فيديو الدرس: حل المعادلات باستخدام الدوال المثلثية العكسية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات باستخدام الدوال المثلثية العكسية في الربع الأول.

قبل أن نتحدث عن الدوال المثلثية العكسية، دعونا نذكر أنفسنا بما نعرفه عن الدوال المثلثية. للقيام بذلك، دعونا ننظر إلى هذا الشكل. لدينا مثلث قائم الزاوية، طول ضلعه الرأسي ﺹ، وطول ضلعه الأفقي ﺱ. لاحظ أن المسافة من نقطة الأصل إلى ﺱ، ﺹ تساوي واحدًا. هذا يعني أن المثلث مرسوم داخل دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا. الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي واحدًا تعرف باسم «دائرة الوحدة». إذن، ما نراه هنا هو مثلث قائم الزاوية مرسوم داخل دائرة الوحدة. وسنتحدث عن الجيب وجيب التمام والظل بالنسبة إلى هذا المثلث القائم الزاوية داخل دائرة الوحدة. تمثل قيمة ﺱ طول الضلع المجاور. وتمثل قيمة ﺹ طول الضلع المقابل. ثم لدينا وتر طوله واحد، وهو المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة ﺱ، ﺹ.

وفقًا لهذا المثلث الذي فيه زاوية أسميناها: 𝜃، فإن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. من هذه المعلومات، نستنتج قاعدة مهمة جدًا. في الدوال المثلثية، القيمة المدخلة أو المجال سيكون قياس زاوية ما والقيمة المخرجة ستكون نسبة بين طولي ضلعين. القيمة المدخلة زاوية أسميناها: 𝜃 والقيمة المخرجة نسبة ما. باستخدام هذه المعلومات وما نعرفه عن الدوال العكسية، يمكننا القول إن القيمة المخرجة للدالة المثلثية، أي المدى، يجب أن تصبح مجال دالتها العكسية، والقيمة المدخلة للدالة المثلثية، أي مجالها، ستصبح مدى الدالة المثلثية العكسية.

في الدالة العكسية للجيب، تكون القيمة المدخلة نسبة، وهي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وتكون القيمة المخرجة قياس زاوية. في الدالة العكسية لجيب التمام، تكون القيمة المدخلة نسبة طول الضلع المجاور على طول الوتر، ونحصل على قياس زاوية. وينطبق الأمر نفسه على الدالة العكسية للظل. ما نقوله هو أنه بالنسبة إلى الدالة المثلثية العكسية، القيم التي ندخلها في الدالة ستكون النسبة بين طولي ضلعين، والقيمة المخرجة هي قياس زاوية ما. يمكن أن تكون القيمة المخرجة بالدرجات أو بالراديان. لكن قبل المتابعة، علينا توضيح بعض الأمور.

بما أن الدوال المثلثية الثلاث ليست دوال أحادية؛ فهي لا تحقق اختبار الخط الأفقي، وعند التعامل معها، علينا أن نقيد مجالها. وهذا يعني أنه لكي نتعامل مع الدوال المثلثية العكسية، علينا التعامل كذلك وفقًا لمجالات مقيدة. في هذه الحالة، سيكون مجال الدالة من صفر إلى ٩٠ درجة فقط أو من صفر راديان إلى 𝜋 على اثنين راديان. سنقتصر هنا على حل الدوال العكسية في الربع الأول. إذا كنا نستخدم الآلة الحاسبة في حل الدوال العكسية، فسنحصل تلقائيًا على إجابات في الربع الأول. هيا نستعرض كيفية استخدام هذه الدوال المثلثية العكسية في حل المعادلات.

إذا كانت ﺃ زاوية حادة، وكان جا ﺃ يساوي ٠٫٨١٩٣، فأوجد قياس الزاوية ﺃ، لأقرب جزء من عشرة من الدرجة.

نحن نعلم أن جيب الزاوية المجهولة ﺃ يساوي ٠٫٨١٩٣. إذا فكرنا في هذه الدالة المثلثية، فسنجد أن قيمة 𝜃 هي قياس زاوية، وتساوي نسبة ما بين طولي ضلعين. إذا عرفنا النسبة بين طولي ضلعين وأردنا إيجاد قياس الزاوية، فسنحتاج إلى دالة يمكنها أن تعكس دالة الجيب؛ وهي الدالة العكسية للجيب لـ جا 𝜃. سنحتاج إلى أخذ الدالة العكسية للجيب لـ جا ﺃ. إذن، سنفعل ذلك في كلا طرفي المعادلة. الدالة العكسية للجيب لـ جا ﺃ تساوي ﺃ، ويمكن إيجاد الدالة العكسية لـ جا ٠٫٨١٩٣ باستخدام الآلة الحاسبة. تأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات؛ لأننا نريد قياس هذه الزاوية بالدرجات.

