في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد التكامل غير المحدَّد للدوال الكثيرات الحدود، ودوال القوى العامة، باستخدام قاعدة القوة للتكامل.
تذكَّر أن المشتقة العكسية، التي تُعرَف أيضًا باسم معكوس المشتقة، للدالة هي دالة أخرى مشتقتها تساوي الدالة الأصلية .
تعريف: المشتقة العكسية لدالة
لأي دالة مُعرَّفة على مجموعة جزئية ودالة قابلة للاشتقاق ، إذا كان لدينا: فإننا نقول إن مشتقة عكسية لـ .
المشتقة العكسية لدالة تُكافِئ التكامل غير المحدَّد، وهو ما نُعرِّفه على النحو الآتي.
تعريف: التكامل غير المحدَّد
التكامل غير المحدَّد للدالة بالنسبة إلى يمكن كتابته بدلالة مشتقة عكسية على الصورة: حيث يُسمَّى «ثابت التكامل».
المشتقات العكسية للدالة تكون موجودة دائمًا عندما تكون الدالة متصلة، ويوجد عدد لا نهائي من المشتقات العكسية للدالة ، التي نحصل عليها بإضافة الثابت الاختياري إلى . هذا الثابت، الذي يُعرَف أيضًا بثابت التكامل، مهم جدًّا؛ حيث تَنتج عنه مجموعة من المشتقات العكسية التي تُكتَب بدلالة البارامتر . بعبارةٍ أخرى، هي أعم دالة لها المشتقة لجميع قيم . على سبيل المثال، مشتقة هي:
ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن مشتقة عكسية لـ ١، ولكن هي المشتقة العكسية العامة لـ ١، ما يعني أن ، ، ، ، وهكذا جميعها مشتقات عكسية لـ ١. وهذا ما نُسمِّيه التكامل غير المحدَّد، ويُعبَّر عنه على الصورة:
وبالمثل، مشتقة هي: ما يعني أن التكامل غير المحدَّد لـ هو:
تذكَّر أن المشتقة تحقِّق الخاصية:
يعني هذا أنه يمكننا دائمًا نقل المضاعَف الثابت خارج المشتقة. ومن ثَمَّ، مشتقة عكسية لـ ، أو هي المشتقة العكسية العامة لـ لجميع قيم ، وهو ما يساوي التكامل غير المحدَّد. بعبارةٍ أخرى، إذا ضُرِبَت المشتقة في ثابت، فإن المشتقة العكسية تُضرَب أيضًا في الثابت نفسه، والعكس صحيح. وهذا يُشير إلى الخاصية الآتية للتكاملات غير المحدَّدة:
باستخدام التكامل غير المحدَّد لـ ، كما هو موضَّح في السابق، يمكننا إخراج العامل ٢ باستخدام هذه الخاصية وقسمة طرفَي التعبير على ٢ للحصول على: حيث نلاحظ أننا احتفظنا بالثابت كما هو لأنه اختياري، و مجرد ثابت آخر. في هذا الشارح، سنركِّز تحديدًا على إيجاد التكاملات غير المحدَّدة التي تكون على الصورة: باستخدام قاعدة القوة للتكامل. ويمكننا تحديد هذه القاعدة مباشرةً من قاعدة القوة للاشتقاق. افترض أن ؛ حيث . يمكن إيجاد مشتقة هذه الدالة باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق كالآتي:
سيكون من المفيد إعادة كتابة هذا على الصورة: حيث قسمنا على الثابت ؛ إذ إن المضاعف الثابت للدالة لا يؤثِّر على المشتقة أو المشتقة العكسية. لكن ماذا إذا أردنا العمل بطريقة عكسية؟ (على سبيل المثال، لدينا ونريد إيجاد المشتقة العكسية). يعني هذا أننا نريد إيجاد أعم دالة يمكن اشتقاقها لتُعطينا .
أوضحنا بالفعل أن مشتقة هي ؛ حيث . إذا جعلنا ، يصبح لدينا:
ومن ثَمَّ، مشتقة عكسية لـ ، بشرط أن يكون . ويمكننا التعبير عن ذلك بدلالة تكامل غير محدَّد في التعريف الآتي.
قاعدة: القوة للتكامل
تسمح لنا قاعدة القوة للتكامل بإيجاد التكامل غير المحدَّد لـ ، بشرط أن يكون ، على النحو الآتي:
على سبيل المثال، باستخدام قاعدة القوة هذه، يمكننا إيجاد التكامل غير المحدَّد لـ كالآتي: وهو ما يمكن التحقُّق منه مباشرةً من خلال اشتقاق الطرف الأيسر للحصول على الدالة التي يتم تكاملها .
في المثال الأول، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن قوة صحيحة موجبة لـ باستخدام قاعدة القوة، بالإضافة إلى الخاصية التي تسمح لنا بنقل المضاعف الثابت خارج التكامل.
مثال ١: قاعدة القوة للتكامل
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنوجِد التكامل غير المحدَّد لقوة صحيحة موجبة لـ ، وتحديدًا الدالة .
