شارح الدرس: حلُّ المعادلات باستخدام الدوال المثلثية العكسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحل المعادلات باستخدام الدوال المثلثية العكسية في الربع الأول.

الربع الأول يعني أن نتناول الزوايا الحادة فقط 𝜃 حيث تكون ٠<𝜃<٠٩ أو ٠<𝜃<𝜋٢راديان.

إن الدوال المثلثية العكسية لها عدد من التطبيقات الحياتية في العديد من المجالات ومنها: الهندسة، والملاحة، والفيزياء، وعلم الهندسة. على سبيل المثال، إذا كنت تقوم ببعض أعمال النجارة وتريد التأكد من أن طرف قطعة خشبية مقطوعٌ بزاوية محددة، فيمكنك فعل ذلك بقياس الأضلاع وباستخدام دالة مثلثية عكسية لتحديد الزاوية. أو لنفترض أنك تريد أن تتسلق جبلًا، ولكن لا تريد أن تتسلق ارتفاعًا أكبر من زاوية معينة؛ فيمكنك قياس المسافة الأفقية للجبل من موضع البداية ومسافة المسار التي تقطعها في التسلُّق للجبل، واستخدام الدوال المثلثية العكسية للتأكد من أنك لا تتعدَّى زاوية الارتفاع القصوى، أو كي تحدد أي جبل عليك تسلُّقُه إذا ما أردت الوصول إلى القمة.

قبل أن نتحدث عن الدوال المثلثية العكسية، دعونا نبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية التي سنتناول معكوسها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية الموضح.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث على الصورة: قوجوقج𝜃=،𝜃=،𝜃=.

تُحقِّق هذه الدوال المتطابقات المثلثية التالية: ٢٢𝜃+𝜃١،𝜃𝜃𝜃.

يقع مجال (مجموعة من القيم المدخلة الممكنة) ومدى (مجموعة من القيم المخرجة الممكنة) الدوال المثلثية خارج نطاق هذا الشارح. سنتناول فقط المدخلات في الربع الأول من الزوايا الحادة، للدوال المثلثية.

القيم المثلثية المعتادة: درجةراديان، موضَّحة في الجدول التالي:

زاوية (𝜃)٠٣󰃂𝜋٦٥٤󰃂𝜋٤٠٦󰃂𝜋٣
𝜃١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
𝜃󰋴٣٢󰋴٢٢١٢
𝜃󰋴٣٣١󰋴٣

يمكننا أن نتذكرها من المثلثات القائمة الزاوية الخاصة التالية:

يمكننا ملاحظة استخدام الدوال المثلثية العكسية من خلال تناول السؤال التالي: افترض أن سُلَّمًا ١٤ م موضوع على جدار. إذا كانت قاعدة السُلَّم تبعد ٧ م عن قاعدة الجدار، ما الزاوية التي تصنعها قاعدة السُلَّم مع الأرض؟

في هذه المسألة، طول الوتر يساوي ١٤ م وطول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 يساوي ٧ م. وبما أن جيب التمام هو النسبة بين طولي الضلع المجاور والوتر في المثلث القائم الزاوية؛ إذن يكون لدينا: جومم𝜃==٧٤١=١٢.

لإيجاد قياس الزاوية 𝜃 التي تمثل زاوية حادة، يمكننا البحث عن القيم المثلثية المعتادة لمعرفة أي قيمة لـ 𝜃 تحقق هذه المعادلة 𝜃. وعليه، نجد أن الزاوية التي كوَّنَتْها قاعدة السُلَّم مع الأرض معطاة بدلالة: 𝜃=٠٦،𝜋٣.أورادن

في هذه المسألة، أوجدنا قياس الزاوية عن طريق التحقق من قيم 𝜃 المختلفة لدالة جيب التمام. يمكننا إذن طرح السؤال: ماذا لو لم تكن 𝜃 قيمة مثلثية معتادة يمكننا استنتاجها من خلال الحل بطريقة عكسية؟ وهنا ننتقل إلى الدوال المثلثية العكسية التي تتيح لنا بالضرورة جعل 𝜃 المتغير التابع في المعادلة.

تُعَدُّ دوال الجيب وجيب التمام والظل المثلثية دوالَّ دورية. لا بد أن يقتصر مجالها على مجموعة جزئية معينة، تُعرف بالفرع الرئيس، لكي تكون لها دوال عكسية. هذا ليس أمرًا مطروحًا في هذا الشارح، حيث إننا نقصر المجال على الربع الأول، 󰂖٠،𝜋٢󰂗راديان أو ]٠،٠٩[درجة.

