فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي بين متجهين معطيين الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ زائد أربعة ﻡﻉ، والمتجه ﺏ يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص ستة ﺹ ناقص سبعة ﻉ، والمتجهان ﺃ وﺏ متعامدان، فأوجد قيمة ﻡ.

يدل الترميز الموضح في السؤال على أن المتجهين ﺃ وﺏ متعامدان. نتذكر أنه إذا كان أي متجهين ﻉ وﻕ متعامدين، فإن الضرب القياسي، أو حاصل الضرب القياسي، يساوي صفرًا. سنستخدم هذه الحقيقة الرياضية لتساعدنا في إيجاد قيمة ﻡ.

يمكننا حساب الضرب القياسي، أو حاصل الضرب القياسي، للمتجهين ﺃ وﺏ عن طريق ضرب المركبات المتناظرة لكليهما معًا، ثم إيجاد مجموع هذه القيم. مركبتا ﺱ للمتجهين ﺃ وﺏ هما سالب ثلاثة وسالب أربعة، على الترتيب. ومركبتا ﺹ هما ثلاثة وسالب ستة. ومركبتا ﻉ هما أربعة ﻡ وسالب سبعة. ومن ثم، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي سالب ثلاثة في سالب أربعة زائد ثلاثة في سالب ستة زائد أربعة ﻡ في سالب سبعة.

سالب ثلاثة في سالب أربعة يساوي ١٢. وثلاثة في سالب ستة يساوي سالب ١٨. وأربعة ﻡ في سالب سبعة يساوي سالب ٢٨ﻡ. ويمكننا تبسيط هذا المقدار إلى ١٢ زائد سالب ١٨ زائد سالب ٢٨ﻡ. وبما أن المتجهين متعامدان، فإن هذا يساوي صفرًا.

‏١٢ زائد سالب ١٨ يساوي سالب ستة. إذن، صفر يساوي سالب ستة ناقص ٢٨ﻡ. يمكننا إضافة ٢٨ﻡ إلى كلا طرفي هذه المعادلة بحيث نحصل على ٢٨ﻡ يساوي سالب ستة. وبقسمة كلا الطرفين على ٢٨، نجد أن ﻡ يساوي سالب ستة على ٢٨. وبما أن البسط والمقام يقبلان القسمة على اثنين، فيمكن تبسيط ذلك إلى سالب ثلاثة على ١٤. إذن، هذه هي قيمة ﻡ بحيث يكون المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين.