فيديو الدرس: الاحتمال الشرطي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على الاحتمال الشرطي. سنلخص بعض قواعد الاحتمالات الأساسية، ونلقي نظرة على الأحداث المتنافية أو المنفصلة، ونتعامل مع أشكال فن، وسنتعلم كيف نحدد إذا ما كان حدثان مستقلين أم لا. لكن لنتذكر أولًا بعض قواعد الاحتمال.

‏‏(١) نمثل الاحتمالات على مقياس الاحتمال بأعداد من صفر إلى واحد. ‏‏(٢) ثمة شيء لا بد من توفره، وهو أننا إذا جمعنا احتمالات جميع النواتج الممكنة، فلا بد أن نحصل على واحد. ‏(٣) الحدث إما يحدث وإما لا. ‏نستخدم الرمز ﺃ وفوقه خط، أو ﺃ شرطة، لتمثيل الحدث المكمل لـ ﺃ أو عدم وقوع الحدث ﺃ. إذا عرفنا احتمال وقوع الحدث ﺃ، وطرحناه من واحد، فسنعرف احتمال عدم وقوع الحدث ﺃ. يمكننا تمثيل ذلك على شكل فن. إذا كانت الدائرة ﺃ تمثل فرص وقوع الحدث ﺃ، فإن المساحة المظللة خارجها تمثل فرص عدم وقوعه.

‏‏(٤) احتمال وقوع الحدث ﺃ أو وقوع الحدث ﺏ يعرف بأنه احتمال ﺃ اتحاد ﺏ. ويمكن تمثيله على شكل فن هكذا. ‏‏(٥) احتمال وقوع الحدث ﺃ ووقوع الحدث ﺏ معًا يعرف بأنه احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. ويمكن تمثيله على شكل فن هكذا. ‏‏(٦) احتمال وقوع الحدث ﺃ لكن مع عدم وقوع الحدث ﺏ يمكن تمثيله باحتمال ﺃ تقاطع الحدث المكمل لـ ﺏ. ويبدو هكذا عند تمثيله على شكل فن. وثمة طريقة بديلة لكتابة ذلك، وهي احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

والآن لنتذكر ما نعرفه عن الأحداث المتنافية أو المنفصلة. على سبيل المثال، قد يكون الحيوان قطًا أو كلبًا. لكن لا يمكن أن يكون قطًا وكلبًا معًا. لذا فإن كون الحيوان قطًا وكونه كلبًا هما حدثان متنافيان أو منفصلان. وفي هذه الحالة، يكون احتمال الحصول على تقاطع هذين الحدثين صفرًا. وبسبب عدم وجود تداخل، فإذا أردنا إيجاد احتمال أن يكون الحيوان قطًا أو كلبًا، فكل ما علينا فعله هو جمع احتمالات كونه قطًا مع احتمالات كونه كلبًا. أما في حالة الأحداث غير المتنافية أو غير المنفصلة، يمكن أن يقع حدثان معًا. على سبيل المثال، قد يحب الشخص القطط أو قد يحب الكلاب. وربما يحب القطط والكلاب معًا. إذن، أن يحب القطط وأن يحب الكلاب ليسا حدثين متنافيين أو منفصلين.

لذا ففي هذه الحالة، علينا توخي الحذر عند حساب احتمال أن يكون الشخص محبًا للقطط أو للكلاب، أي احتمال اتحاد الحدثين أن يحب القطط وأن يحب الكلاب. هذه المنطقة المظللة باللون الوردي تمثل أشخاصًا يحبون القطط، وهذه المنطقة المظللة باللون الأخضر تمثل أشخاصًا يحبون الكلاب. ومن ثم، إذا جمعنا احتمال أن أحدهم يحب القطط، واحتمال أن أحدهم يحب الكلاب، فسنكون قد حسبنا المنطقة في المنتصف مرتين. لذا علينا إجراء تعديل لأخذ ذلك في الاعتبار في حساباتنا. إذن، الصيغة العامة هي أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ.