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصية الآتية للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
يمكننا استخدام الخاصية لإخراج العامل خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد لـ باستخدام قاعدة القوة:
نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن قوة صحيحة سالبة لـ باستخدام قاعدة القوة، بالإضافة إلى الخاصية التي تسمح لنا بنقل المضاعف الثابت خارج التكامل.
مثال ٢: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن أسًّا سالبًا باستخدام قاعدة القوة للتكامل
أوجد قيمة .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لقوة صحيحة سالبة لـ ، وتحديدًا الدالة .
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصية الآتية للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
يمكننا استخدام الخاصية لنقل العامل خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد لـ باستخدام قاعدة القوة:
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين.
يمكننا استخدام قاعدة القوة لإيجاد التكامل غير المحدَّد لأي قوة لـ ، وليس الأعداد الصحيحة فقط، بشرط أن تكون القوة لا تساوي . في المثال الآتي، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن قوة كسرية موجبة لـ من خلال إعادة كتابة الجذر بدلالة قوة لـ واستخدام قاعدة القوة، بالإضافة إلى الخاصية التي تسمح لنا بنقل المضاعف الثابت خارج التكامل.
مثال ٣: إيجاد المشتقة العكسية العامة لدالة تتضمَّن أسًّا كسريًّا باستخدام قاعدة القوة للتكامل
أوجد قيمة .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لقوة كسرية موجبة لـ ، وتحديدًا الدالة .
أولًا، نُعيد كتابة الدالة التي سيتم تكاملها، مع ملاحظة أن ؛ حيث:
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصية الآتية للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
يمكننا استخدام الخاصية لنقل العامل ٧ خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد لـ باستخدام قاعدة القوة. بعد ذلك، يمكننا إعادة كتابة الإجابة النهائية بدلالة الجذر التربيعي:
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين، ويكون الجذر التربيعي مُعرَّفًا للأعداد غير السالبة فقط.
نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن قوة كسرية سالبة لـ من خلال إعادة كتابة الجذر بدلالة قوة لـ ، واستخدام قاعدة القوة، بالإضافة إلى الخاصية التي تسمح لنا بنقل المضاعف الثابت خارج التكامل.
مثال ٤: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن جذورًا باستخدام قاعدة القوة
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لقوة كسرية سالبة لـ ، وتحديدًا الدالة .
أولًا، نُعيد كتابة الدالة التي سيتم تكاملها، مع ملاحظة أن ؛ حيث:
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصية الآتية للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
يمكننا استخدام الخاصية لنقل العامل ٦ خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد لـ باستخدام قاعدة القوة:
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين، ويكون الجذر الثامن مُعرَّفًا للأعداد غير السالبة فقط.
تذكَّر أن المشتقة عملية خطية؛ لأنها تحقِّق المعادلة:
وهذا يُشير أيضًا إلى قاعدة مشابهة للتكاملات غير المحدَّدة:
ومن ثَمَّ، لإيجاد قيمة التكامل غير المحدَّد لمجموع دوال، علينا إيجاد التكامل غير المحدَّد لكل جزء على حدة وجمع النتائج معًا، دون أن ننسى كتابة في النهاية. نحصل عادةً على عدة ثوابت لكل جزء خلال عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع هذه الثوابت في ثابت واحد. ويمكننا أيضًا دمج هذه الخاصية مع الخاصية التي تسمح لنا بنقل الثوابت خارج التكامل.
خاصية: الخاصية الخطية للتكامل
لأيِّ دالتين متصلتين ، مُعرَّفتين على مجموعة جزئية ، يكون لدينا الخاصية الخطية: حيث .
تسمح لنا قاعدة القوة للتكامل، إلى جانب الخاصية الخطية هذه، بإيجاد التكامل غير المحدَّد الذي يتضمَّن مجموع قوى مختلفة لـ ، ويشمل ذلك الدوال الكثيرات الحدود ودوال المقلوب والدوال الجذرية. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد التكامل غير المحدَّد للدالة الخطية على النحو الآتي:
في المثال الآتي، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لدالة كثيرة الحدود باستخدام الخاصية الخطية وقاعدة القوة للتكامل.
مثال ٥: إيجاد تكامل دالة كثيرة الحدود باستخدام قاعدة القوة
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد للدالة الكثيرة الحدود .
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصيتين الآتيتين للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
باستخدام الخاصية الأولى، يمكننا تقسيم التكامل المُعطى إلى ثلاثة أجزاء. ويمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية الثانية لنقل العوامل المناسبة خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد للحدود المختلفة باستخدام قاعدة القوة:
لاحظ أننا نحصل على ثابت تكامل لكل جزء من عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع الثوابت كلها في ثابت واحد، وهو .
هيا الآن نتناول مثالًا نُوجِد فيه التكامل غير المحدَّد لدالة كثيرة الحدود عن طريق توزيع زوجين من الأقواس باستخدام الخاصية الخطية وقاعدة القوة للتكامل.
مثال ٦: إيجاد تكامل دالة كثيرة الحدود تتضمَّن ضرب زوجين من الأقواس وتطبيق قاعدة القوة
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد للدالة الكثيرة الحدود .