عندما نفعل ذلك، نحصل على ٥٥٫٠١٤٧ درجة مع توالي الأرقام. سنقرب هذا لأقرب جزء من عشرة، وبذلك نجد أن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٥٥٫٠ درجة. نحن نعلم من المعطيات أن ﺃ زاوية حادة، ومن ثم فإن ما يعنينا فقط هو القيمة الصغرى التي يمكن أن تكون قياسًا للزاوية ﺃ، وهي ٥٥ درجة.

قبل المتابعة، علينا أن نعرف الرموز المختلفة للدوال المثلثية العكسية. لقد رأينا بالفعل جا يعلوه سالب واحد. ويقرأ: «الدالة العكسية للجيب». نحصل من الدالة العكسية للجيب على الزاوية التي يكون جيبها عددًا معلومًا. وبالمثل، لدينا أيضًا الدالة العكسية لجيب التمام، والدالة العكسية للظل. لنلق نظرة على مثال آخر حيث سيكون علينا استخدام دالة مثلثية عكسية لحل معادلة.

أوجد قيمة ﺱ إذا كان ظا ﺱ على أربعة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة؛ حيث ﺱ على أربعة زاوية حادة.

نحن نعلم أننا سنتعامل مع الزوايا في الربع الأول فقط. ونعلم أيضًا أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. وهذا يعني أنه بالنسبة إلى الزاوية 𝜃، فإن ظل الزاوية 𝜃 يساوي هذه النسبة. وفي هذه الحالة، هذه الزاوية هي ﺱ على أربعة، والنسبة هي الجذر التربيعي لثلاثة. عندما نرى أن ظل زاوية ما يساوي الجذر التربيعي لثلاثة، سنعرف أن هذه زاوية خاصة. إذ نعرف أن ظا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. وإذا علمنا أن ظا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة، فيمكننا أن نجعل ﺱ على أربعة يساوي ٦٠ درجة. إذن سنضرب طرفي المعادلة في أربعة، لنجد أن ﺱ لا بد أنه يساوي ٢٤٠ درجة.

قد يخطر على بالك شيء فجأة. وهو أن هذه زاوية حادة. لكن علينا الانتباه هنا لأن ﺱ على أربعة هو زاوية حادة؛ وذلك لا يعني أن ﺱ بمفرده يجب أن يكون أصغر من ٩٠ درجة. إذ إن ﺱ على أربعة يساوي ٦٠ درجة، وهو زاوية حادة، وﺱ يساوي ٢٤٠ درجة.

لكن ربما تتساءل الآن: ماذا لو لم تتذكر أن ظا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة؟ في هذه الحالة، يمكنك استخدام الدالة المثلثية العكسية. إذا أخذت الدالة العكسية للظل لـ ظا ﺱ على أربعة، فستحصل على ﺱ على أربعة. وإذا أخذت الدالة العكسية للظل للجذر التربيعي لثلاثة وأدخلت ذلك في الآلة الحاسبة، فستحصل على ٦٠ درجة. والآن، عليك التأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات وليس وضع الراديان عند إدخال الدالة العكسية للظل للجذر التربيعي لثلاثة. توضح كلتا الطريقتين أن ﺱ يجب أن يساوي ٢٤٠ درجة لكي يكون ﺱ على أربعة يساوي ٦٠ درجة.

والآن، نحن على استعداد لتناول مثال آخر.

أوجد قياس الزاوية ﺱ بالدرجات، إذا كان اثنان في جتا ﺱ يساوي ظا ٦٠ درجة؛ حيث ﺱ زاوية حادة.

بما أن ﺱ زاوية حادة، فلن نهتم إلا بالحلول في الربع الأول. لذا، يمكننا النظر إلى اثنين في جتا ﺱ يساوي ظا ٦٠ درجة. وأول ما يمكننا فعله هو إيجاد قيمة ظا ٦٠ درجة التي تساوي الجذر التربيعي لثلاثة. ولأن هذه زاوية نتذكرها عادة، فربما تعلم بالفعل أن ظا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. إن لم يكن الأمر كذلك، يمكنك كتابة ذلك على الآلة الحاسبة. لدينا الآن اثنان في جتا ﺱ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة. ما نريده هو إيجاد قيمة ﺱ. سنحاول أن نجعل ﺱ في طرف بمفرده. إذن، نقسم كلا الطرفين على اثنين لنجد أن جتا ﺱ لا بد أن يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين.

ويمكن أن يحدث أحد أمرين هنا. لعلك تتذكر أن جتا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. أو ربما تعرف أنه يمكننا إيجاد قيمة ﺱ بإيجاد الدالة العكسية لجيب التمام لطرفي هذه المعادلة. الدالة العكسية لجيب التمام لـ جتا ﺱ تساوي ﺱ، ويمكن إدخال الدالة العكسية لجيب التمام للجذر التربيعي لثلاثة على اثنين في الآلة الحاسبة، وهو ما يعطينا ٣٠ درجة. إذا كنت تعرف أن جتا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، فستعرف أن ﺱ لا بد أن يساوي ٣٠ درجة. لكن كلتا الطريقتين تثبت ذلك.

والآن، نحن مستعدون لنلقي نظرة على مثال أخير.

أوجد قياس الزاوية ﻫ إذا كان ظا ﻫ يساوي ١٨٫٥٨٤٥، والزاوية ﻫ زاوية حادة. قرب الإجابة لأقرب ثانية.

بما أننا نعلم أن الزاوية ﻫ زاوية حادة، فإننا نعرف أننا سنتعامل فقط مع قيم في الربع الأول. نحن نعلم من المعطيات أن ظا ﻫ يساوي ١٨٫٥٨٤٥. كما نعلم بالفعل أن ظل زاوية ما يساوي النسبة بين طولي ضلعين. ونعرف كذلك أنه إذا كانت لدينا نسبة بين طولي ضلعين لظل زاوية ما، فباستخدام الدالة العكسية لظل الزاوية يمكننا إيجاد قياس الزاوية. وهذا يعني أن علينا أخذ الدالة العكسية للظل لطرفي هذه المعادلة. الدالة العكسية للظل لـ ظا ﻫ تساوي ﻫ. وقبل أن نوجد الدالة العكسية للظل لـ ١٨٫٥٨٤٥، علينا التفكير فيما إذا كنا سنتعامل بالراديان أم بالدرجات. علينا تقريب هذه القيمة لأقرب ثانية. الثانية جزء من الدقيقة، والدقيقة جزء من الدرجة. هذا يعني أن علينا إيجاد الدالة العكسية للظل بالدرجات.

بعد التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، نحصل على ﻫ يساوي ٨٦٫٩١٩٩٨٢٨٦ درجة تقريبًا. هذا يعني أن ﻫ يساوي ٨٦ درجة كاملة وجزءًا من الدرجة. لكي نحول هذا الجزء من الدرجة إلى دقائق وثوان، علينا استرجاع أن الدرجة الواحدة تساوي ٦٠ دقيقة. وهذا يعني أنه لمعرفة كم دقيقة ستكون في ٠٫٩١٩٩٨٢٨٦ درجة مع توالي الأرقام، فإننا نضرب في ٦٠. وعندما نفعل ذلك، نحصل على ٥٥٫١٩٨٩٧١٣٢ دقيقة مع توالي الأرقام؛ أي ٥٥ دقيقة كاملة وجزء من الدقيقة.

الخطوة الأخيرة ستكون تحويل هذا الجزء من الدقيقة إلى ثوان. ونحن نعلم أن الدقيقة الواحدة تساوي ٦٠ ثانية. إذن لدينا ٨٦ درجة و٥٥ دقيقة، ثم لدينا ٠٫١٩٨٩٧١٣٢ في ٦٠ دقيقة، وهو ما يساوي ١١٫٩٣٨٢٧ ثانية مع توالي الأرقام. للتقريب لأقرب ثانية، نقرب ١١٫٩ إلى العدد الأكبر؛ أي إلى ١٢. وبذلك نقول إن قياس الزاوية ﻫ يساوي ٨٦ درجة و٥٥ دقيقة و١٢ ثانية.

والآن، سنراجع النقاط الأساسية. بالنسبة إلى قيمة جا 𝜃 أو جتا 𝜃 أو ظا 𝜃 حيث 𝜃 زاوية حادة، يمكننا استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد قياس الزاوية الناقصة 𝜃. ويمكننا تمثيل ذلك هكذا؛ بأن تكون الدالة العكسية للجيب لـ جا 𝜃 تساوي 𝜃، والدالة العكسية لجيب التمام لـ جتا 𝜃 تساوي 𝜃، والدالة العكسية للظل لـ ظا 𝜃 تساوي 𝜃.