تعريف: الدوال المثلثية العكسية

الدوال المثلثية العكسية التي يُرمز لها بالرموز ١، ١، ١ هي الدوال العكسية للدوال المثلثية، ، . وهذا يعني أنها تعمل في اتجاه عكسي أو «تعود للخلف» بخلاف الدوال المثلثية المعتادة. بالنسبة إلى الزوايا الحادة، 𞸑󰂖٠،𝜋٢󰂗راديان أو 𞸑]٠،٠٩[درجة فهي تكون مُعرَّفة بدلالة: 𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑،𞸑=𞸎𞸎=𞸑.١١١

ويمكن كتابتها أيضًا على الصورة ١𞸎، ١𞸎، ١𞸎.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا (٠٣)=١٢ فإن هذا يكافئ: ١󰂔١٢󰂓=٠٣. (معكوس الدالة، 󰎨(𞸎) يمكن أن يُرمز له أيضًا 󰎨(𞸎)١؛ ومن ثَمَّ إذ كان 𞸎=󰎨(𞸑)=𞸑، إذن 𞸑=󰎨(𞸎)=𞸎١١ والعكس صحيح. وسنتناول ذلك بالتفصيل في شارح آخر عن الدوال العكسية بوجه عام.)

من تعريف الدالة العكسية والزوايا الحادة 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂗راديان أو]٠،٠٩[درجة، تحقق الدوال المثلثية العكسية الخواص: ١١١(𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃.

تكون القيم المدخلة والمخرجة متبادلة للدوال المثلثية العكسية بخلاف الدوال المثلثية المعتادة. بالنسبة للدوال المثلثية العكسية، لا نفكر إلا في المُخرَجات في الربع الأول للزوايا الحادة، التي تناظر المدخلات للدوال المثلثية التي ذكرناها سابقًا.

يمكننا أيضًا التعبير عن الزاوية 𝜃 في المثلث القائم الزاوية بدلالة الأضلاع المعطاة باستخدام الدوال المثلثية العكسية: قوقوقو𝜃=،(𝜃)=󰃁󰃀،𝜃=󰃁󰃀،١١١ وبالمثل بالنسبة للتعبيرات الأخرى: 𝜃=󰃁󰃀،𝜃=󰃁󰃀.جوقج١١

بالنسبة إلى مسألتنا عن السُلَّم، كان بإمكاننا استخدام الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قياس الزاوية 𝜃 بطريقة مشابهة: 𝜃=١٢،(𝜃)=󰂔١٢󰂓،𝜃=󰂔١٢󰂓،𝜃=٠٦.١١١

باستخدام الجدول الخاص بالقيم المثلثية بالعكس، يمكننا أيضًا إنشاء جدول للقيم المثلثية العكسية المعتادة، كما يلي:

𞸎١٢󰋴٢٢󰋴٣٢
١𞸎٠٣󰃂𝜋٦٥٤󰃂𝜋٤٠٦󰃂𝜋٣
١𞸎٠٦󰃂𝜋٣٥٤󰃂𝜋٤٠٣󰃂𝜋٦
𞸎󰋴٣٣١󰋴٣
١𞸎٠٣󰃂𝜋٦٥٤󰃂𝜋٤٠٦󰃂𝜋٣

يمكن حل هذه الأنواع من المسائل لأي زاوية حادة، وليس فقط الزاوية المُعطاة بالقيم المعتادة. لنفترض أننا نريد حل المعادلة: ٣𝜃٦٤٩٫٢=٠، لإيجاد قياس الزاوية الحادة 𝜃 لأقرب درجة. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لعزل 𝜃: ٣𝜃٦٤٩٫٢=٠٣𝜃=٦٤٩٫٢𝜃=٦٤٩٫٢٣𝜃=٢٨٩٫٠.

والآن، نطبق الدالة العكسية للجيب، ١ لجعل 𝜃 المتغير التابع: ١١(𝜃)=(٢٨٩٫٠)،𝜃=٥٢١١٫٩٧.

حصلنا على قيمة ١(٢٨٩٫٠) باستخدام الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع درجة. إذن، لأقرب درجة، يكون لدينا: 𝜃=٩٧.

والآن، لنفترض أنه لزاوية حادة 𞹎 مقيسة بالراديان نريد حل المعادلة: ٢󰋴٣𞹎٢𞹎=٠.

نريد إيجاد قيمة 𞹎، بالراديان بحيث تتحقق هذه المعادلة. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة واستخدام متطابقة مثلثية لإعادة كتابة التعبير بدلالة 𞹎: ٢󰋴٣𞹎٢𞹎=٠،٢󰋴٣𞹎=٢𞹎𞹎=١󰋴٣𞹎𞹎𞹎=١󰋴٣𞹎=󰋴٣٣.

وأخيرًا، نطبِّق الدالة العكسية للظل، ١ لنجعل 𞹎 المتغير التابع، ونوجد القيمة المناسبة من جدول الزوايا المشتركة أو باستخدام الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الدالة على وضع راديان: ١١(𞹎)=󰃭󰋴٣٣󰃬،𞹎=𝜋٦.

