شارح الدرس: الضرب القياسي في ثلاثة أبعاد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد.

إن الضرب القياسي، والذي يُسمى أيضًا حاصل الضرب القياسي لأنه ينتج عنه كمية قياسية وليست متجهة، هو إحدى طرق ضرب المتجهات معًا.

قد تكون على دراية بالفعل بكيفية إيجاد حاصل الضرب القياسي في المستوى (ثنائي الأبعاد). كما قد تكون علمت بالفعل أن حاصل الضرب القياسي لـ 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 يُعرَّف على الصورة 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼×󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹×𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁.

باستخدام بعض العمليات الهندسية، نستطيع إثبات أن حاصل الضرب القياسي يمكن حسابه من مركبتي المتجهين: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸁𞸎𞸎𞸑𞸑 حيث 󰏡𞸎، 𞸁𞸎 هما مركبتا المحور 𞸎 للمتجه 󰏡 والمتجه 󰄮󰄮𞸁، 󰏡𞸑، 𞸁𞸑 هما مركبتا المحور 𞸑 للمتجهين.

دعونا نفكر في المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 اللذين يصنعان الزاويتين 𝜃١، 𝜃٢ مع الاتجاه الموجب من المحور 𞸎 على الترتيب.

الزاوية المحصورة بينهما هي 𝜃=𝜃𝜃٢١. إذا كان: 󰏡=󰍼󰏡󰍼𝜃،󰏡=󰍼󰏡󰍼𝜃،𞸁=󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃،𞸁=󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃،𞸎١𞸑١𞸎١𞸑٢ فسنجد أن: 󰏡𞸁+󰏡𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃𝜃+󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃𝜃=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹󰁓𝜃𝜃+𝜃𝜃󰁒.𞸎𞸎𞸑𞸑١٢١٢١٢١٢

باستخدام المتطابقة المثلثية للطرح (𝛼𝛽)=𝛼𝛽+𝛼𝛽، نجد أنه بالتعويض عن 𝛼 بـ 𝜃٢ وعن 𝛽 بـ 𝜃١، فإن: 󰁓𝜃𝜃󰁒=𝜃𝜃+𝜃𝜃=𝜃𝜃+𝜃𝜃.٢١٢١٢١١٢١٢

وبما أن 𝜃=𝜃𝜃٢١، يصبح لدينا: 󰏡𞸁+󰏡𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃=󰏡󰄮󰄮𞸁.𞸎𞸎𞸑𞸑

بالانتقال إلى المتجهات الثلاثية الأبعاد، فإن تعريف الضرب القياسي لا يتغير.

تعريف: الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد

󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁.

هيا نتناول المثال الأول ونطبق تعريف الضرب القياسي.

مثال ١: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين بمعلومية معيار أحدهما ومركبات الآخر وقياس الزاوية المحصورة بينهما

افترض أن 󰏡=(١،٢،٧)، 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹=٣١، وقياس الزاوية بين المتجهين يساوي ٥٣١. أوجد 󰏡󰄮󰄮𞸁 لأقرب جزء من مائة.

الحل

نعرف أن 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹𝜃. كما نعرف بالفعل 󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹 والزاوية 𝜃. علينا إيجاد 󰍼󰏡󰍼 باستخدام مركبات 󰏡: 󰍼󰏡󰍼=󰋷󰏡+󰏡+󰏡=󰋴(١)+٢+٧=󰋴٤٥.٢𞸎٢𞸑٢𞸏٢٢٢

بالتعويض بهذه القيمة في معادلة 󰏡󰄮󰄮𞸁، نجد أن: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰋴٤٥×٣١×٥٣١٥٥٫٧٦.

كيفية حساب حاصل الضرب القياسي باستخدام مركبات المتجهات

يمكن حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات الثلاثية الأبعاد باستخدام مركبات المتجهات بالطريقة نفسها التي نحسب بها حاصل الضرب القياسي للمتجهات ثنائية الأبعاد، وهي: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸁+󰏡𞸁،𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏 حيث تشير الحروف الصغيرة 𞸎، 𞸑، 𞸏 إلى المركبات في اتجاه المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏.

هيا نطبق هذه الطريقة في المثال التالي.

مثال ٢: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين بمعلومية مركباتهما

إذا كان 󰏡=(٦،٣،٥)، 󰄮󰄮𞸁=(٧،٤،١)، فأوجد 󰏡󰄮󰄮𞸁.

