فيديو الدرس: الضرب القياسي في ثلاثة أبعاد الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد.

١٣:٣٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد. سنبدأ بالتعرف على شكل المتجه في ثلاثة أبعاد وبعض خصائصه الأساسية.

المتجه الثلاثي الأبعاد هو ثلاثي مرتب؛ إذ يكون للمتجه ﺃ المركبات ﺃ واحد، وﺃ اثنين، وﺃ ثلاثة. يمكن كتابة ذلك أيضًا على الصورة: ﺃ واحد ﺱ زائد ﺃ اثنين ﺹ زائد ﺃ ثلاثة ﻉ، حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي متجهات الوحدة الأساسية متعامدة بعضها على بعض في الثلاثة الأبعاد. إذا كان للمتجه ﺃ المركبات ﺃ واحد، وﺃ اثنان، وﺃ ثلاثة، وللمتجه ﺏ المركبات ﺏ واحد، وﺏ اثنان، وﺏ ثلاثة، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ يساوي ﺃ واحد ﺏ واحد زائد ﺃ اثنين ﺏ اثنين زائد ﺃ ثلاثة ﺏ ثلاثة. فنضرب المركبات المتناظرة في كل متجه معًا ثم نوجد مجموع هذه القيم. وهذا سيعطينا كمية قياسية وليست متجهة.

حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ يساوي أيضًا معيار المتجه ﺃ مضروبًا في معيار المتجه ﺏ مضروبًا في جتا الزاوية 𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. يجب أن تقع قيمة 𝜃 هذه بين صفر و𝜋 راديان أو بين صفر و١٨٠ درجة.

نتذكر هنا أن معيار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ واحد تربيع زائد ﺃ اثنين تربيع زائد ﺃ ثلاثة تربيع. ما سنفعله إذن هو تربيع كل مركبة، ثم إيجاد مجموع هذه القيم الثلاث، ثم إيجاد الجذر التربيعي للناتج. ومرة أخرى، سيعطينا هذا كمية قياسية. ومعيار أي متجه غير صفري يكون أكبر من الصفر. سنتناول الآن سؤالًا مطلوبًا منا فيه حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين.

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ستة، سالب ثلاثة، خمسة، والمتجه ﺏ يساوي سبعة، سالب أربعة، سالب واحد، فأوجد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ.

للمتجه الثلاثي الأبعاد ﺃ المركبات ﺃ واحد، وﺃ اثنان، وﺃ ثلاثة، بينما للمتجه ﺏ المركبات ﺏ واحد، وﺏ اثنان، وﺏ ثلاثة. حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين يساوي ﺃ واحد مضروبًا في ﺏ واحد زائد ﺃ اثنين مضروبًا في ﺏ اثنين زائد ﺃ ثلاثة مضروبًا في ﺏ ثلاثة. سنوجد حاصل ضرب المركبات المتناظرة، ثم نوجد مجموع هذه القيم الثلاث.

في هذا السؤال، علينا أن نضرب سالب ستة في سبعة، وسالب ثلاثة في سالب أربعة، وخمسة في سالب واحد. ضرب عدد سالب في عدد موجب يعطينا ناتجًا سالبًا. إذن، سالب ستة مضروبًا في سبعة يساوي سالب ٤٢. وضرب عددين سالبين معًا يعطينا ناتجًا موجبًا. إذن، سالب ثلاثة مضروبًا في سالب أربعة يساوي ١٢. وأخيرًا، خمسة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب خمسة.

حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ يساوي سالب ٤٢ زائد ١٢ زائد سالب خمسة. سالب ٤٢ زائد ١٢ يساوي سالب ٣٠. وبطرح خمسة من هذه القيمة، نحصل على سالب ٣٥. إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجهين سالب ستة، سالب ثلاثة، خمسة؛ وسبعة، سالب أربعة، سالب واحد يساوي سالب ٣٥.

في السؤال التالي، سنتناول خصائص متجهين متعامدين.

ما قيمة ﻙ التي تجعل المتجهين ﺃ يساوي سبعة، سالب سبعة ﻙ، سالب ستة، وﺏ يساوي سبعة، سالب ثلاثة، ﻙ، متعامدين؟

نتذكر هنا أن حاصل الضرب القياسي لأي متجهين ﺃ وﺏ يساوي معيار المتجه ﺃ مضروبًا في معيار المتجه ﺏ مضروبًا في جتا 𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين.