هكذا نكون قد تذكرنا ما نعرفه بالفعل. لنتحدث إذن عن الاحتمال الشرطي. إذا كان احتمال وقوع حدث ما ﺏ متأثرًا بوقوع حدث ما ﺃ، نقول إن احتمال وقوع الحدث ﺏ مشروط بوقوع الحدث ﺃ. ويمكننا كتابة ذلك على هذا النحو: ﺏ ثم خطًا رأسيًا يليه ﺃ. ونقرأ ذلك: احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. حسنًا، لنلق نظرة على مثال لا تكون فيه الأحداث منفصلة أو متنافية. وهذا يقودنا إلى حالة يكون فيها احتمال وقوع حدث ما مشروطًا باحتمال وقوع حدث آخر.

في أحد الشوارع، يوجد ١٠ بيوت فيها قطط ﻕ، وثمانية بيوت فيها كلاب ﻙ، وثلاثة بيوت فيها قطط وكلاب، وسبعة بيوت لا يوجد فيها قطط ولا كلاب. يتكون هذا السؤال من ثلاثة أجزاء. بداية، لنلق نظرة على الجزء الأول. أوجد العدد الإجمالي للبيوت في هذا الشارع. بعد ذلك، أوجد احتمال اختيار بيت عشوائيًا فيه قطط وكلاب. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

توجد طريقة رائعة لحل هذا السؤال، وهي رسم شكل فن. في هذه الحالة، المجموعة الشاملة لشكل فن هي كل البيوت الموجودة في الشارع. الدائرة اليمنى تمثل البيوت التي فيها قطط. والدائرة اليسرى تمثل البيوت التي فيها كلاب. والتقاطع بين هاتين الدائرتين يمثل البيوت التي فيها قطط وكلاب. وكل ما يقع خارج الدائرتين، ولكن داخل المستطيل، يمثل بيوتًا ليس فيها قطط ولا كلاب. يخبرنا السؤال بأنه يوجد ١٠ بيوت فيها قطط، لكنها ستوزع على البيوت التي فيها قطط فقط والبيوت التي فيها قطط وكلاب. وبالمثل، ستوزع البيوت الثمانية التي فيها كلاب على البيوت التي فيها كلاب فقط وتلك التي فيها قطط وكلاب.

لذا سيكون من الأسهل بالنسبة إلينا أن نبدأ بالنظر إلى البيوت التي تحتوي على قطط وكلاب، وعددها ثلاثة. توجد ١٠ بيوت فيها قطط، وثلاثة من هذه البيوت فيها كلاب أيضًا. وبذلك، يتبقى لدينا ١٠ ناقص ثلاثة، أي سبعة بيوت، فيها قطط فقط. ومن بين البيوت الثمانية التي فيها كلاب، ثلاثة منها فيها قطط أيضًا، وبذلك يتبقى لدينا ثمانية ناقص ثلاثة، أي خمسة بيوت، فيها كلاب فقط. وأخيرًا، لدينا أيضًا سبعة بيوت ليس فيها قطط ولا كلاب. إذن لدينا سبعة هنا.

إذن، إجمالي عدد البيوت في الشارع مكون من سبعة بيوت فيها قطط فقط، وخمسة بيوت فيها كلاب فقط، وثلاث بيوت فيها قطط وكلاب، وسبعة بيوت ليس فيها قطط ولا كلاب. وعند جمع ذلك، نحصل على ٢٢. علينا الآن معرفة احتمال أن يحتوي بيت مختار عشوائيًا على قطط وكلاب. تتمثل إحدى طرق التفكير في سؤال الاحتمال هذا في تحديد نسبة البيوت في الشارع التي فيها قطط وكلاب. حسنًا، علمنا أن هناك ثلاثة بيوت فيها قطط وكلاب، وأن إجمالي عدد البيوت هو ٢٢. إذن نسبة البيوت التي فيها قطط وكلاب هي ثلاثة على ٢٢. وإذا كنا نختار البيوت عشوائيًا، فإن احتمال اختيار بيت فيه قطط وكلاب يساوي هذه النسبة نفسها. وبالتقريب إلى أقرب ثلاث منازل عشرية، فهي تساوي ٠٫١٣٦.

الجزء الثاني من السؤال يقول: أوجد احتمال اختيار بيت عشوائيًا فيه إما قطط وإما كلاب وإما كلاهما. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

حسنًا، لنفترض أننا سنختار البيت عشوائيًا. ما علينا سوى أن نعد الحالات التي تحتوي فيها البيوت على قطط أو كلاب أو كليهما من شكل فن. والاحتمال الذي نريد إيجاده هو عدد البيوت التي فيها قطط أو كلاب أو كليهما باعتباره نسبة من إجمالي عدد البيوت في الشارع. يوجد سبعة بيوت فيها قطط فقط، وخمسة بيوت فيها كلاب فقط، وثلاثة بيوت فيها كلاهما. أي ١٥ بيتًا. ورأينا سابقًا أن إجمالي عدد البيوت هو ٢٢. إذن، فالاحتمال الذي نريده هو ١٥ على ٢٢. وبتقريب ذلك لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحصل على ٠٫٦٨٢.

الجزء الثالث هو سؤال عن الاحتمال الشرطي. إذا كان في الشارع بيت فيه قطط، فأوجد احتمال وجود كلاب فيه.

إذن معلوم لدينا أن البيت تعيش فيه قطط. بمعلومية ذلك، ما احتمال وجود كلاب أيضًا؟ بالنظر إلى شكل فن، يمكننا على الفور تجاهل جميع حالات البيوت التي لا تحتوي على قطط. يمكننا إذن التفكير في هذا السؤال على النحو الآتي: من بين البيوت التي فيها قطط، ما نسبة البيوت التي فيها كلاب أيضًا؟ سنركز فقط على هذه البيوت السبعة وهذه البيوت الثلاثة. أي إجمالي ١٠ بيوت فيها قطط. ومن بين هذه البيوت التي عددها ١٠، هذه البيوت الثلاث فقط فيها كلاب أيضًا. ثلاثة من البيوت العشرة التي فيها قطط فيها كلاب أيضًا. إذن، احتمال وجود كلاب في البيت، إذا كان فيه قطط، هو ثلاثة على ١٠. كتبنا الإجابات السابقة على صورة أعداد عشرية، ولنفعل ذلك هنا أيضًا. احتمال وجود كلاب في البيت إذا كان فيه قطط يساوي ٠٫٣.

قبل الانتقال إلى المثال التالي، دعونا نعمم هذه النتيجة الأخيرة. بمعلومية أن البيت فيه قطط، فقد تناولنا مجموعة فرعية من الحالات. وقصرنا تركيزنا على البيوت التي فيها قطط. ولأننا لا ننظر إلا إلى البيوت التي فيها قطط، فإن البيوت التي فيها كلاب لا بد أن يكون فيها أيضًا قطط. إذن، احتمال أن يكون في البيت كلاب إذا علمنا أن فيه قططًا، يساوي احتمال الكلاب تقاطع القطط على احتمال القطط. أو بشكل أعم، احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ هو احتمال ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال ﺏ.

اعتبر ﺃ وﺏ حدثين. إذا كان احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي اثنين على ثلاثة، واحتمال ﺃ يساوي تسعة على ١٣، فأوجد احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ.

ربما تتذكر الصيغة العامة للاحتمال الشرطي، وهي أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال ﺏ. لكن المطلوب هو إيجاد احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. إذن، لنعكس ﺃ وﺏ في الصيغة. حسنًا، هذا أمر جيد. نحن نريد إيجاد احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. معطى لدينا احتمال ﺃ في السؤال، ولكن لدينا احتمال ﺃ تقاطع ﺏ، وليس ﺏ تقاطع ﺃ. لكن لننظر إلى شكل فن.

