فيديو السؤال: إيجاد تكامل دالة تتضمن أسسًا كسرية باستخدام قاعدة القوة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل ثمانية مقسومًا على الجذر الخامس لـ ﺱ أس ستة بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة التكامل غير المحدد لجذر. ويمكننا ملاحظة أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل مباشرة على صورته الحالية. ومع ذلك، يمكننا استخدام قوانين الأسس لإعادة كتابة هذا على صورة يمكننا إيجاد تكاملها.

أولًا، نريد تبسيط تعبير المقام. هذا يساوي الجذر الخامس لـ ﺱ أس ستة. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن الجذر النوني لـ ﺃ يساوي ﺃ أس واحد على ﻥ. في هذه الحالة، قيمة ﻥ هي خمسة وقيمة ﺃ هي ﺱ أس ستة. لذا يمكننا إعادة كتابة مقام الدالة التي سيجرى عليها التكامل على صورة ﺱ أس ستة مرفوعًا للقوة واحد على خمسة.

لكننا ما زلنا لا نستطيع إيجاد قيمة هذا التكامل مباشرة. يمكننا أن نلاحظ في المقام أن لدينا ﺱ أس ستة الكل مرفوعًا للقوة خمس. يمكننا إعادة كتابة هذا باستخدام أحد قوانين الأسس. هذه المرة، علينا أن نتذكر أن ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ الكل مرفوعًا للقوة ﺟ يساوي ﺃ مرفوعًا للقوة ﺏ في ﺟ. يمكننا تطبيق ذلك بجعل قيمة ﺃ تساوي ﺱ، وﺏ يساوي ستة، وﺟ يساوي خمسًا. هذا يتيح لنا إعادة كتابة مقام الدالة التي سيجرى عليها التكامل على الصورة ﺱ أس ستة في خمس. وبالطبع، يمكننا تبسيط الأس. ستة في خمس يساوي ستة على خمسة.

بذلك نكون قد أعدنا كتابة التكامل على صورة تكامل ثمانية مقسومًا على ﺱ أس ستة على خمسة بالنسبة إلى ﺱ. وهذا يكاد أن يكون على صورة يمكننا إيجاد تكاملها باستخدام قاعدة القوة للتكامل. كل ما علينا فعله هو استخدام قوانين الأسس لرفع الحد ﺱ إلى البسط. ويمكننا فعل هذا باستخدام قانون آخر من قوانين الأسس.

نتذكر أن القسمة على ﺱ أس ﺏ تساوي الضرب في ﺱ أس سالب ﺏ. إذن، باستخدام ﺃ يساوي ثمانية وﺏ يساوي ستة على خمسة، يمكننا إعادة كتابة التكامل على صورة تكامل ثمانية في ﺱ أس سالب ستة على خمسة بالنسبة إلى ﺱ. والآن أعدنا كتابة التكامل على صورة يمكننا إيجاد قيمتها باستخدام قاعدة القوة للتكامل.

نتذكر أن هذه القاعدة تنص على أنه لأي ثابتين حقيقيين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃ في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﺱ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. في هذه الحالة، أس ﺱ هو سالب ستة على خمسة. أولًا، علينا إضافة واحد إلى الأس سالب ستة على خمسة. هذا يعطينا سالب ستة على خمسة زائد واحد. ويمكننا إيجاد قيمة هذا. إنه يساوي سالب واحد على خمسة. حسنًا، الأس الجديد هو سالب خمس، ومن هذا نستنتج أن علينا القسمة على سالب خمس.

وأخيرًا، علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ. ويمكننا تبسيط هذا. بدلًا من القسمة على سالب خمس، يمكننا الضرب في مقلوب سالب خمس. هذا يعطينا سالب خمسة مضروبًا في ثمانية في ﺱ أس سالب خمس زائد ﺙ. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. سالب خمسة مضروبًا في ثمانية يساوي سالب ٤٠. وهذا يعطينا سالب ٤٠ﺱ أس سالب خمس زائد ﺙ.

ومن الجدير بالذكر هنا أنه يمكننا استخدام قوانين الأسس لإعادة ﺱ إلى المقام وكتابة هذا على صورة الجذر الخامس لـ ﺱ. فهذا لن يغير قيمة الإجابة. ولكن، يمكننا فعل ذلك. هذا يرجع تمامًا إلى تفضيلنا الشخصي. سنترك الإجابة كما هي.

إذن، نكون قد أوجدنا أن تكامل ثمانية مقسومًا على الجذر الخامس لـ ﺱ أس ستة بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ٤٠ في ﺱ أس سالب واحد على خمسة زائد ﺙ.