في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نحسب الاحتمال الشرطي باستخدام صيغة وأشكال فن.
في الاحتمالات، ثمة حالات تُغير فيها المعلومات الجديدة احتمال وقوع الأحداث. على سبيل المثال، نفترض أننا نحاول تخمين بطاقة اختارها صديقنا من بين ٥٢ بطاقة. بناء على الافتراضات البحتة، يمكننا تخمين أن صديقنا اختار الآس البستوني. وبما أنه لا توجد أي معلومات عن البطاقة الصحيحة، فإن احتمال أن يكون تخميننا صحيحًا يساوي . ماذا لو أعلن صديقنا أن البطاقة الصحيحة عليها شكل البستوني؟ بمعلومية هذه المعطيات الجديدة، سيزداد احتمال أن يكون تخميننا صحيحًا إلى .
نلاحظ أن قيمة احتمال تخميننا تغيرت بمعرفة المعلومة الجديدة. ويوضح هذا مفهوم الاحتمال الشرطي، وهو احتمال وقوع حدث بشرط ظهور ناتج معين لحدث آخر. في هذا السياق، فإن الاحتمال يمثل الاحتمال الشرطي أن تكون البطاقة الصحيحة هي الآس البستوني بشرط أن تكون البطاقة الصحيحة على شكل البستوني.
تعريف: الاحتمال الشرطي
بفرض أن ، حدثان في فضاء العينة نفسه. إذن الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع ، ويُشار إليه بالرمز ، هو احتمال وقوع الحدث إذا كنا نعرف أن الحدث وقع بالفعل.
لحساب الاحتمال الشرطي، يمكننا استخدام صيغة أو شكل فن. دعونا نبدأ بطريقة استخدام شكل فن، والذي يمكن استخدامها لاستنتاج الصيغة. انظر إلى شكل فن الآتي المُستخدم لتمثيل الحدثين ، في فضاء العينة .
العدد الموجود داخل كل جزء من شكل فن يشير إلى عدد النواتج المحتملة للحدث المناظر. دعونا نفترض أيضًا أن كل النواتج متساوية الاحتمالات.
باستخدام شكل فن هذا، سنحسب الاحتمال الشرطي . نحن نعرف أن الحدث حدث بالفعل، وأن الحدث سيكون وقع فقط إذا كانت النواتج الموجودة في الجزء المحدد باللون الوردي على شكل فن هي التي ظهرت. وهذا يعني أنه وفقًا للمعلومات المعطاة، يوجد ناتجان مختلفان إذا ظهرا يكون الحدث قد وقع. وأيضًا بما أننا نعرف أن الحدث قد وقع، فإنه يوجد إجمالي من النواتج الممكنة المختلفة. وهذا يؤدي إلى الاحتمال الشرطي
في المثال الأول، سنوضح هذا من خلال إحدى مسائل الحياة اليومية.
مثال ١: الاحتمال الشرطي
في أحد الشوارع يوجد ١٠ بيوت فيها قطط (ق)، و٨ بيوت فيها كلاب (ك)، و٣ بيوت فيها قطط وكلاب، و٧ بيوت لا يوجد فيها قطط ولا كلاب.
- أوجد العدد الإجمالي للبيوت في هذا الشارع. بعد ذلك، أوجد احتمال اختيار بيت عشوائيًّا فيه قطة وكلب. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
- أوجد احتمال اختيار بيت عشوائيًّا فيه إما قطة أو كلب أو كلاهما. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.
- إذا كان في الشارع بيت فيه قطة، فأوجد احتمال وجود كلب فيه.
الحل
قبل أن نفكر في هذه الأسئلة، دعونا نمثل المعلومات المعطاة على شكل فن. بما أننا نعلم أن هناك ٣ بيوت فيها قطط وكلاب، يمكننا أولًا ملء الجزء المتقاطع على شكل فن.
إذا كان هناك ١٠ بيوت فيها قطط، ونحن نعلم أن ٣ بيوت منها فيها كلاب أيضًا، فسيتبقى بيوت فيها قطط فقط.
وبالمثل، إذا كان هناك ٨ بيوت فيها كلاب، ومنها ٣ بيوت فيها قطط أيضًا، فإنه يتبقى بيوت فيها كلاب فقط.
وأخيرًا، يخبرنا السؤال أن ٧ بيوت لا يوجد فيها قطط ولا كلاب، إذن يمكننا كتابة هذا في الجزء خارج الشكلين البيضاويين.