المنطقة ﺃ تقاطع ﺏ هي نفسها المنطقة ﺏ تقاطع ﺃ. وبالتالي فهي صيغة مكافئة أن نكتب احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال ﺃ. نعلم من المعطيات أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي اثنين على ثلاثة، واحتمال ﺃ يساوي تسعة على ١٣. إذن، احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي اثنين على ثلاثة على تسعة على ١٣. والعملية الحسابية المكافئة للقسمة على الكسر تسعة على ١٣، هي الضرب في مقلوبه، أي ١٣ على تسعة، وهو ما يعطينا الحل. احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي ٢٦ على ٢٧.

بذلك نكون قد عرفنا أنه يمكننا حل أسئلة الاحتمال الشرطي إما باستخدام أشكال فن وإما باستخدام صيغة الاحتمال الشرطي. لكن صيغة الاحتمال الشرطي لها استخدام خاص آخر. حيث يمكن أن تساعدنا في تحديد إذا ما كان حدثان مستقلين أم غير مستقلين.

الأحداث المستقلة هي التي لا تتأثر فيها نواتج أحد الحدثين بنواتج الحدث الآخر. على سبيل المثال، إذا ألقيت عملة ورميت نردًا، فسأحصل على صورة أو كتابة في حالة العملة، وواحد أو اثنين أو ثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة في حالة حجر النرد. وبغض النظر عما إذا حصلت على صورة أو كتابة من إلقاء العملة، فهذا لن يؤثر على إذا ما كنت سأحصل على واحد أو اثنين أو ثلاثة أو أربعة أو خمسة أو ستة من رمي حجر النرد. فهذه الاحتمالات لا تعتمد إطلاقًا على احتمالات ظهور الصورة أو الكتابة عند إلقاء عملة.

لكن في الأحداث غير المستقلة، تتأثر نواتج أحد الحدثين بنواتج الحدث الآخر. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا حقيبة فيها قطعتين من الحلوى: إحداهما بطعم الفراولة، والأخرى بطعم البرتقال. إذا جاء الشخص الأول وأخذ قطعة حلوى عشوائيًا وأكلها، فمن بين قطعتي الحلوى، فإن احتمال اختياره للفراولة واحتمال اختياره للبرتقال متساويان. أي إن الاحتمال في كل حالة يساوي نصفًا. الآن، إذا وقع حدث آخر، حيث جاء الشخص الثاني بعد أن أكل الشخص الأول قطعة الحلوى، وأخذ قطعة حلوى عشوائيًا من الحقيبة وأكلها، فلن نعرف احتمال حصوله على الفراولة أو البرتقال. فالأمر يعتمد على القطعة التي تناولها الشخص الأول.

إذا كان الشخص الأول قد تناول حلوى الفراولة، فإن احتمال أن يتناول الشخص الثاني حلوى الفراولة يساوي صفرًا، واحتمال حصوله على حلوى البرتقال يساوي واحدًا؛ بينما إذا تناول الشخص الأول حلوى البرتقال، فإن احتمال حصول الشخص الثاني على حلوى الفراولة يساوي واحدًا، واحتمال حصوله على حلوى البرتقال يساوي صفرًا. أي إن احتمال الحصول على النواتج المختلفة للحدث الثاني يعتمد على نواتج الحدث الأول. ولكي نحسب احتمال وقوع الحدثين معًا، أي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ في حالة حدثين مستقلين، يمكننا ببساطة ضرب احتماليهما معًا.

لكننا نعلم أيضًا من صيغة الاحتمال الشرطي أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال ﺏ. ويمكننا إعادة ترتيب ذلك لجعل احتمال ﺃ تقاطع ﺏ هو المتغير التابع. وهذا يساوي احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ مضروبًا في احتمال ﺏ. هذا يعطينا صيغتين مختلفتين لاحتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وهذا يعني أن احتمال ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ. وبالطبع، بعكس ﺃ وﺏ، نجد أن احتمال ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ.

