نسخة الفيديو النصية
بدأ جسيم الحركة من نقطة الأصل في اتجاه المحور ﺱ. عند اللحظة ﻥ ثانية، كانت سرعة الجسيم معطاة بالعلاقة: ﻉ يساوي ١٫٨ﻥ تربيع زائد ٤٫٧ﻥ متر لكل ثانية، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. أوجد إزاحة الجسيم، ﻑ، وعجلته، ﺟ، عندما يكون ﻥ يساوي ثانيتين.
حسنًا، لدينا في هذا السؤال جسيم بدأ الحركة من نقطة الأصل في اتجاه المحور ﺱ. وعلمنا من المعطيات أن سرعة الجسيم بعد ﻥ ثانية تعطى بالعلاقة ١٫٨ﻥ تربيع زائد ٤٫٧ﻥ متر لكل ثانية، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. علينا استخدام هذه المعلومات لإيجاد الإزاحة، ﻑ، والعجلة، ﺟ، للجسيم عند ﻥ يساوي ثانيتين. للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا ملاحظة أن الجسيم يتحرك في اتجاه المحور ﺱ. وهو ما يعني أنه يتحرك في خط مستقيم. نحن نعرف سرعة الجسيم عند الزمن ﻥ. ونريد إيجاد إزاحة الجسيم وعجلته.
بما أن الجسيم يتحرك في خط مستقيم، يمكننا استخدام حقيقة أن السرعة هي معدل تغير الإزاحة بالنسبة إلى الزمن. وكذلك حقيقة أن العجلة هي معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن أيضًا. وبذلك نجد أن ﻉ يساوي ﺩﻑ على ﺩﻥ، وﺩﻉ على ﺩﻥ يساوي ﺟ. دعونا نبدأ بتكوين معادلة تعبر عن عجلة الجسيم بعد ﻥ ثانية. بما أن ﺟ يساوي ﺩﻉ على ﺩﻥ، فإن العجلة ستساوي مشتقة ١٫٨ﻥ تربيع زائد ٤٫٧ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. ويمكننا إيجاد قيمة هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. ووفقًا لهذه القاعدة، سنضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. وهذا يعطينا ٣٫٦ﻥ زائد ٤٫٧.
تذكر أن السؤال يطلب منا إيجاد عجلة الجسيم عند ﻥ يساوي اثنين. إذن، سنعوض بـ ﻥ يساوي اثنين في معادلة العجلة التي لدينا. وهذا يعطينا ٣٫٦ في اثنين زائد ٤٫٧. ونحسب هذا لنحصل على ١١٫٩. حسنًا، بما أن جميع الوحدات لدينا بالمتر والثانية، وهذه قيمة العجلة، فإنها ستكون بوحدة المتر لكل ثانية مربعة. والآن، علينا إيجاد إزاحة الجسيم بعد ثانيتين. إننا نعرف أن ﻉ يساوي ﺩﻑ على ﺩﻥ؛ أي مشتقة ﻑ بالنسبة إلى الزمن. وإذا كان ﻉ يساوي مشتقة ﻑ بالنسبة إلى ﻥ، فإن ﻑ يساوي المشتقة العكسية لـ ﻉ بالنسبة إلى ﻥ.
يمكننا إذن استخدام هاتين المعلومتين لإيجاد تعبير للإزاحة عند الزمن ﻥ زائد ثابت التكامل. وبذلك، نجد أن ﻑ يساوي تكامل ١٫٨ﻥ تربيع زائد ٤٫٧ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. بعد ذلك يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل باستخدام قاعدة القوة للتكامل. سنضيف واحدًا إلى الأسين لدينا ثم نقسم على الأس الجديد. وهذا يعطينا ١٫٨ﻥ تكعيب على ثلاثة زائد ٤٫٧ﻥ تربيع على اثنين زائد ثابت التكامل ﺙ. يمكننا تبسيط هذا المقدار. ١٫٨ مقسومًا على ثلاثة يساوي ٠٫٦، و ٤٫٧ مقسومًا على اثنين يساوي ٢٫٣٥.
حسنًا، لقد أصبح لدينا الآن تعبير دال على إزاحة الجسيم بعد ﻥ ثانية. ولكننا لا نعرف قيمة ﺙ. علمنا من السؤال أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل. بعبارة أخرى، عند ﻥ يساوي صفرًا لم يكن الجسيم قد بدأ الحركة. هذا يعني أن ﻑ كان يساوي صفرًا. ويمكننا استخدام هذا لإيجاد قيمة ﺙ. قيمة ﻑ عند صفر تساوي ٠٫٦ في صفر تكعيب زائد ٢٫٣٥ في صفر تربيع زائد ﺙ. ونحن نعرف أن الإزاحة الابتدائية للجسيم كانت صفرًا.
نجد بعد ذلك أن ٠٫٦ في صفر تكعيب يساوي صفرًا. و ٢٫٣٥ في صفر تربيع يساوي صفرًا. إذن، يمكن تبسيط هذه المعادلة لتصبح ﺙ يساوي صفرًا. وبالتعويض بـ ﺙ يساوي صفرًا، يكون لدينا إزاحة الجسيم بعد ﻥ ثانية، أي ﻑ، تساوي ٠٫٦ﻥ تكعيب زائد ٢٫٣٥ﻥ تربيع.
نحن نريد إيجاد إزاحة الجسيم بعد ثانيتين. إذن، نعوض بـ ﻥ يساوي اثنين في معادلة الإزاحة التي لدينا. وهذا يعطينا ٠٫٦ في اثنين تكعيب زائد ٢٫٣٥ في اثنين تربيع. يمكننا بعد ذلك حساب هذا المقدار لنحصل على ١٤٫٢. مرة أخرى، بما أن جميع الوحدات معطاة بالمتر والثانية، وهذه هي قيمة إزاحة الجسيم، ستكون الوحدة المستخدمة هي المتر.
وبذلك، نكون قد أوضحنا أن الإزاحة، ﻑ، للجسيم بعد ثانيتين تساوي ١٤٫٢ مترًا. وأن عجلة الجسيم، ﺟ، بعد ثانيتين تساوي ١١٫٩ مترًا لكل ثانية مربعة.