يمكننا إيجاد إجمالي عدد البيوت بجمع الأعداد من كل جزء من الشكل. وعليه، فإن الإجمالي يساوي . دعونا الآن نفكر في كل سؤال.
الجزء الأول
يطلب منا هذا الجزء إيجاد احتمال اختيار بيت عشوائيًا فيه قطة وكلب. من شكل فن بالأعلى، يمكننا ملاحظة أنه يوجد ٣ بيوت فيها قطة وكلب، وإجمالي ٢٢ بيتًا. بما أن البيت قد اختير عشوائيًا، يمكننا افتراض أن النواتج متساوية الاحتمالات. ومن ثم، فإن احتمال اختيار بيت عشوائيًا يكون فيه قطة وكلب يساوي
إذن، الاحتمال يساوي ٠٫١٣٦ لأقرب ثلاث منازل عشرية.
الجزء الثاني
يطلب منا هذا الجزء إيجاد احتمال اختيار بيت عشوائيًا فيه إما قطة أو كلب أو كلاهما. من شكل فن المرسوم بالأعلى، نرى أنه يوجد بيتًا ينطبق عليه هذا الشرط. وبما أن لدينا إجمالي ٢٢ منزلًا، فإن هذا الاحتمال سيساوي
إذن احتمال أن يكون البيت فيه قطة أو كلب أو كلاهما يساوي ٠٫٦٨٢ لأقرب ثلاثة منازل عشرية.
الجزء الثالث
يطلب منا هذا الجزء إيجاد احتمال وجود كلب في بيت إذا كان فيه قطة. العبارة «إذا كان فيه قطة» تقيد عدد البيوت الممكنة إلى البيوت الـ ١٠ التي فيها قطط.
ومن هذه البيوت الـ ١٠ التي لدينا الآن، توجد ٣ بيوت فقط فيها كلب، إذن احتمال أن يكون البيت فيه كلب أيضًا يساوي .
في المثال السابق، حسبنا العديد من الاحتمالات باستخدام شكل فن. والاحتمال الذي حسبناه في الجزء الأخير من المثال هو الاحتمال الشرطي. إذا كان هو حدث أن يكون البيت فيه كلب، هو حدث أن يكون البيت فيه قطة، فإن احتمال أن يكون البيت فيه كلب بشرط أن يكون فيه قطة هو الاحتمال الشرطي .
باستخدام شكل فن لحساب الاحتمال الشرطي، يمكننا ملاحظة أن الشرط المعطى يحول فضاء العينة إلى مجموعة جزئية. العبارة «بشرط أن يكون فيه قطة» تعني أن علينا التفكير فقط في المجموعة الجزئية المكونة من ١٠ بيوت والتي فيها قطط. وبما أن الاختيار مقتصر على البيوت التي فيها قطط فقط، فإن البيت الذي فيه كلب أيضًا، أي البيت الذي فيه قطة وكلب، ينتمي إلى التقاطع .
ولأن كل النواتج متساوية الاحتمالات، يمكننا باستخدام هذا الاحتمال الشرطي باستخدام الصيغة
وبالرغم من أن هذا يعطينا صيغة لإيجاد الاحتمال الشرطي، فإن هذه الصورة من الصيغة لن تفيدنا كثيرًا؛ حيث يجب علينا عد النواتج الممكنة. إذا قسمنا بسط هذا الكسر ومقامه على إجمالي عدد البيوت في الشارع، فسنحصل على احتمالي وقوع هذين الحدثين. بعبارة أخرى
بالرغم من أننا حصلنا على هذه الصيغة باستخدام مثال محدد، فهي في الواقع صيغة عامة يمكن استخدامها لحساب أي احتمال شرطي.
صيغة: الاحتمال الشرطي
افترض أن ، حدثان في نفس فضاء العينة، حيث . إذن الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع يُعطى بالعلاقة
دعونا نتناول مثالًا نحسب فيه الاحتمال الشرطي باستخدام هذه الصيغة.
مثال ٢: تحديد الاحتمال الشرطي
افترض أن ، حدثين. إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
تذكر أن هو الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع ، والذي يمكن حسابه باستخدام الصيغة
بما أننا نعلم أن ، ، إذن يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في صيغة الاحتمال الشرطي لنحصل على
إذن، الاحتمال يساوي .
في المثال التالي، سنطبق هذا التعريف لحساب الاحتمال الشرطي من شكل فن يحتوي على احتمالات الأحداث.
مثال ٣: استخدام الاحتمالات في شكل فن لحساب الاحتمالات الشرطية
فيما يلي شكل فن.