بشكل ما، يعطينا ذلك تعريفًا للاستقلال، أو على الأقل طريقة للتحقق مما إذا كانت الأحداث مستقلة. إذا كان احتمال وقوع الحدث الأول هو نفسه سواء وقع الحدث الثاني أم لم يقع، فهذا يعني أن الحدثين مستقلان. مرة أخرى، نلاحظ أن احتمال ﺏ هو نفسه بغض النظر عن وقوع الحدث ﺃ من عدمه. إذا تحققت كلتا هاتين المعادلتين، فيمكننا القول إن الحدثين ﺃ وﺏ مستقلان. لنر كيفية تطبيق ذلك في الأسئلة.

افترض أن احتمال ﺃ يساوي اثنين على خمسة، واحتمال ﺏ يساوي ثلاثة على سبعة. احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي واحدًا على خمسة. احسب احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، ثم وضح إذا ما كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين.

لنتذكر أولًا صيغة الاحتمال الشرطي. احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ على احتمال ﺏ. احتمال ﺃ تقاطع ﺏ هو احتمال وقوع الحدث ﺃ وﺏ أيضًا، وهو يساوي واحدًا على خمسة كما هو موضح في السؤال. يخبرنا السؤال أيضًا بأن احتمال وقوع الحدث ﺏ يساوي ثلاثة على سبعة. إذن، احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي واحدًا على خمسة مقسومًا على ثلاثة على سبعة. وبالطبع، العملية المكافئة للقسمة على كسر هي الضرب في مقلوب ذلك الكسر. إذن، هذا يساوي واحدًا على خمسة في سبعة على ثلاثة. هذه إجابة الجزء الأول من السؤال. احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي سبعة على ١٥.

فيما يخص الجزء الثاني من السؤال، دعونا نتذكر اختبار الاستقلال باستخدام صيغ الاحتمال الشرطي. إذا كان احتمال ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، واحتمال ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ، يمكننا القول إن الحدثين ﺃ وﺏ مستقلان. يخبرنا السؤال بأن احتمال ﺃ يساوي اثنين على خمسة. لذا فالخطوة التالية هي إيجاد احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ. في الواقع، هذا هو ما توصلنا إليه في الجزء الأول من السؤال. نعلم أن احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي سبعة على ١٥.

إذا كان اثنان على خمسة يساوي سبعة على ١٥، فسيكون علينا أن نتحقق مما إذا كان احتمال وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. لمقارنة اثنين على خمسة وسبعة على ١٥، علينا إيجاد مقام مشترك. يمكننا القيام بذلك عن طريق ضرب البسط والمقام في ثلاثة، لتتغير اثنان على خمسة إلى ستة على ١٥. هذا يعني أن احتمال ﺃ لا يساوي احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ. وحقيقة أننا نحتاج إلى تحقق هذين الشرطين لإثبات استقلالية الحدثين ﺃ وﺏ، أي حقيقة أن احتمال وقوع ﺃ لا يساوي احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، تعني أننا قد تأكدنا من أن هذين الحدثين غير مستقلين. ولا نحتاج حتى إلى المواصلة للتأكد مما إذا كان احتمال وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ.

لنراجع الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في الدرس. إذا تأثر احتمال وقوع الحدث ﺏ بأحد نواتج الحدث ﺃ، يمكننا القول إن احتمال وقوع الحدث ﺏ مشروط بوقوع الحدث ﺃ. يمكننا تمثيل ذلك باستخدام الترميز: احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. إنه ﺏ ثم خط رأسي، يليه ﺃ. توجد صيغة لحساب الاحتمالات الشرطية. احتمال وقوع الحدث ﺃ بشرط وقوع الحدث ﺏ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ مقسومًا على احتمال وقوع الحدث ﺏ.

ولدينا أيضًا اختبار لاستقلالية الحدثين ﺃ وﺏ. إنهما مستقلان إذا كان احتمال وقوع ﺃ يساوي احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ، واحتمال وقوع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. وأخيرًا، عرفنا كيف يمكن أن توفر أشكال فن طريقة رائعة للإجابة عن أسئلة الاحتمال الشرطي. كما يمكن أن تساعد في التحقق من إجاباتك إذا استخدمت الصيغ.