٫١٥ على ٠٫٥، لأن احتمال وقوع ﻑ وﻉ هو نفسه احتمال وقوع ﻉ وﻑ؛ لأن الضرب عملية إبدالية. و ٠٫١٥ على ٠٫٥ يساوي ٠٫٣. وهذا لا يساوي احتمال تحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق، أي ٠٫٤٥. ولذا، في الواقع، المعادلة الثانية لا تتحقق أيضًا. احتمال وقوع ﻉ بشرط وقوع ﻑ لا يساوي احتمال وقوع ﻉ.

وبما أن كلتا المعادلتين المطلوبتين لا تتحققان، فإن الحدثين، وهما احتمال أن تتحول شاشة عادل إلى اللون الأزرق وشاشة فارس إلى اللون الأزرق، غير مستقلين. هذا يعني أن احتمال أن تتحول شاشة فارس إلى اللون الأزرق سيتأثر بما يحدث في شاشة عادل، والعكس صحيح. أي إن ما يحدث على إحدى الشاشتين يؤثر على احتمال تحول الشاشة الأخرى إلى اللون الأزرق.