فيديو الدرس: التكامل غير المحدد: قاعدة القوة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

التكاملات غير المحددة: قاعدة القوى.

سنتعلم في هذا الفيديو كيفية إيجاد التكاملات غير المحددة للدوال كثيرات الحدود ودوال القوى العامة باستخدام قاعدة القوى للتكامل. فلنبدأ بالتذكير بالمشتقة العكسية للدالة. يمكننا القول: إن الدالة ﻕ هي المشتقة العكسية للدالة ﺩ، إذا كانت هذه الدالة ﻕ شرطة (ﺱ) تساوي الدالة ﺩ(ﺱ). وهذا ينطبق على أي دالة ﺭ(ﺱ)؛ حيث إن الدالة ﺭ(ﺱ) تساوي الدالة ﻕ(ﺱ) زائد ﺙ لأي ثابت ﺙ. وهذه القاعدة مفيدة للغاية؛ لأننا سنستخدمها لتعريف التكامل غير المحدد.

يمكننا القول: إن التكامل غير المحدد للدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي الدالة ﻕ(ﺱ) زائد ﺙ؛ حيث إن الدالة ﻕ هي المشتقة العكسية للدالة ﺩ. ومن المهم جدًا أن نتذكر ثابت التكامل لدينا عند محاولة إيجاد تكامل غير محدد. دعونا ننظر سريعًا في سبب استخدام هذا الثابت. إذا أجرينا العملية العكسية على هذه المعادلة، وهي اشتقاق بالنسبة إلى ﺱ، فإذ إننا نجري العملية العكسية في الطرف الأيمن، فستكون المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لقيمة تكامل الدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ هي الدالة ﺩ(ﺱ).

وفي الطرف الأيسر، عند اشتقاق الدالة ﻕ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على الدالة ﺩ شرطة(ﺱ)، وسيختفي الثابت ﺙ؛ لأن اشتقاق أي ثابت ينتج عنه صفر. وبالعودة إلى التكامل لدينا، نجد أن الثابت سيظهر مرة أخرى. ولكننا لا نعلم قيمة هذا الثابت، ولذلك أشرنا إليه بالحرف ﺙ. وذلك لأنه مجرد ثابت غير معروف. فلننظر الآن فيما سيحدث عند حساب التكامل لدالة ما بالنسبة إلى ﺱ: على سبيل المثال، ثلاثة ﺱ.

نعرف المعادلة المستخدمة لإيجاد تكامل غير محدد. وهي أن تكامل الدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي الدالة ﻕ(ﺱ) زائد ﺙ؛ حيث إن الدالة ﻕ مشتقة عكسية للدالة ﺩ. وفي الحالة التي لدينا، الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ثلاثة ﺱ. إذن ما علينا فعله هو إيجاد المشتقة العكسية لثلاثة ﺱ. دعونا نجرب ذلك ونتعلم بالتجربة والخطأ. فلنحاول معرفة ما علينا اشتقاقه للحصول على ثلاثة ﺱ. نبدأ باشتقاق ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. ويعطينا هذا اثنين ﺱ، وهو قريب جدًا من ثلاثة ﺱ. لكننا لم نصل إلى المطلوب بعد.

دعونا نجرب أن نضرب المشتقة لدينا في نصف. اشتقاق ﺱ تربيع على اثنين بالنسبة إلى ﺱ يعطينا ﺱ، وهو ثلث ما نحاول إيجاده. دعونا نجرب الآن أن نضرب المشتقة لدينا في ثلاثة. باشتقاق ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين بالنسبة إلى ﺱ نحصل على ثلاثة ﺱ. وبذلك نكون قد حصلنا على المشتقة العكسية. وهي ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين. وهذه هي الدالة ﻕ(ﺱ). وعليه، يمكننا القول: إن التكامل يساوي ثلاثة ﺱ تربيع على اثنين زائد ﺙ. وهذه طريقة طويلة جدًا لإيجاد المشتقات العكسية لدوال القوى.