إذا كان المتجهان متعامدين، كما في هذا السؤال، فإن قياس الزاوية بينهما سيساوي ٩٠ درجة. ونعرف أن جتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا. هذا يقودنا إلى حقيقة أنه إذا كان المتجهان متعامدين، فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا.

لإيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهين في ثلاثة أبعاد، علينا إيجاد حاصل ضرب مركباتهما المتناظرة ثم مجموع هذه القيم الثلاث. سبعة مضروبًا في سبعة يساوي ٤٩. وضرب سالب سبعة ﻙ في سالب ثلاثة يعطينا موجب ٢١ﻙ؛ لأن ضرب عددين سالبين يعطينا ناتجًا موجبًا. وسالب ستة مضروبًا في ﻙ يساوي سالب ستة ﻙ. وإضافة هذه القيمة تماثل طرح ستة ﻙ.

هذا يعطينا المعادلة صفر يساوي ٤٩ زائد ٢١ﻙ ناقص ستة ﻙ. وبطرح ٤٩ من كلا الطرفين وتجميع الحدين المتشابهين، سنحصل على سالب ٤٩ يساوي ١٥ﻙ. وأخيرًا، بقسمة طرفي المعادلة على ١٥، نحصل على ﻙ يساوي سالب ٤٩ على ١٥. هذه هي قيمة ﻙ حيث يكون المتجهان ﺃ وﺏ متعامدين.

في السؤال التالي، علينا تحديد العبارة الصحيحة بالنسبة إلى المتجهين.

أي مما يلي صواب بالنسبة إلى المتجهين ﺃ يساوي سالب ثلاثة، سبعة، سالب ثمانية، وﺏ يساوي سالب ستة، سالب واحد، سالب واحد. هل هما (أ) متوازيان، أم (ب) متعامدان، أم (ج) ليسا متوازيين أو متعامدين؟

للإجابة عن هذا السؤال، علينا تذكر خصائص أي متجهين عندما يكونان متوازيين أو متعامدين. المتجهان متوازيان إذا كان المتجه ﺃ يساوي ﻙ مضروبًا في المتجه ﺏ، حيث ﻙ كمية قياسية لا تساوي صفرًا. هذا يعني أن كل مركبة من المركبات يجب ضربها في الكمية القياسية نفسها.

في هذا السؤال، قيمة ﻙ يجب أن تحقق المعادلات الثلاث التالية. سالب ثلاثة يساوي سالب ستة ﻙ، وسبعة يساوي سالب واحد ﻙ، وسالب ثمانية يساوي سالب واحد ﻙ. يتضح من المعادلتين الثانية والثالثة أن ذلك غير صحيح؛ لأن سالب واحد ﻙ لا يمكن أن يساوي سبعة وسالب ثمانية في الوقت نفسه. بقسمة طرفي المعادلة الأخيرة على سالب واحد، سنحصل على ﻙ يساوي ثمانية، بينما بقسمة طرفي المعادلة الثانية على سالب واحد، سنحصل على ﻙ يساوي سالب سبعة. وإذا قسمنا طرفي المعادلة الأولى على سالب ستة، نحصل على ﻙ يساوي نصفًا.

وبما أن قيمة ﻙ ليست متماثلة في المعادلات الثلاث، فيمكننا استنتاج أن المتجه ﺃ لا يساوي الكمية القياسية ﻙ مضروبة في المتجه ﺏ. وهذا يعني أن المتجهين غير متوازيين، والخيار (أ) غير صحيح.

نعلم أن المتجهين يكونان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. سنحسب حاصل الضرب القياسي للمتجهين بضرب مركباتهما المتناظرة أولًا. بعد ذلك، سنوجد مجموع هذه القيم الثلاث. سالب ثلاثة مضروبًا في سالب ستة يساوي ١٨. سبعة مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب سبعة. وجمع هذه القيمة هو نفسه طرح سبعة. وأخيرًا، سالب ثمانية مضروبًا في سالب واحد يساوي ثمانية. من ثم، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ يساوي ١٨ ناقص سبعة زائد ثمانية. وهذا يساوي ١٩.

