فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين بمعلومية طوليهما وقياس الزاوية المحصورة بينهما الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

لدينا المتجه ‪𝐫‬‏ مقداره 12 والمتجه ‪𝐬‬‏ مقداره 26. قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ المحصورة بينهما 68 درجة. ما حاصل الضرب القياسي للمتجه ‪𝐫‬‏ والمتجه ‪𝐬‬‏؟ أوجد الإجابة لأقرب عدد صحيح.

حسنًا، في هذا السؤال، لدينا المتجهان ‪𝐫‬‏ و‪𝐬‬‏. نعلم مقداري هذين المتجهين، ولدينا أيضًا قياس الزاوية المحصورة بينهما. والمطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. دعونا نبدأ برسم المتجهين لنتخيل ما يحدث. مقدار المتجه ‪𝐫‬‏ يساوي 12. نحن لا نعرف أي شيء عن الاتجاه المطلق للمتجه ‪𝐫‬‏، بل نعرف فقط اتجاهه بالنسبة للمتجه الثاني ‪𝐬‬‏. نلاحظ أن الاتجاه المطلق لن يكون مهمًّا بالفعل. لذا سنرسم المتجه ‪𝐫‬‏ مشيرًا لأعلى. يقع المتجه ‪𝐬‬‏ عند زاوية قياسها 68 درجة بالنسبة للمتجه ‪𝐫‬‏، ومقداره 26. وهذا المقدار أكبر قليلًا من ضعف مقدار المتجه ‪𝐫‬‏. إذن فالسهم الذي يمثل المتجه ‪𝐬‬‏ أطول قليلًا من ضعف طول السهم الذي يمثل المتجه ‪𝐫‬‏.

لحساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، علينا تذكر المعادلة الهندسية للضرب القياسي. بالنسبة للمتجهين العامين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، يعرف حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين بأنه مقدار المتجه ‪𝐀‬‏ مضروبًا في مقدار المتجه ‪𝐁‬‏ مضروبًا في جيب تمام الزاوية ‪𝜃‬‏ المحصورة بينهما. وبالطبع يمكننا كتابة هذه المعادلة نفسها للمتجهين ‪𝐫‬‏ و‪𝐬‬‏. نعلم من السؤال أن مقدار المتجه ‪𝐫‬‏ يساوي 12، ونعلم أن مقدار المتجه ‪𝐬‬‏ يساوي 26. وأخيرًا نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين يساوي 68 درجة. إذن دعونا نعوض بهذه القيم في معادلة الضرب القياسي.

يصبح لدينا حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐫‬‏ في ‪𝐬‬‏ يساوي 12؛ أي مقدار المتجه ‪𝐫‬‏، مضروبًا في 26؛ أي مقدار المتجه ‪𝐬‬‏، مضروبًا في cos 68 درجة؛ أي قياس الزاوية ‪𝜃‬‏ المحصورة بين المتجهين ‪𝐫‬‏ و‪𝐬‬‏. عندما نجري هذه العملية الحسابية، نجد أن الناتج يساوي 116.877، وهكذا مع توالي المنازل العشرية. لكن إذا رجعنا إلى السؤال فسنجد أنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب عدد صحيح. لذا، إذا قربنا هذا العدد لأقرب عدد صحيح، فسنجد أنه بالتقريب لأعلى يساوي 117. وبذلك نتوصل إلى إجابة السؤال، وهي أنه لأقرب عدد صحيح، يكون حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐫‬‏ و‪𝐬‬‏ يساوي 117.