فلننظر في قاعدة القوى للمشتقات. نعلم أن مشتقة ﺱ أس ﻥ زائد واحد بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻥ زائد واحد مضروبًا في ﺱ أس ﻥ؛ حيث إنه تبعًا لقاعدة القوى للمشتقات، نضرب في الأس، ثم نقلل الأس بمقدار واحد. يخبرنا هذا الجزء أن ﺱ أس ﻥ زائد واحد هو المشتقة العكسية لـ ﻥ زائد واحد مضروبًا في ﺱ أس ﻥ. ويمكننا إذن أن نطلق على ﺱ أس ﻥ زائد واحد الدالة ﻕ(ﺱ)، وعلى ﻥ زائد واحد مضروبًا في ﺱ أس ﻥ الدالة ﺩ(ﺱ). ويمكننا أن نعوض بهاتين الدالتين في معادلة التكامل غير المحدد للدالة. وهذا يعطينا أن تكامل ﻥ زائد واحد مضروبًا في ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ.

والآن لدينا ثابت داخل التكامل. ويمكننا أخذه عاملًا مشتركًا. فلننظر سريعًا في السبب. نحن نعلم إننا إذا اشتققنا ثابتًا ما مضروبًا في الدالة ﺭ(ﺱ)، فهذا يساوي نفس الثابت مضروبًا في مشتقة الدالة ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. إذن، نفهم من ذلك أن تكامل ﺃ مضروبًا في الدالة ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ مضروبًا في تكامل الدالة ﺭ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ. ومن ثم يمكننا أخذ الثابت ﻥ زائد واحد عاملًا مشتركًا. ثم نقسم على هذا الثابت. وهذا يعطينا أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ على ﻥ زائد واحد.

وبما أن ﺙ وﻥ زائد واحد ثابتان، فهذا يعني أن ﺙ على ﻥ زائد واحد سيكون ثابتًا أيضًا. ويمكننا تسمية هذا الثابت ﺙ واحد. إذن، نتوصل من ذلك إلى قاعدة القوى للتكامل. وهي تخبرنا أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ. وقد أعدت تسمية ثابت التكامل ﺙ مرة أخرى ليتناسب مع تعريفنا للتكامل غير المحدد. ولكن لا يهم ما تختار لتسمية هذا الثابت. والطريقة السهلة لتذكر هذه القاعدة هي أنه عند حساب تكامل دالة قوى، فإننا نزيد الأس بمقدار واحد ثم نقسم على الأس الجديد. وعلينا بالطبع ألا ننسى إضافة ثابت التكامل لدينا.

تصلح قاعدة القوى للتكامل هذه لأي قيمة حقيقية لـ ﻥ باستثناء قيمة واحدة محددة. وهي ﻥ يساوي سالب واحد. إذا حاولنا استخدام ﻥ يساوي سالب واحد، فسنجد أن التكامل غير المحدد(ﺱ) أس سالب واحد بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس سالب واحد زائد واحد على سالب واحد زائد واحد، زائد ﺙ. وبما أن سالب واحد زائد واحد يساوي صفرًا، فهذا يعني أن مقام الكسر لدينا سيكون صفرًا. إذن، سيكون هذا الكسر غير معرف، وكذلك التكامل. وبذلك يمكننا القول: إن قاعدة القوى للتكامل تصلح لجميع القيم الحقيقية لـ ﻥ باستثناء سالب واحد. وفي الحقيقة، يمكن حساب تكامل ﺱ أس سالب واحد بالنسبة إلى ﺱ. ولكننا لن نتحدث عن ذلك في هذا الفيديو. سننتقل الآن إلى مثال يوضح كيف يمكننا استخدام قاعدة القوى.

أوجد التكامل غير المحدد لسالب ﺱ أس تسعة بالنسبة إلى ﺱ.

لإيجاد قيمة هذا التكامل، علينا استخدام قاعدة القوى للتكامل. نعرف أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ. ونحن نحاول إيجاد قيمة تكامل سالب ﺱ أس تسعة بالنسبة إلى ﺱ. لنبدأ بأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا. نعرف أن التكامل يساوي سالب تكامل ﺱ أس تسعة بالنسبة إلى ﺱ. وبالنظر إلى التكامل ومقارنته بالتكامل الموجود في الصيغة، نلاحظ أن ﻥ في الحالة التي لدينا يساوي تسعة. وبذلك، يمكننا ببساطة التعويض عن ﻥ بتسعة في الصيغة. ومن ثم نحصل على سالب ﺱ أس تسعة زائد واحد، الكل على تسعة زائد واحد، زائد ﺙ. ويعطينا هذا سالب ﺱ أس ١٠ على ١٠، ناقص ﺙ.