الحل

نحسب هنا حاصل الضرب القياسي باستخدام: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸁+󰏡𞸁،𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏 حيث تشير الحروف الصغيرة 𞸎، 𞸑، 𞸏 إلى المركبات في اتجاه المحاور 𞸎، 𞸑، 𞸏. ومن ثم، يصبح لدينا: 󰏡󰄮󰄮𞸁=(٦)×٧+(٣)×(٤)+٥×(١)=٢٤+٢١+(٥)=٥٣.

بعد أن عرفنا تعريف الضرب القياسي وكيفية حسابه باستخدام مركبات المتجهات، دعونا نلقِ نظرة على خواص الضرب القياسي.

بما أن الضرب القياسي هو حاصل ضرب معياريْ متجهين مضروبًا في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما، فإنه يساوي صفرًا عندما يكون جيب تمام الزاوية المحصورة بين كلا المتجهين يساوي صفر. ويحدث هذا عندما يكون قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٠٩ أو ٠٩ (أو ٠٧٢)، أي عندما يكون المتجهان متعامدين.

خاصية: الضرب القياسي لمتجهين متعامدين

حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين يساوي صفرًا. والعكس صحيح، إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي صفرًا، فإن المتجهين متعامدان.

لاسترجاع الزوايا التي جيب تمامها يساوي صفرًا، يمكنك أن تتخيل دائرة الوحدة، علمًا بأن جيب التمام هو الإحداثي 𞸎 للنقطة ن المرتبطة بالزاوية 𝜃.

سنستخدم هذه الخاصية في المثالين التاليين.

مثال ٣: إيجاد المركبات المجهولة لمتجهين متعامدين

ما قيمة 𞸊 التي تجعل المتجهين 󰏡=(٧،٧𞸊،٦)، 󰄮󰄮𞸁=(٧،٣،𞸊) متعامدين؟

الحل

إذا كان المتجهان متعامدين، فإن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٠٩ أو ٠٩ (أو ٠٧٢). وفي كلتا الحالتين، فإن جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما يساوي صفرًا. ومن ثم، حاصل الضرب القياسي للمتجهين يساوي صفرًا. وفي هذا السؤال، فإن ذلك يعني أن 󰏡󰄮󰄮𞸁=٠؛ أي إن: 󰏡𞸁+󰏡𞸁+󰏡𞸁=٠.𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏

ومن ثم، يصبح لدينا: ٧×٧+(٧𞸊)×(٣)+(٦)×𞸊=٠٩٤+١٢𞸊٦𞸊=٠𞸊=٩٤٥١.

مثال ٤: تحديد المتجهات المتعامدة والمتوازية

أيٌّ مما يلي صواب بالنسبة للمتجهين 󰏡=(٣،٧،٨)، 󰄮󰄮𞸁=(٦،١،١)؟

  • المتجهان متوازيان.
  • المتجهان متعامدان.
  • ليسا متوازيين أو متعامدين.

الحل

إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متوازيين، فسيكون هناك العدد 𞸊 حيث 󰏡=𞸊󰄮󰄮𞸁. وسيكون لدينا: ٣=٦𞸊٧=𞸊٨=𞸊.

يتضح أنه لا توجد قيمة للعدد 𞸊 تحقق المعادلات الثلاث، إذ حصلنا على ثلاثة حلول مختلفة لكل معادلة 󰂔١٢،٧،٨󰂓،. إذن، 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ليسا متوازيين.

إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متعامدين، فإن حاصل ضربهما يساوي صفرًا. هيا نوجد حاصل ضربهما القياسي: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸁+󰏡𞸁=(٣)×(٦)+٧×(١)+(٨)×(١)=٨١+(٧)+٨=٩١.𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏

حاصل الضرب القياسي للمتجهين لا يساوي صفرًا؛ إذن 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ليسا متعامدين.

الإجابة الصحيحة هي أن 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 ليسا متوازيين أو متعامدين.

هناك خواص أخرى للضرب القياسي تنشأ من حقيقة أن جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين هو أحد عوامل الضرب القياسي. على سبيل المثال، إذا كانت دالة جيب التمام دالة زوجية طول دورتها ٠٦٣، فهذا يعني أنه لا يهم إذا قسنا الزاوية من 󰏡 إلى 󰄮󰄮𞸁 أو من 󰄮󰄮𞸁 إلى 󰏡 لأن: 𝜃=(𝜃)=(٠٦٣𝜃).

ومن ثم، يُعد الضرب القياسي عملية إبدالية: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁󰏡.