احسب قيمة .
الحل
تذكر أن هو الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع ، وهو ما يمكن حسابه باستخدام الصيغة
علينا تحديد الاحتمالين ، من شكل فن. بما أن شكل فن لدينا يحتوي على احتمالي هذين الحدثين المناظرين لجزأين به، فما علينا ببساطة إلا تحديد هذين الجزأين. احتمال التقاطع موضح على الجزء المتداخل بين الدائرتين. وهذا يعطينا .
من ناحية أخرى، تُمثله الدائرة الأولى، والتي تنقسم إلى جزأين. يمكننا حساب احتمال بجمع هذين الاحتمالين:
وبالتعويض بهاتين القيمتين في الاحتمال الشرطي، نجد أن
في الاحتمال الشرطي ، تغيير مكان الحدثين ، لكتابة ينتج احتمالًا شرطيًا مختلفًا. في معظم الحالات، ستكون هاتان القيمتان غير متساويتين؛ لأنهما يمثلان احتمالين مختلفين. فمثلما يمكننا حساب ، يمكننا أيضًا حساب
علينا دائمًا أن نتذكر أن مقام الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع الحدث المشروط.
في المثال التالي، سنحسب كلا من ، باستخدام هاتين الصيغتين.
مثال ٤: حساب الاحتمالات الشرطية
إذا كان للحدثين ، ،، ، .
- أوجد .
- أوجد .
- أوجد .
الحل
الجزء الأول
دعونا نوجد احتمال التقاطع . نعلم أن ،. تذكر أن يمثل الحدث المكمل لـ ، وتنص قاعدة الحدث المكمل على أن
بالتعويض بالاحتمال المعطى لـ ، نحصل على
نحن نعلم أيضًا أن . تذكر قاعدة الجمع العامة، التي تنص على أن
بالتعويض بكل الاحتمالات المعلومة، نجد أن
نعيد ترتيب هذه المعادلة لكي يصبح المتغير التابع، ليصبح لدينا
الجزء الثاني
تذكر أن هو الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع ، وهو ما يمكن حسابه باستخدام الصيغة
بما أننا نعرف أن ،، يصبح لدينا
الجزء الثالث
بالمثل، الاحتمال الشرطي يمكن حسابه باستخدام الصيغة
بما أننا نعرف أن ،، سنجد أن
في المثال السابق، حسبنا الاحتمالين الشرطيين ، . ويمكننا ملاحظة أن هذين الاحتمالين لهما قيمتين مختلفتين في هذا المثال، كما توقعنا.
دعونا ننتقل الآن إلى استخدام آخر للاحتمال الشرطي. باستخدام الصيغة ، يمكننا الحصول على صيغة أخرى مفيدة عند ضرب كلا طرفي المعادلة في .
قاعدة: قاعدة الضرب العامة
نفترض أن ، حدثان في فضاء العينة نفسه. إذن،
تخبرنا هذه الصيغة أن احتمال تقاطع حدثين يساوي حاصل ضرب الاحتمال الشرطي في احتمال وقوع الحدث المشروط.
دعونا نتناول مثالًا نطبق فيه هذه القاعدة لإيجاد احتمال تقاطع حديثين.
مثال ٥: تحديد احتمال تقاطع حدثين باستخدام قاعدة الضرب
افترض أن ، حدثان. إذا كان ، ، فأوجد .
الحل
لعلنا نتذكر قاعدة الضرب العامة، والتي تنص على أنه لأي حدثين ،، فإن
بما أننا نعلم أن ،، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في قاعدة الضرب العامة لنحصل على
في المثال الأخير، سنطبق قاعدة الضرب العامة على مسألة من الحياة الواقعية لحساب احتمال ما.
مثال ٦: حساب الاحتمالات الشرطية
تذهب سمر إلى المدرسة بالحافلة، وإذا فاتتها، تذهب سيرًا. احتمال أن تلحق بالحافلة في أي يوم هو ٠٫٤. إذا لحقت بالحافلة، فسيكون احتمال أن تصل المدرسة في الميعاد ٠٫٨، لكن إذا فاتتها الحافلة ووجب عليها أن تذهب سيرًا، فسيقل احتمال وصولها في الميعاد إلى ٠٫٦.
- أوجد احتمال أن تلحق بالحافلة وتصل المدرسة في الميعاد في أحد الأيام.
- أوجد احتمال أن تصل المدرسة في الميعاد في أحد الأيام، سواء لحقت بالحافلة أم لم تلحق بها.
