شارح الدرس: الضرب القياسي في ثلاثة أبعاد الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد.

إن الضرب القياسي، والذي يُسمى أيضًا حاصل الضرب القياسي لأنه ينتج عنه كمية قياسية وليست متجهة، هو إحدى طرق ضرب المتجهات معًا.

قد تكون على دراية بالفعل بكيفية إيجاد حاصل الضرب القياسي في المستوى (ثنائي الأبعاد). كما قد تكون علمت بالفعل أن حاصل الضرب القياسي لـ ، يُعرَّف على الصورة ، حيث هي الزاوية المحصورة بين المتجهين ، .

باستخدام بعض العمليات الهندسية، نستطيع إثبات أن حاصل الضرب القياسي يمكن حسابه من مركبتي المتجهين: حيث ، هما مركبتا المحور للمتجه والمتجه ، ، هما مركبتا المحور للمتجهين.

دعونا نفكر في المتجهين ، اللذين يصنعان الزاويتين ، مع الاتجاه الموجب من المحور على الترتيب.

الزاوية المحصورة بينهما هي . إذا كان: فسنجد أن:

باستخدام المتطابقة المثلثية للطرح ، نجد أنه بالتعويض عن بـ وعن بـ ، فإن:

وبما أن ، يصبح لدينا:

بالانتقال إلى المتجهات الثلاثية الأبعاد، فإن تعريف الضرب القياسي لا يتغير.

هيا نتناول المثال الأول ونطبق تعريف الضرب القياسي.

هيا نطبق هذه الطريقة في المثال التالي.

بعد أن عرفنا تعريف الضرب القياسي وكيفية حسابه باستخدام مركبات المتجهات، دعونا نلقِ نظرة على خواص الضرب القياسي.

بما أن الضرب القياسي هو حاصل ضرب معياريْ متجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما، فإنه يساوي صفرًا عندما يكون جيب تمام الزاوية المحصورة بين كلا المتجهين يساوي صفر. ويحدث هذا عندما يكون قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي أو (أو )، أي عندما يكون المتجهان متعامدين.

لاسترجاع الزوايا التي جيب تمامها يساوي صفرًا، يمكنك أن تتخيل دائرة الوحدة، علمًا بأن جيب التمام هو الإحداثي للنقطة ن المرتبطة بالزاوية .

سنستخدم هذه الخاصية في المثالين التاليين.

هناك خواص أخرى للضرب القياسي تنشأ من حقيقة أن جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين هو أحد عوامل الضرب القياسي. على سبيل المثال، إذا كانت دالة جيب التمام دالة زوجية طول دورتها ، فهذا يعني أنه لا يهم إذا قسنا الزاوية من إلى أو من إلى لأن:

ومن ثم، يُعد الضرب القياسي عملية إبدالية:

بالإضافة إلى ذلك، حاصل الضرب القياسي لمتجهين على استقامة واحدة يساوي موجب أو سالب حاصل ضرب معياريهما. لنفترض أولًا أن المتجهين ، ، على استقامة واحدة وقياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي صفرًا: حيث .

ونفترض أن المتجهين ، على استقامة واحدة، وقياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي (أي إن المتجهين يشيران إلى اتجاهين متعاكسين): حيث .

يترتب على ذلك أن حاصل الضرب القياسي لمتجه في نفسه يعطينا مربع معياره. يمكن التحقق من ذلك بسهولة باستخدام الطريقة التي نحسب بها حاصل الضرب القياسي: إذن:

وبما أن ، نجد أن:

وكما هو الحال في عملية الضرب، فإن الضرب القياسي عملية توزيعية أيضًا:

بالإضافة إلى ذلك، لدينا:

هيا نستخدم هذه الخواص للإجابة عن السؤال الآتي.