نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة جا اثنين ﺱ على ثلاثة مضروبًا في ظا أربعة ﺱ على ثلاثة زائد جتا اثنين ﺱ على ثلاثة دون استخدام الآلة الحاسبة، إذا كان ظا ﺱ يساوي واحدًا؛ حيث ﺱ زاوية حادة.
بما أن ﺱ زاوية حادة، فإننا نعرف أنها تقع بين صفر درجة و٩٠ درجة. والآن، سنستعين بمعرفتنا بالدوال المثلثية العكسية والزوايا الخاصة التي تقع بين صفر درجة و٩٠ درجة لحل هذه المسألة. نحن نعلم من المعطيات أن ظا ﺱ يساوي واحدًا. بأخذ الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة، نجد أن الدالة العكسية لـ ظا لـ ظا ﺱ تساوي الدالة العكسية لـ ظا لواحد. ونسترجع أنه إذا كانت الزاوية 𝜃 حادة، فإن الدالة العكسية لـ ظا لـ ظا 𝜃 تساوي 𝜃. وهذا يعني أن الطرف الأيمن من المعادلة يبسط إلى ﺱ. وهو يساوي الدالة العكسية لـ ظا لواحد.
تشير إحدى الزوايا الخاصة إلى أن ظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا. وبأخذ الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة، نلاحظ أن ٤٥ درجة يساوي الدالة العكسية لـ ظا لواحد. هذا يعني أن ﺱ يساوي ٤٥ درجة.
في هذه المرحلة، يجدر بنا استرجاع جميع الزوايا الخاصة وهي: جا، وجتا، وظا لكل من الزوايا ٣٠ و٤٥ و٦٠ درجة. جيب هذه الزوايا الثلاث يساوي نصفًا، وجذر اثنين على اثنين، وجذر ثلاثة على اثنين، على الترتيب. وجيب تمامها يساوي جذر ثلاثة على اثنين، وجذر اثنين على اثنين، ونصفًا. وبما أن ظل أي زاوية يساوي جيبها مقسومًا على جيب تمامها، يمكننا حساب ظل الزاوية التي قياسها ٣٠ درجة بقسمة جيبها على جيب تمامها. نصف مقسومًا على جذر ثلاثة على اثنين يساوي واحدًا على جذر ثلاثة. وبتكرار هذه العملية مع الزاويتين ٤٥ درجة و٦٠ درجة، نحصل على القيمتين واحد وجذر ثلاثة.
والآن، يمكننا استخدام هذه المعلومات لإيجاد قيمة جا اثنين ﺱ على ثلاثة مضروبًا في ظا أربعة ﺱ على ثلاثة زائد جتا اثنين ﺱ على ثلاثة. وبما أن ﺱ يساوي ٤٥ درجة، فإن اثنين ﺱ على ثلاثة يساوي ٣٠ درجة؛ لأن اثنين مضروبًا في ٤٥ يساوي ٩٠، وبقسمة ذلك على ثلاثة، نحصل على ٣٠. أربعة ﺱ على ثلاثة أو أربعة أثلاث ﺱ يساوي ضعف الناتج السابق. أي إنه يساوي ٦٠ درجة. ومن ثم، فإن المقدار الذي علينا إيجاد قيمته يساوي جا ٣٠ درجة مضروبًا في ظا ٦٠ درجة زائد جتا ٣٠ درجة.
توجد جميع هذه القيم الثلاث في الجدول لدينا. وهي تساوي نصفًا، وجذر ثلاثة، وجذر ثلاثة على اثنين، على الترتيب. نصف في جذر ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وهنا، نضيف جذر ثلاثة على اثنين إلى ذلك. وبما أن المقامين متساويان، يمكننا جمع البسطين، وهو ما يعطينا اثنين جذر ثلاثة على اثنين. وبقسمة البسط والمقام على اثنين، يمكن تبسيط ذلك إلى جذر ثلاثة. وهكذا، إذا كان ظا ﺱ يساوي واحدًا حيث ﺱ زاوية حادة، فإن جا اثنين ﺱ على ثلاثة مضروبًا في ظا أربعة ﺱ على ثلاثة زائد جتا اثنين ﺱ على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة.
