شارح الدرس: حلُّ المعادلات باستخدام الدوال المثلثية العكسية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحل المعادلات باستخدام الدوال المثلثية العكسية في الربع الأول.

الربع الأول يعني أن نتناول الزوايا الحادة فقط حيث تكون أو راديان.

إن الدوال المثلثية العكسية لها عدد من التطبيقات الحياتية في العديد من المجالات ومنها: الهندسة، والملاحة، والفيزياء، وعلم الهندسة. على سبيل المثال، إذا كنت تقوم ببعض أعمال النجارة وتريد التأكد من أن طرف قطعة خشبية مقطوعٌ بزاوية محددة، فيمكنك فعل ذلك بقياس الأضلاع وباستخدام دالة مثلثية عكسية لتحديد الزاوية. أو لنفترض أنك تريد أن تتسلق جبلًا، ولكن لا تريد أن تتسلق ارتفاعًا أكبر من زاوية معينة؛ فيمكنك قياس المسافة الأفقية للجبل من موضع البداية ومسافة المسار التي تقطعها في التسلُّق للجبل، واستخدام الدوال المثلثية العكسية للتأكد من أنك لا تتعدَّى زاوية الارتفاع القصوى، أو كي تحدد أي جبل عليك تسلُّقُه إذا ما أردت الوصول إلى القمة.

قبل أن نتحدث عن الدوال المثلثية العكسية، دعونا نبدأ بتذكُّر الدوال المثلثية التي سنتناول معكوسها في هذا الشارح. انظر إلى المثلث القائم الزاوية الموضح.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة النسبة بين أضلاع المثلث على الصورة:

تُحقِّق هذه الدوال المتطابقات المثلثية التالية:

يقع مجال (مجموعة من القيم المدخلة الممكنة) ومدى (مجموعة من القيم المخرجة الممكنة) الدوال المثلثية خارج نطاق هذا الشارح. سنتناول فقط المدخلات في الربع الأول من الزوايا الحادة، للدوال المثلثية.

القيم المثلثية المعتادة: درجةراديان، موضَّحة في الجدول التالي:

يمكننا أن نتذكرها من المثلثات القائمة الزاوية الخاصة التالية:

يمكننا ملاحظة استخدام الدوال المثلثية العكسية من خلال تناول السؤال التالي. افترض أن سُلَّمًا ١٤ م موضوع على جدار. إذا كانت قاعدة السُلَّم تبعد ٧ م عن قاعدة الجدار، ما الزاوية التي تصنعها قاعدة السُلَّم مع الأرض؟

في هذه المسألة، طول الوتر يساوي ١٤ م وطول الضلع المجاور للزاوية يساوي ٧ م. وبما أن جيب التمام هو النسبة بين طولي الضلع المجاور والوتر في المثلث القائم الزاوية؛ إذن يكون لدينا:

لإيجاد قياس الزاوية التي تمثل زاوية حادة، يمكننا البحث عن القيم المثلثية المعتادة لمعرفة أي قيمة لـ تحقق هذه المعادلة . وعليه، نجد أن الزاوية التي كوَّنَتْها قاعدة السُلَّم مع الأرض معطاة بدلالة:

في هذه المسألة، أوجدنا قياس الزاوية عن طريق التحقق من قيم المختلفة لدالة جيب التمام. يمكننا إذن طرح السؤال: ماذا لو لم تكن قيمة مثلثية معتادة يمكننا استنتاجها من خلال الحل بطريقة عكسية؟ وهنا ننتقل إلى الدوال المثلثية العكسية التي تتيح لنا بالضرورة جعل المتغير التابع في المعادلة.

تُعَدُّ دوال الجيب وجيب التمام والظل المثلثية دوالَّ دورية. لا بد أن يقتصر مجالها على مجموعة جزئية معينة، تُعرف بالفرع الرئيس، لكي تكون لها دوال عكسية. هذا ليس أمرًا مطروحًا في هذا الشارح، حيث إننا نقصر المجال على الربع الأول، راديان أو درجة.

على سبيل المثال، إذا كان لدينا فإن هذا يكافئ: (معكوس الدالة، يمكن أن يُرمز له أيضًا ؛ ومن ثَمَّ إذ كان ، إذن والعكس صحيح. وسنتناول ذلك بالتفصيل في شارح آخر عن الدوال العكسية بوجه عام.)

من تعريف الدالة العكسية والزوايا الحادة راديان أودرجة، تحقق الدوال المثلثية العكسية الخواص:

تكون القيم المدخلة والمخرجة متبادلة للدوال المثلثية العكسية بخلاف الدوال المثلثية المعتادة. بالنسبة للدوال المثلثية العكسية، لا نفكر إلا في المُخرَجات في الربع الأول للزوايا الحادة، التي تناظر المدخلات للدوال المثلثية التي ذكرناها سابقًا.

يمكننا أيضًا التعبير عن الزاوية في المثلث القائم الزاوية بدلالة الأضلاع المعطاة باستخدام الدوال المثلثية العكسية: وبالمثل بالنسبة للتعبيرات الأخرى:

بالنسبة إلى مسألتنا عن السُلَّم، كان بإمكاننا استخدام الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قياس الزاوية بطريقة مشابهة:

باستخدام الجدول الخاص بالقيم المثلثية بالعكس، يمكننا أيضًا إنشاء جدول للقيم المثلثية العكسية المعتادة، كما يلي:

يمكن حل هذه الأنواع من المسائل لأي زاوية حادة، وليس فقط الزاوية المُعطاة بالقيم المعتادة. لنفترض أننا نريد حل المعادلة: لإيجاد قياس الزاوية الحادة لأقرب درجة. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة لعزل :

والآن، نطبق الدالة العكسية للجيب، لجعل المتغير التابع:

حصلنا على قيمة باستخدام الدالة على الآلة الحاسبة، مع ضبط الآلة على وضع درجة. إذن، لأقرب درجة، يكون لدينا:

والآن، لنفترض أنه لزاوية حادة مقيسة بالراديان نريد حل المعادلة:

نريد إيجاد قيمة ، بالراديان بحيث تتحقق هذه المعادلة. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة واستخدام متطابقة مثلثية لإعادة كتابة التعبير بدلالة :

وأخيرًا، نطبِّق الدالة العكسية للظل، لنجعل المتغير التابع، ونوجد القيمة المناسبة من جدول الزوايا المشتركة أو باستخدام الدالة على الآلة الحاسبة، مع ضبط الدالة على وضع راديان:

سنتناول الآن بعض الأمثلة للتدريب وتعميق الفهم

في المثال الأول، سنطبق الدالة العكسية للجيب لإيجاد قياس زاوية معينة بالدرجة، لأقرب جزء من عشرة من الدرجة.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قياس زاوية معينة بالراديان.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية لجيب التمام مرة أخرى لإيجاد قياس زاوية معينة، ولكن هذه المرة بالدرجة، وذلك باستخدام معرفتنا بظل الزاوية المشتركة.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية للظل لإيجاد قياس زاوية محددة لأقرب ثانية.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية للظل ودالة جيب التمام العكسية لحل معادلتين تتضمنان دوالَّ مثلثية.

في المثال التالي، سنستخدم الدالة العكسية لجيب التمام لتحديد زاوية معينة مختلفة عن الزوايا المشتركة بالراديان.

في المثال الأخير، سنستخدم الدالة العكسية للظل لإيجاد قياس زاوية معينة.