- من ثم، أوجد احتمال أن تتأخر عن المدرسة في أحد الأيام.
الحل
قبل أن نبدأ الإجابة عن هذه الأسئلة، دعونا أولًا نفسر المعلومات المعطاة ونكتبها بترميز الاحتمال. في هذا المثال، تذهب سمر إلى المدرسة بالحافلة، أو لا تلحق بها. نفترض أن يشير إلى حدث لحاقها بالحافلة، وهو ما يعني أن حدث عدم لحاقها بالحافلة يُشار إليه بالحدث المكمل . دعونا نفترض أيضًا أن هو حدث وصولها المدرسة في الميعاد، وهو ما يعني أن حدث تأخرها عن المدرسة هو الحدث المكمل .
نعلم أن احتمالية لحاقها بالحافلة في أي يوم يساوي ٠٫٤، وهو ما يعني ان
إذا لحقت بالحافلة، فإن احتمال وصولها إلى المدرسة في الميعاد هو ٠٫٨. بما أن هذه الجملة تبدأ بعبارة «إذا لحقت بالحافلة»، فإن هذا هو الاحتمال الشرطي لوصولها إلى المدرسة في الميعاد بشرط لحاقها بالحافلة. إذن
إذا فاتتها الحافلة ووجب عليها أن تسير، فإن احتمال وصولها في الميعاد يقل إلى ٠٫٦. وهذا أيضًا احتمال شرطي لوقوع الحدث بشرط وقوع الحدث المكمل . إذن،
والآن، بعد أن فسرنا كل المعلومات المعطاة وكتبناها بترميز الاحتمال، دعونا نبدأ بالتفكير في كل سؤال.
الجزء الأول
علينا إيجاد احتمال أن تلحق بالحافلة وتصل المدرسة في الميعاد في أحد الأيام. باستخدام ترميز الاحتمال، فإن هذا يعني الاحتمال . لعلنا نتذكر قاعدة الضرب العامة التي تنص على أن
بما أننا نعرف أن ،، يصبح لدينا
إذن احتمال أن تلحق الحافلة وتصل في الميعاد في أحد الأيام يساوي ٠٫٣٢.
الجزء الثاني
علينا إيجاد احتمال أن تصل المدرسة في الميعاد سواء لحقت بالحافلة أم لم تلحق بها. لحساب هذا الاحتمال، دعونا ننظر إلى شكل فن الآتي حيث تمثل الدائرتان الحدثين ، .
كتبنا الاحتمال الناتج من الجزء السابق، ، على شكل فن. وأيضًا بما أن ، فإننا نعرف أن الاحتمالات في الجزء الذي يمثل الحدث لا بد أن مجموعها يساوي ٠٫٤. ومن ذلك نحصل على الاحتمال ٠٫٠٨ الموضح في الشكل أعلاه.
والآن، علينا حساب . لكي نفعل هذا، علينا أولًا حساب احتمال الجزء الفارغ من الدائرة، والتي تمثل الحدث . يمثل هذا الجزء الحدث . بتطبيق قاعدة الضرب العامة، يمكننا كتابة
نحن نعرف أن . كما يمكننا أيضًا تطبيق قاعدة الحدث المكمل لكي نحسب
بالتعويض بهاتين القيمتين في قاعدة الضرب العامة، نحصل على
يمكننا الآن كتابة ذلك على شكل فن.
بجمع الاحتمالين في الدائرة التي تمثل الحدث ، نحصل على
ومن ثم، فإن احتمال وصولها المدرسة في الميعاد سواء لحقت بالحافلة أم لم تلحق بها يساوي ٠٫٦٨.
الجزء الثالث
علينا إيجاد احتمال أن تتأخر عن المدرسة في أحد الأيام، وهو ما يعني . يمكننا تطبيق قاعدة الحدث المكمل ، وبمعلومية الاحتمال الذي حصلنا عليه من الجزء الثاني لنحصل على
إذن، احتمال أن تتأخر عن المدرسة في أحد الأيام يساوي ٠٫٣٢.
دعونا نختتم بتلخيص بعض المفاهيم الهامة التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- نفترض أن ، حدثان في فضاء العينة نفسه. الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع ، ويُشار إليه بـ ، هو احتمال وقوع الحدث إذا علمنا أن الحدث حدث بالفعل.
- نفترض أن ، حدثان في فضاء العينة نفسه، حيث . الاحتمال الشرطي لوقوع بشرط وقوع يُعطى بالصيغة
- نفترض أن ، حدثان في فضاء العينة نفسه. إذن،