ويمثل سالب ﺙ ثابتًا آخر. ويمكننا تسميته ﺙ واحد. وبذلك نكون قد توصلنا للحل. وهو أن قيمة التكامل غير المحدد لسالب ﺱ أس تسعة بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب ﺱ أس ١٠ على ١٠، زائد ﺙ واحد.

فلنتعرف الآن على كيفية حساب التكامل لدالة كثيرة الحدود. نحن نعلم أن مشتقة مجموع الدوال، مثل الدالة ﺩ(ﺱ) زائد الدالة ﺭ(ﺱ)، بالنسبة إلى ﺱ، تساوي مجموع مشتقات الدوال. إذن، ﺩ على ﺩﺱ للدالة ﺩ(ﺱ) زائد ﺩ على ﺩﺱ للدالة ﺭ(ﺱ). ومن هذا نستنتج أن تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع تكاملات الدوال.

باستخدام هذه القاعدة، يمكننا تقسيم تكاملات الدوال كثيرات الحدود إلى تكاملات دوال قوى. على سبيل المثال، تكامل ﺱ تربيع زائد ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي تكامل ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ونحن بالفعل نعرف كيفية حساب تكامل دوال القوى هذه الموجودة في الطرف الأيسر. ومن خلال ذلك، يمكننا حساب تكامل أي دالة كثيرة الحدود. فلننظر الآن في أحد الأمثلة.

أوجد قيمة التكامل غير المحدد لـ ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦ بالنسبة إلى ﺱ.

فلنبدأ بتقسيم هذا التكامل باستخدام حقيقة أن تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع تكاملات الدوال. وبذلك يصبح التكامل لدينا يساوي تكامل ٢٥ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل سالب ٦٥ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل ٣٦ بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا أخذ الثابت في كل تكامل عاملًا مشتركًا. ثم نستخدم قاعدة القوى للتكامل، التي تخبرنا أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ.

في حالة التكامل الأول لدينا، ﻥ يساوي اثنين. إذن، هذا يساوي ٢٥ مضروبًا في ﺱ تكعيب على ثلاثة، زائد ثابت ما، نسميه ﺙ واحد. أما بالنسبة إلى التكامل الثاني، فنحسب قيمة تكامل ﺱ. إن ﺱ يساوي ﺱ أس واحد. وعليه، فإن ﻥ يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن هذا يساوي سالب ٦٥ مضروبًا في ﺱ تربيع على اثنين زائد ثابت ما، نسميه ﺙ اثنين. وللتكامل الثالث، نحسب قيمة تكامل الواحد. واحد يساوي أيضًا ﺱ أس صفر. وبذلك، فإن قيمة ﻥ هي صفر. ومن ثم فإن هذا يساوي ٣٦ مضروبًا في ﺱ أس واحد على واحد، زائد ثابت ما، نسميه ﺙ ثلاثة.

بفك الأقواس والتبسيط، يصبح التكامل لدينا يساوي ٢٥ﺱ تكعيب على ثلاثة ناقص ٦٥ﺱ تربيع على اثنين زائد ٣٦ﺱ زائد ٢٥ﺙ واحد، ناقص ٦٥ﺙ اثنين، زائد ٣٦ﺙ ثلاثة. وبما أن ﺙ واحد وﺙ اثنين وﺙ ثلاثة كل منها ثابت، فإن ٢٥ﺙ واحد ناقص ٦٥ﺙ اثنين زائد ٣٦ﺙ ثلاثة هو ثابت أيضًا. ويمكننا أيضًا إعادة تسمية هذا الجزء ﺙ. وبذلك نكون قد توصلنا إلى الحل. وهو أن التكامل غير المحدد لـ ٢٥ﺱ تربيع ناقص ٦٥ﺱ زائد ٣٦ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ٢٥ﺱ تكعيب على ثلاثة ناقص ٦٥ﺱ تربيع على اثنين زائد ٣٦ﺱ زائد ﺙ.

في المثال التالي، سنتعلم كيفية حساب تكامل دالة كثيرة الحدود بشكل بسيط دون تقسيمها إلى تكاملات منفصلة.

أوجد قيمة التكامل غير المحدد (ﺱ) ناقص ستة مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص ثلاثة.

فلنبدأ بفك الأقواس. بفك أول قوسين، نحصل على ﺱ تربيع ناقص ١١ﺱ زائد ٣٠. ثم نضرب هذا في ﺱ ناقص ثلاثة. فنحصل على التكامل غير المحدد (ﺱ) تكعيب ناقص ١٤ﺱ تربيع زائد ٦٣ﺱ ناقص ٩٠، وهذا يمثل دالة كثيرة الحدود. ويمكننا استخدام قاعدة القوى للتكامل لحساب تكاملها حدًا بحد. تفيد قاعدة القوى أن تكامل ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ. إذا كنا نحسب بدلًا من ذلك تكامل ﺱ أس ﻥ مضروبًا في ثابت ما، ﺃ، إذن لأنه يمكننا أخذ الثابت ﺃ عاملًا مشتركًا للتكامل، سيساوي ذلك ببساطة ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد زائد ﺙ.

ربما تتساءل الآن لماذا لم نضرب ﺙ في ﺃ. لأن ﺃ ثابت أيضًا. وعليه، فإن حاصل ضرب ﺃ في ﺙ يساوي ثابتًا. ويمكننا إعادة تسمية هذا الثابت الجديد ﺙ واحد. والآن، دعونا نطبق تلك القاعدة على التكامل لدينا حدًا بحد. الحد الأول يساوي ﺱ تكعيب. إذن، ﻥ يساوي ثلاثة. ونزيد الأس بمقدار واحد ونقسم على الأس الجديد، لنحصل على ﺱ أس أربعة على أربعة. الحد التالي هو سالب ١٤ﺱ تربيع. سالب ١٤ ما هو إلا ثابت. لذلك سيبقى كما هو. الأس لدينا اثنان. إذن، قيمة ﻥ هي اثنان. ونزيد الأس بمقدار واحد، لنحصل على ﺱ تكعيب، ثم نقسم على الأس الجديد.

الحد التالي لدينا ٦٣ﺱ. فنبدأ بكتابة الثابت، وهو ٦٣. نلاحظ هنا أن ﺱ يساوي ﺱ أس واحد. إذن ﻥ يساوي واحدًا. وبحساب التكامل نحصل على ﺱ تربيع على اثنين. والحد الأخير لدينا سالب ٩٠. ونعلم أننا يمكننا أيضًا كتابته بهذا الشكل: سالب ٩٠ مضروبًا في ﺱ أس صفر، حيث إن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا فقط. ثم نحسب التكامل له. نبدأ بكتابة الثابت، وهو سالب ٩٠. وبما أن أس ﺱ هو صفر، فبزيادة الأس بمقدار واحد نحصل على ﺱ أس واحد، ثم نقسم على الأس الجديد. إذن نقسم على واحد. ولا ننسى إضافة ثابت التكامل ﺙ.

يمكننا كتابة هذا بشكل أكثر تنظيمًا في الحل لدينا: ﺱ أس أربعة على أربعة ناقص ١٤ﺱ تكعيب على ثلاثة زائد ٦٣ﺱ تربيع على اثنين ناقص ٩٠ﺱ زائد ﺙ.

ونريد التنبيه هنا إلى أن قاعدة قوى التكامل هذه تصلح لأي قيمة حقيقية لـ ﻥ، ما عدا سالب واحد. وهذا يشمل أسس ﺱ السالبة وتلك المكونة من أعداد غير صحيحة.

لنر كيف ينطبق ذلك على الأمثلة التالية.

أوجد قيمة التكامل غير المحدد لسالب سبعين مضروبًا في ﺱ أس سالب تسعة بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا التكامل، لدينا ببساطة دالة قوى. لذا يمكننا استخدام قاعدة القوى للتكامل لإيجاد قيمة هذا التكامل. وتخبرنا القاعدة أن التكامل غير المحدد (ﺱ) أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ. في هذه الحالة، نريد إيجاد قيمة تكامل سالب سبعين ﺱ أس سالب تسعة بالنسبة إلى ﺱ. إذن أس ﺱ هو سالب تسعة. يمكننا البدء بكتابة الثابت لدينا، وهو سالب سبعين.