سنتناول الآن بعض الأمثلة للتدريب وتعميق الفهم

في المثال الأول، سنطبق الدالة العكسية للجيب لإيجاد قياس زاوية معينة بالدرجة، لأقرب جزء من عشرة من الدرجة.

مثال ١: استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل معادلة مثلثية

إذا كانت 󰏡 زاوية حادة وكان 󰏡=٣٩١٨٫٠، فأوجد 𞹟󰌑ج لأقرب جزء من عشرة من الدرجة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قياس زاوية باستخدام الدالة العكسية للجيب، لأقرب جزء من عشرة من الدرجة.

على وجه التحديد، سنستخدم خاصية جيب الزاوية للزوايا الحادة، 𞸎]٠،٠٩[: ١(𞸎)=𞸎.

نبدأ بأخذ الدالة العكسية للجيب ١ لطرفي المعادلة: 󰏡=٣٩١٨٫٠(󰏡)=(٣٩١٨٫٠)󰏡=٧٤١٠٫٥٥.١١

حصلنا على قيمة ١(٣٩١٨٫٠) باستخدام الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع درجة.

إذن، لأقرب جزء من عشرة من الدرجة𞹟󰌑󰏡=٠٫٥٥.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قياس زاوية معينة بالراديان.

مثال ٢: استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة

إذا كانت 𞸎 زاوية حادة، ٤(𞸎)=٢󰋴٣ فأوجد قيمة 𞸎راديان.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قياس زاوية باستخدام الدالة العكسية لجيب التمام، بالراديان.

على وجه التحديد، سنستخدم خاصية جيب التمام للزوايا الحادة، 𞸎󰂖٠،𝜋٢󰂗: ١((𞸎))=𞸎.

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لنجعل (𞸎) المتغير التابع: ٤(𞸎)=٢󰋴٣(𞸎)=٢󰋴٣٤(𞸎)=󰋴٣٢.

والآن، نطبق الدالة العكسية لجيب التمام ١ على طرفي المعادلة ونستخدم جدول الزوايا المشتركة أو الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة الحاسبة على وضع الراديان لتحديد قيمة 𞸎: ١١((𞸎))=󰃭󰋴٣٢󰃬𞸎=𝜋٦.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية لجيب التمام مرة أخرى لإيجاد قياس زاوية معينة، ولكن هذه المرة بالدرجة، وذلك باستخدام معرفتنا بظل الزاوية المشتركة.

مثال ٣: استخدام الدوال العكسية المثلثية لحل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة

أوجد قياس 󰌑𞹎 بالدرجة إذا كان ٢𞹎=٠٦ حيث 𞹎 زاوية حادة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قياس زاوية باستخدام الدالة العكسية لجيب التمام.

على وجه التحديد، سنستخدم خاصية جيب التمام للزوايا الحادة،𞸎]٠،٠٩[: ١(𞸎)=𞸎.

نلاحظ أولًا أن ٠٦=󰋴٣. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لعزل 𞹎: ٢𞹎=󰋴٣𞹎=󰋴٣٢.

والآن، نطبق الدالة العكسية لجيب التمام ١ على طرفي المعادلة ونستخدم جدول الزوايا المشتركة أو الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجة، لتحديد قيمة 𞹎: ١١(𞹎)=󰃭󰋴٣٢󰃬𞹎=٠٣.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية للظل لإيجاد قياس زاوية محددة لأقرب ثانية.

مثال ٤: استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات المثلثية

أوجد 𞹟󰌑𞸤 إذا كان 𞸤=٥٤٨٥٫٨١، 󰌑𞸤 زاوية حادة. قرب الإجابة لأقرب ثانية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قياس زاوية باستخدام الدالة العكسية للظل لأقرب ثانية.

تحديدًا، سنستخدم خاصية الظل للزوايا الحادة، 𞸎]٠،٠٩[: ١(𞸎)=𞸎.

نبدأ بأخذ الدالة العكسية للظل لطرفي المعادلة: 𞸤=٥٤٨٥٫٨١(𞸤)=(٥٤٨٥٫٨١)𞸤=٩٩١٩٫٦٨.١١

حصلنا على قيمة ١(٥٤٨٥٫٨١) باستخدام الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع الدرجة.

والآن، نحول هذه الزاوية إلى الصورة الصحيحة بالتعبير عنها في صورة: ٦٨٢٨٩٩١٩٫٦٨=٦٨+٥٥٠٦+٢٨٣٩٫١١٠٦=٥٥٦٨٢٨٣٩٫١١.٢

إذن، لأقرب ثانية، يكون لدينا: 𞹟󰌑𞸤=٢١٥٥٦٨.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية للظل ودالة جيب التمام العكسية لحل معادلتين تتضمنان دوالَّ مثلثية.

