فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متعددة التعريف خلال فترة معطاة الرياضيات

خلال الفترة [−١‎، ٢]، أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ﺩ(ﺱ) = ٤ﺱ^٢ + ٣ﺱ − ٧ لكل ﺱ ≤ ١، ﺩ(ﺱ) = ٦ﺱ − ٥ لكل ‎ﺱ > ١ لأقرب جزء من مائة.

٠٤:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

خلال الفترة المغلقة من سالب واحد إلى اثنين، أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص سبعة لكل‎ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا، وستة ﺱ ناقص خمسة لكل‎ﺱ أكبر من واحد. لأقرب جزء من مائة.

لإيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة، علينا التفكير في أمرين. علينا أولًا البحث عن أي نقاط حرجة للدالة. تذكر أن هذه هي النقاط التي تكون عندها قيمة المشتقة الأولى تساوي صفرًا. وتشير النقطة الحرجة إلى قيمة عظمى نسبية وقيمة صغرى نسبية. ويمكن أن تكون هذه قيمة قصوى مطلقة. علينا أيضًا التفكير في نقطتي طرفي الدالة.

حسنًا، سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى للدالة. لدينا دالة متعددة التعريف. لذا، سنشتق كل تعبير بالنسبة إلى ﺱ. دعونا نبدأ بالتعبير أربعة ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص سبعة. مشتقة أربعة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين في أربعة ﺱ، وهذا يساوي ثمانية ﺱ. مشتقة ثلاثة ﺱ تساوي ثلاثة. ومشتقة سالب سبعة تساوي صفرًا. وذلك لقيم ﺱ الأقل من أو تساوي واحدًا.

سنشتق بعد ذلك ستة ﺱ ناقص خمسة بالنسبة إلى ﺱ. حسنًا، مشتقة ستة ﺱ ناقص خمسة تساوي ستة. ومن ثم، نجد أن المشتقة الأولى تساوي ثمانية ﺱ زائد ثلاثة إذا كان ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا، أو تساوي ستة إذا كان ﺱ أكبر من واحد. وإذا فكرنا جيدًا، فسنجد أن التعبير ستة لا يمكن أن يساوي صفرًا لأي قيمة لـ ﺱ. وهذا يدل على عدم وجود نقاط حرجة في هذا الجزء من الدالة. لكننا سنجعل ثمانية ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا، ثم نوجد قيمة ﺱ. بطرح ثلاثة من كلا الطرفين ثم القسمة على ثمانية، نجد أن ﺱ يساوي سالب ثلاثة أثمان. وبذلك، نكون قد حصلنا على نقطة حرجة عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة أثمان.

حسنًا، سنطبق الآن عدة خطوات. سنحسب قيمة الدالة عند هذه النقطة الحرجة. وهي ﺩ لسالب ثلاثة أثمان. وسنحسب قيمة الدالة عند الطرفين السفلي والعلوي للفترة. وهما ﺩ لسالب واحد وﺩ لاثنين. كما سنحسب قيمة الدالة هنا عند ﺱ يساوي واحدًا. وهذا يمثل النقطة الحدية لكل جزء من الدالة. عند ﺱ يساوي سالب ثلاثة أثمان، نجد أن ذلك يحقق بالفعل شرط أن يكون ﺱ أقل من أو يساوي واحدًا. إذن سنستخدم الجزء الأول من الدالة لحساب ﺩ لسالب ثلاثة أثمان. لدينا إذن أربعة في سالب ثلاثة أثمان تربيع زائد ثلاثة في سالب ثلاثة أثمان ناقص سبعة. هذا يساوي سالب ٧٫٥٦٢٥.

عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإننا نستخدم نفس الجزء من الدالة. ومن ثم، نحصل على أربعة في سالب واحد تربيع زائد ثلاثة في سالب واحد ناقص سبعة، وهو ما يساوي سالب ستة. حسنًا، سالب ستة أكبر من سالب ٧٫٥٦٢٥. إذن، عند ﺱ يساوي سالب واحد، لا يمكن أن تكون لدينا قيمة صغرى مطلقة. لكن من الممكن أن نحصل على قيمة عظمى مطلقة. والآن، سنتحقق من ﺩ لاثنين. عند ﺱ يساوي اثنين، نجد أن ذلك أكبر من واحد بالتأكيد. لذلك سنستخدم الجزء الثاني من الدالة. وهذا يساوي ستة في اثنين ناقص خمسة، وهو ما يساوي سبعة.

وأخيرًا، علينا فقط التحقق من قيمة الدالة عند ﺱ يساوي واحدًا. سنعود إلى الجزء الأول من الدالة؛ لأن الدالة معرفة لقيم ﺱ الأقل من أو تساوي واحدًا. ويصبح لدينا أربعة في واحد تربيع زائد ثلاثة في واحد ناقص سبعة، وهو ما يساوي صفرًا. حسنًا، إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أن أقل قيمة لدينا خلال الفترة هي سالب ٧٫٥٦٢٥. وأكبر قيمة حصلنا عليها هي سبعة. سنقرب سالب ٧٫٥٦٢٥ لأقرب جزء من مائة.

وبذلك، نجد أن القيمة العظمى المطلقة للدالة هي سبعة. والقيمة الصغرى المطلقة هي سالب ٧٫٥٦.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.