فيديو السؤال: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة خطية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد الصيغة العامة للمشتقة العكسية ﺩ لـ ﺱ للدالة د شرطة لـ ﺱ يساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين.

حسنًا، لدينا في السؤال الدالة الخطية د شرطة ﺱ. ومطلوب منا إيجاد الصيغة العامة للمشتقة العكسية لهذه الدالة. وسنشير إليها بـ ﺩﺱ. تذكر أننا نطلق على ﺩﺱ المشتقة العكسية للدالة د شرطة ﺱ، إذا كانت مشتقة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي د شرطة ﺱ. ثمة أمر يجب مراعاته؛ وهو أن المشتقات العكسية ليست وحيدة. إذا أضفنا أي ثابت إلى مشتقة عكسية، وكانت مشتقة هذا الثابت تساوي صفرًا، فإن هذه الدالة ستكون أيضًا مشتقة عكسية للدالة التي لدينا.

لذا، عادة ما يطلب منا إيجاد الصيغة العامة للمشتقة العكسية للدالة. وعندما يطلب منا ذلك، فإننا نضيف ثابتًا للإجابة. وذلك ليمثل جميع المشتقات العكسية الممكنة للدالة. دعونا نبدأ إذن بإيجاد المشتقة العكسية للدالة لدينا. نلاحظ هنا أن الدالة د شرطة ﺱ هي الدالة الخطية أربعة ﺱ ناقص اثنين. وبما أنه يمكننا اشتقاق كل حد على حدة، يمكننا إيجاد المشتقة العكسية لكل حد بشكل منفصل. دعونا نبدأ إذن بإيجاد المشتقة العكسية لأربعة ﺱ.

في الواقع، نحن نعلم كيفية إيجاد المشتقة العكسية للحد العام، ﺃ في ﺱ أس ﻥ. وهذا يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد. وفي الحالة العامة، تذكر أننا نضيف ثابت التكامل. والسبب هو أنه لاشتقاق ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد الكل مقسوم على ﻥ زائد واحد، علينا أن نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا من الأس. وهذا يعطينا ﺃ في ﺱ أس ﻥ. يمكننا فعل ذلك لإيجاد مشتقة عكسية لأربعة في ﺱ. سنكتب ذلك على الصورة أربعة في ﺱ أس واحد.

إذن، لإيجاد المشتقة العكسية لهذا المقدار، نضيف واحدًا إلى الأس واحد ثم نقسم على هذا الأس الجديد. وهذا يعطينا أربعة ﺱ أس واحد زائد واحد مقسومًا على واحد زائد واحد. وبالطبع، يمكننا تبسيط واحد زائد واحد حيث يصبح لدينا اثنان. وأربعة على اثنين يساوي اثنين. إذن، إحدى المشتقات العكسية لأربعة ﺱ هي اثنان ﺱ تربيع. وأحيانًا يكون علينا التفكير فيما يحدث إذا اشتققنا هذا الحد. نلاحظ هنا أننا إذا اشتققنا هذا الحد، فسنحصل على أربعة ﺱ. إذن، هذه بالفعل مشتقة عكسية لأربعة ﺱ.

والآن، علينا إيجاد المشتقة العكسية للثابت سالب اثنين. ولفعل ذلك، تذكر أنه لأي ثابت ﻙ، فإن مشتقة ﻙﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻙ. إذن، لأي ثابت ﻙ، فإن ﻙﺱ يكون مشتقة عكسية لـ ﻙ. إذن، باستخدام ﻙ يساوي سالب اثنين، يمكننا ملاحظة أن المشتقة العكسية لسالب اثنين تساوي سالب اثنين ﺱ.

وبذلك، نكون قد أوجدنا مشتقة عكسية محتملة للدالة د شرطة ﺱ. لكن تذكر أن هذه ستكون مشتقة عكسية إذا أضفنا أي ثابت إلى هذه الدالة. لذا، فإننا نضيف ثابتًا، ونشير إليه بالحرف ﺙ، لتكون الصورة لدينا هي الصورة العامة للمشتقة العكسية للدالة.

وبذلك، نكون قد أوضحنا أن الصيغة العامة للمشتقة العكسية ﺩﺱ للدالة د شرطة ﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين هي ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ﺙ.