مثال ٥: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن دوالَّ مثلثية متعددة وزوايا خاصة

أوجد أصغر زاوية موجبة تحقق المعادلتين الآتيتين معًا: ٢𝜃󰋴٢=٠، 𝜃١=٠.

الحل

في هذا المثال، نريد حل معادلتين باستخدام الدالة العكسية لجيب التمام والدالة العكسية للظل.

وبما أننا نبحث عن أصغر زاوية موجبة لحل هاتين المعادلتين، دعونا نبدأ بالبحث عن حلول الزوايا الحادة. على وجه التحديد، سنستخدم خاصية جيب التمام والظل للزاويتين الحادتين، 𞸎]٠،٠٩[: ١١(𞸎)=𞸎،(𞸎)=𞸎.

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة الأولى لنجعل 𝜃 المتغير التابع في المعادلة: ٢𝜃󰋴٢=٠٢𝜃=󰋴٢𝜃=󰋴٢٢.

والآن، يمكننا أخذ الدالة العكسية لجيب التمام ١ لطرفي المعادلة واستخدم جدول الزوايا المشتركة أو الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة الحاسبة على وضع درجة لتحديد قيمة 𝜃: ١١(𝜃)=󰃭󰋴٢٢󰃬𝜃=٥٤.

نتحقق الآن من أن هذا يحقق الشرط الثاني بالتعويض بـ 𝜃=٥٤ في المعادلة الثانية للتأكُّد من تحققها، أو إيجاد قياس الزاوية مباشرة من المعادلة الثانية. بالنسبة إلى المعادلة الأخيرة، نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لعزل 𝜃: 𝜃١=٠𝜃=١.

بعد ذلك، نطبق الدالة العكسية للظل ١ على طرفي المعادلة، ونستخدم جدول الزوايا المشتركة أو الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع الدرجة لتحديد الزاوية 𝜃: ١١(𝜃)=(١)𝜃=٥٤.

وبذلك، تكون أصغر زاوية موجبة تحقق المعادلتين: ٢𝜃󰋴٢=٠، 𝜃١=٠ معًا هي: 𝜃=٥٤.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية لجيب التمام لتحديد زاوية معينة مختلفة عن الزوايا المشتركة بالراديان.

مثال ٦: استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة

إذا كانت 𞸎 زاوية حادة، ٢󰋴٢(𞸎)=١+󰋴٣، فأوجد قيمة 𞸎راديان.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قيمة زاوية حادة باستخدام الدالة العكسية لجيب التمام بالراديان.

على وجه التحديد، سنستخدم خاصية جيب التمام للزوايا الحادة، 𞸎󰂖٠،𝜋٢󰂗: ١((𞸎))=𞸎.

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لجعل (𞸎) المتغير التابع: ٢󰋴٢(𞸎)=١+󰋴٣(𞸎)=١+󰋴٣٢󰋴٢.

والآن، نطبِّق الدالة العكسية للظل ١ على طرفي المعادلة، ونستخدم الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع الراديان، لتحديد الزاوية 𞸎: ١١((𞸎))=󰃭١+󰋴٣٢󰋴٢󰃬𞸎=𝜋٢١.

في المثال الأخير، سنستخدم الدالة العكسية للظل لإيجاد قياس زاوية معينة.

مثال ٧: استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة

أوجد قيمة 𞹎 إذا كان 󰂔𞹎٤󰂓=󰋴٣ حيث، 𞹎٤ زاوية حادة.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد قياس زاوية باستخدام الدالة العكسية للظل.

تحديدًا، سنستخدم خاصية الظل للزوايا الحادة، 𞸎]٠،٠٩[: ١(𞸎)=𞸎.

نبدأ بأخذ الدالة العكسية للظل، ١، لطرفي المعادلة، واستخدام الجدول للزوايا المشتركة أو الدالة ١ على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع الدرجة لتحديد الزاوية الحادة 𞹎٤: 󰂔𞹎٤󰂓=󰋴٣󰂔󰂔𞹎٤󰂓󰂓=󰂔󰋴٣󰂓𞹎٤=٠٦.١١

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𞹎 معطاة بدلالة: 𞹎=٠٤٢.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا استخدام الدوال المثلثية العكسية ١، ١، ١ لحل المعادلات المثلثية.
  • لبعض قيم 𝜃، 𝜃 أو𝜃 حيث 𝜃 زاوية حادة، يمكننا استخدام الدوال المثلثية العكسية لإيجاد قياس الزاوية الناقصة بالدرجة أو الراديان.
  • الخصائص الرئيسية لحل هذه المسائل بالنسبة للزوايا الحادة 𝜃]٠،٠٩[ بالدرجة 𝜃󰂖٠،𝜋٢󰂗راديان هي: ١١١(𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃،(𝜃)=𝜃.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.