بالإضافة إلى ذلك، حاصل الضرب القياسي لمتجهين على استقامة واحدة يساوي موجب أو سالب حاصل ضرب معياريهما. لنفترض أولًا أن المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁، على استقامة واحدة وقياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي صفرًا: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹٠=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹، حيث ٠=١.

ونفترض أن المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 على استقامة واحدة، وقياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي ٠٨١ (أي إن المتجهين يشيران إلى اتجاهين متعاكسين): 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹٠٨١=󰍼󰏡󰍼󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹، حيث ٠٨١=١.

يترتب على ذلك أن حاصل الضرب القياسي لمتجه في نفسه يعطينا مربع معياره. يمكن التحقق من ذلك بسهولة باستخدام الطريقة التي نحسب بها حاصل الضرب القياسي: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸁+󰏡𞸁،𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏 إذن: 󰏡󰏡=󰏡󰏡+󰏡󰏡+󰏡󰏡=󰏡+󰏡+󰏡.𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏٢𞸎٢𞸑٢𞸏

وبما أن 󰍼󰏡󰍼=󰋷󰏡+󰏡+󰏡٢𞸎٢𞸑٢𞸏، نجد أن: 󰏡󰏡=󰍼󰏡󰍼.٢

وكما هو الحال في عملية الضرب، فإن الضرب القياسي عملية توزيعية أيضًا: (󰏡+󰄮󰄮𞸁)󰄮󰄮𞸢=󰏡󰄮󰄮𞸢+󰏡󰄮󰄮𞸢.

بالإضافة إلى ذلك، لدينا: (𞸊󰏡)󰄮󰄮𞸁=󰏡(𞸊󰄮󰄮𞸁)=𞸊󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓.

هيا نستخدم هذه الخواص للإجابة عن السؤال الآتي.

مثال ٥: استخدام خاصية التوزيع للضرب القياسي

إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متجهيْ وحدة متعامدين، فأوجد (٣󰏡󰄮󰄮𞸁)(٢󰏡+󰄮󰄮𞸁).

الحل

لدينا مُعطيان في العبارة «󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متجها وحدة متعامدين». المُعطى الأول هو أن المتجهين متعامدين؛ ما يعني أن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. المُعطى الثاني أنهما متجها وحدة، ما يعني أن معياريهما يساوي واحدًا. باستخدام خاصية التوزيع للضرب القياسي، نجد أن: (٣󰏡󰄮󰄮𞸁)(٢󰏡+󰄮󰄮𞸁)=٦󰏡󰏡+٣󰏡×󰄮󰄮𞸁+٢󰄮󰄮𞸁󰏡󰄮󰄮𞸁󰄮󰄮𞸁.

وبما أن المتجهين متعامدان، فإن الحدود ٣󰏡󰄮󰄮𞸁، ٢󰄮󰄮𞸁󰏡 تساوي صفرًا.

نعرف أيضًا أن: 󰏡󰏡=󰍼󰏡󰍼=١٢؛ حيث 󰏡 متجه وحدة. ينطبق الأمر نفسه على 󰄮󰄮𞸁. ومن ثم، نجد أن: (٣󰏡󰄮󰄮𞸁)(٢󰏡+󰄮󰄮𞸁)=٦١=٧.

النقاط الرئيسية

  • حاصل الضرب القياسي للمتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 يُعرَّف على الصورة: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰍼󰏡󰍼×󰍹󰄮󰄮𞸁󰍹×𝜃،؛ حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين 󰏡، 󰄮󰄮𞸁.
  • يمكن حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد باستخدام مركبات المتجهين: 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰏡𞸁+󰏡𞸁+󰏡𞸁.𞸎𞸎𞸑𞸑𞸏𞸏
  • لحاصل الضرب القياسي الخواص الآتية:
    • 󰏡󰄮󰄮𞸁=󰄮󰄮𞸁󰏡 (إبدالي).
    • 󰏡󰏡=󰍼󰏡󰍼٢.
    • 󰏡󰄮󰄮𞸁=٠، إذا كان 󰏡، 󰄮󰄮𞸁 متعامدين فقط.
    • (󰏡+󰄮󰄮𞸁)󰄮󰄮𞸢=󰏡󰄮󰄮𞸢+󰏡󰄮󰄮𞸢 (توزيعي).
    • (𞸊󰏡)󰄮󰄮𞸁=󰏡(𞸊󰄮󰄮𞸁)=𞸊󰂔󰏡󰄮󰄮𞸁󰂓؛ حيث 𞸊 عدد حقيقي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.