وبما أن قيمة ﻥ هنا سالب تسعة، علينا كتابة ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد. إذن ﺱ أس سالب تسعة زائد واحد، ما يساوي ﺱ أس سالب ثمانية على سالب تسعة زائد واحد. أي سالب ثمانية. ثم علينا ألا ننسى إضافة ثابت التكامل ﺙ. وفي الخطوة الأخيرة هنا، علينا فقط أن نبسط. ويصبح الحل أن التكامل غير المحدد لسالب سبعين مضروبًا في ﺱ أس سالب تسعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس سالب ثمانية على ٢٨، زائد ﺙ.

وفي المثال الأخير، سنرى كيف نحسب تكامل دالة أسس ﺱ فيها مكونة من أعداد غير صحيحة.

أوجد التكامل غير المحدد لسالب أربعة مضروبًا في الجذر الخامس (ﺱ) أس تسعة زائد ثمانية، الكل مضروب في الجذر الخامس (ﺱ) تربيع بالنسبة إلى ﺱ.

فلنبدأ بكتابة هذه الجذور على هيئة قوى. إننا نعلم أن الجذر ﻥ (ﺱ) يساوي ﺱ أس واحد على ﻥ. وبمجرد كتابة الجذور على هيئة قوى، يمكننا بعد ذلك تجميعها مع القوى الموجودة باستخدام حقيقة أن ﺱ أس ﻥ أس ﻡ يساوي ﺱ أس ﻥ مضروبًا في ﻡ. وعليه، فإن ﺱ أس تسعة أس خمس يصبح ﺱ أس تسعة أخماس. وﺱ تربيع أس خمس يصبح ﺱ أس خمسين. الآن يمكننا فك الأقواس، باستخدام حقيقة أن ﺱ أس ﻥ في ﺱ أس ﻡ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد ﻡ. لذلك يصبح ما لدينا هو تكامل سالب أربعة ﺱ أس ١١ خمسًا زائد ثمانية مضروبًا في ﺱ أس خمسين بالنسبة إلى ﺱ.

يمكننا هنا استخدام قاعدة القوى للتكامل، التي تنص على أن التكامل غير المحدد (ﺱ) أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ. ويمكننا تطبيق هذه القاعدة في حساب التكامل حدًا بحد. بالنسبة للحد الأول، لدينا سالب أربعة ﺱ أس ١١ خمسًا. وعليه، فإن ﻥ يساوي ١١ خمسًا. وبإجراء التكامل لهذا الحد، نحصل على سالب أربعة مضروبًا في ﺱ أس ﻥ زائد واحد. وﻥ زائد واحد هو ببساطة ١٦ خمسًا. إذن، يصبح ﺱ أس ١٦ خمسًا. ثم علينا القسمة على ﻥ زائد واحد. أي إننا نقسم على ١٦ خمسًا.

أما بالنسبة إلى الحد الثاني، فلدينا ثمانية مضروبًا في ﺱ أس خمسين. وبذلك، فإن ﻥ يساوي خمسين. ومن ثم نضيف ثمانية مضروبًا في ﺱ أس ﻥ زائد واحد، ما يساوي ﺱ أس سبعة أخماس. ثم نقسم على سبعة أخماس. ويجب ألا ننسى إضافة ثابت التكامل ﺙ. والآن، كل ما علينا فعله هو التبسيط. وبذلك نتوصل إلى الحل، وهو أن التكامل غير المحدد لسالب أربعة مضروبًا في الجذر الخامس (ﺱ) أس تسعة زائد ثمانية الكل مضروب في الجذر الخامس (ﺱ) تربيع بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب خمسة مضروبًا في ﺱ أس ١٦ خمسًا على أربعة، زائد ٤٠ مضروبًا في ﺱ أس سبعة أخماس على سبعة، زائد ﺙ.

ها قد تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة الخاصة بالتكاملات غير المحددة لدوال القوى. دعونا نلخص إذن بعض النقاط الرئيسية التي ذكرناها. النقاط الرئيسية. التكامل غير المحدد للدالة ﺩ(ﺱ) بالنسبة إلى ﺱ يساوي الدالة ﻕ(ﺱ) زائد ﺙ؛ حيث إن الدالة ﻕ(ﺱ) هي المشتقة العكسية للدالة ﺩ(ﺱ)، وﺙ ثابت. قاعدة القوى للتكامل. التكامل غير المحدد (ﺱ) أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد، زائد ﺙ، لأي قيمة حقيقية لـ ﻥ، ما عدا سالب واحد.