وبما أن ذلك لا يساوي صفرًا، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ لا يساوي صفرًا. إذن يمكننا استنتاج أن المتجهين غير متعامدين؛ ومن ثم فإن الخيار (ب) غير صحيح أيضًا. وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج). المتجه ﺃ والمتجه ﺏ ليسا متوازيين أو متعامدين.

في السؤال الأخير، سنحسب حاصل الضرب القياسي لمتجهين بمعلومية معياريهما وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

افترض أن المتجه ﺃ يساوي سالب واحد، اثنين، سبعة، ومعيار المتجه ﺏ يساوي ١٣، وقياس الزاوية بين المتجهين يساوي ١٣٥ درجة. أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ لأقرب جزء من مائة.

يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ بإيجاد معياريهما، وضربهما معًا، ثم ضرب الناتج في جتا الزاوية 𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. في هذا السؤال، لدينا معيار المتجه ﺏ يساوي ١٣. وقياس الزاوية بين المتجهين يساوي ١٣٥ درجة. لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ، علينا أولًا حساب معيار المتجه ﺃ.

المتجه ﺃ مكتوب بدلالة مركباته الثلاثة، والتي سنسميها ﺃ واحد، وﺃ اثنان، وﺃ ثلاثة. معيار أي متجه هو كمية قياسية. وهو يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ واحد تربيع زائد ﺃ اثنان تربيع زائد ﺃ ثلاثة تربيع. في هذا السؤال، سنبدأ بتربيع سالب واحد واثنين وسبعة. ذلك يساوي واحدًا وأربعة و٤٩، على الترتيب. واحد زائد أربعة زائد ٤٩ يساوي ٥٤. وعليه، فإن معيار المتجه ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٤.

باستخدام قوانين الجذور أو الجذور الصماء، يمكن إعادة كتابة هذا على صورة الجذر التربيعي لتسعة مضروبًا في الجذر التربيعي لستة، حيث إن تسعة مضروبًا في ستة يساوي ٥٤. الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. وبالتالي، يمكن إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ٥٤ على صورة ثلاثة جذر ستة. هذا هو معيار المتجه ﺃ.

يمكننا الآن حساب حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ. إنه يساوي ثلاثة جذر ستة مضروبًا في ١٣ مضروبًا في جتا ١٣٥ درجة. وجتا ١٣٥ درجة يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. هذا يعني أن حاصل الضرب القياسي يساوي سالب ٣٩ جذر ١٢ على اثنين. ويمكننا إعادة كتابة جذر ١٢ على صورة جذر أربعة مضروبًا في جذر ثلاثة. وبما أن جذر أربعة يساوي اثنين، فيمكننا تبسيط ذلك إلى سالب ٣٩ جذر ثلاثة.

لكن هذا ليس الحل النهائي؛ لأن المطلوب منا هو تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة. سالب ٣٩ جذر ثلاثة يساوي سالب ٦٧٫٥٤٩٩ وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب هذا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين أو لأقرب جزء من مائة، سنحصل على سالب ٦٧٫٥٥. إذن، حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺃ والمتجه ﺏ لأقرب جزء من مائة هو سالب ٦٧٫٥٥.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تعلمنا في هذا الفيديو أنه إذا كان للمتجه ﺃ المركبات ﺃ واحد، وﺃ اثنان، وﺃ ثلاثة، وللمتجه ﺏ المركبات ﺏ واحد، وﺏ اثنان، وﺏ ثلاثة، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺃ وﺏ يساوي ﺃ واحد مضروبًا في ﺏ واحد زائد ﺃ اثنين مضروبًا في ﺏ اثنين زائد ﺃ ثلاثة مضروبًا في ﺏ ثلاثة. فإننا نوجد حاصل ضرب المركبات المتناظرة ثم مجموع هذه القيم الثلاث.

تعلمنا أيضًا أنه يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي بضرب معيار المتجه ﺃ في معيار المتجه ﺏ في جتا الزاوية 𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين. حاصل الضرب القياسي يعطينا دائمًا كمية قياسية وليس كمية متجهة. وينطبق الأمر نفسه عند حساب المعيار. وأخيرًا، تعلمنا أنه إذا كان هناك متجهان متعامدان، فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا. وهذا لأن المتجهين المتعامدين يلتقيان عند زاوية قائمة، وجتا الزاوية ٩٠ درجة يساوي صفرًا. هذا بدوره يعني أن حاصل ضربهما القياسي سيساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.