هيا أولًا نُبسِّط الدالة التي سيتم تكاملها عن طريق توزيع زوجَي الأقواس:
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصيتين الآتيتين للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
باستخدام الخاصية الأولى، يمكننا تقسيم التكامل المُعطى إلى جزأين. ويمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية الثانية لنقل العوامل المناسبة خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد للحدود المختلفة باستخدام قاعدة القوة:
لاحظ أننا نحصل على ثابت تكامل لكل جزء من عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع الثوابت كلها في ثابت واحد، وهو .
في المثال الآتي، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لدالة كسرية باستخدام التحليل والخاصية الخطية وقاعدة القوة للتكامل.
مثال ٧: إيجاد تكامل دالة كسرية باستخدام تحليل الفرق بين مربعين
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد للدالة الكسرية .
هيا أولًا نُبسِّط الدالة التي سيتم تكاملها بملاحظة أن البسط هو الفرق بين مربعين، ويمكن كتابته على الصورة ؛ ومن ثَمَّ يصبح التكامل: حيث . لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصيتين الآتيتين للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
باستخدام الخاصية الأولى، يمكننا تقسيم التكامل المُعطى إلى جزأين. ويمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية الثانية لنقل العوامل المناسبة خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد للحدود المختلفة باستخدام قاعدة القوة:
لاحظ أننا نحصل على ثابت تكامل لكل جزء من عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع الثوابت كلها في ثابت واحد، وهو .
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين.
هيا الآن نتناول مثالًا نُوجِد فيه التكامل غير المحدَّد لدالة كسرية لها قوى سالبة لـ باستخدام الخاصية الخطية وقاعدة القوة للتكامل.
مثال ٨: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن أسًّا سالبًا باستخدام قاعدة القوة للتكامل
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد للدالة الكسرية .
هيا أولًا نُعيد كتابة الدالة التي سيتم تكاملها في صورة قوى لـ :
لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصيتين الآتيتين للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
باستخدام الخاصية الأولى، يمكننا تقسيم التكامل المُعطى إلى ثلاثة أجزاء. ويمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية الثانية لنقل العوامل المناسبة خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد للحدود المختلفة باستخدام قاعدة القوة:
لاحظ أننا نحصل على ثابت تكامل لكل جزء من عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع الثوابت كلها في ثابت واحد، وهو .
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين.
في المثال الآتي، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن جذورًا وأسسًا سالبة باستخدام الخاصية الخطية وقاعدة القوة للتكامل.
مثال ٩: إيجاد تكامل دالة تتضمَّن جذورًا وأسسًا سالبة باستخدام قاعدة القوة للتكامل
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد للدالة .
هيا أولًا نُعيد كتابة الدالة التي سيتم تكاملها في صورة قوى لـ باستخدام : حيث . لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصيتين الآتيتين للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
باستخدام الخاصية الأولى، يمكننا تقسيم التكامل المُعطى إلى ثلاثة أجزاء. ويمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية الثانية لنقل العوامل المناسبة خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد للحدود المختلفة باستخدام قاعدة القوة:
لاحظ أننا نحصل على ثابت تكامل لكل جزء من عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع الثوابت كلها في ثابت واحد، وهو .
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين، ويكون الجذر التربيعي مُعرَّفًا للأعداد غير السالبة فقط.
في المثال الأخير، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد لدالة تتضمَّن أسسًا كسرية باستخدام التحليل والخاصية الخطية وقاعدة القوة للتكامل.
مثال ١٠: إيجاد تكامل دالة باستخدام التحليل وتوزيع القسمة
أوجد .
الحل
في هذا المثال، سنُوجِد التكامل غير المحدَّد للدالة .
نلاحظ أنه يمكن كتابة البسط في الدالة التي سيتم تكاملها على صورة الفرق بين مربعين؛ أي . باستخدام هذا، يمكننا تبسيط الدالة التي سيتم تكاملها وإعادة كتابة الحدود المتبقية على صورة قوى لـ باستخدام : حيث . لإيجاد التكامل، سنستخدم الخاصيتين الآتيتين للتكاملات غير المحدَّدة:
سنستخدم أيضًا قاعدة القوة:
باستخدام الخاصية الأولى، يمكننا تقسيم التكامل المُعطى إلى جزأين. ويمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية الثانية لنقل العوامل المناسبة خارج التكامل، وإيجاد التكامل غير المحدَّد للحدود المختلفة باستخدام قاعدة القوة:
لاحظ أننا نحصل على ثابت تكامل لكل جزء من عملية التكامل، لكن يمكننا تجميع الثوابت كلها في ثابت واحد، وهو .
هذه النتيجة صحيحة لجميع قيم ؛ حيث نريد أن يكون التكامل والدالة التي يتم تكاملها متصلين ومُعرَّفين، ويكون الجذر الثامن مُعرَّفًا للأعداد غير السالبة فقط.
نختتم الآن بالنقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
لإيجاد التكاملات غير المحدَّدة للدوال التي تتضمَّن قوى مختلفة لـ ، ومنها الدوال الكثيرات الحدود ودوال المقلوب والدوال الجذرية، فإننا نستخدم الآتي:
- الخاصية الخطية للتكاملات: حيث .
- قاعدة القوة للتكامل:
