فيديو السؤال: إيجاد إحداثيات نقاط القيم القصوى المحلية لدالة كسرية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد إحداثيات نقاط جميع القيم الصغرى والعظمى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ) يساوي ثلاثة مقسومًا على ﺱ زائد خمسة زائد ستة ﺱ.

يطلب منا السؤال إيجاد جميع إحداثيات نقاط القيم الصغرى والعظمى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ). أول شيء علينا أن نتذكره هو أن نقاط القيم القصوى المحلية تظهر دائمًا عند النقاط الحرجة للدالة. وتذكر أننا نقول إنه توجد نقطة حرجة عندما ﺱ يساوي ﺃ إذا كان ﺩ شرطة ﺃ يساوي صفرًا، أو إذا كانت مشتقة ﺩ غير موجودة عند ﺱ يساوي ﺃ. أول شيء سنفعله هو التحقق من مجال الدالة ﺩ(ﺱ). والسبب في ذلك أنه إذا كانت ﺩ(ﺱ) غير معرفة عند قيمة معينة لـ ﺃ، فمن المؤكد أنها لا يمكن أن يكون لها قيمة عظمى أو صغرى محلية عند هذه النقطة.

نلاحظ أن الجزء الوحيد في الدالة الذي سيكون غير معرف عند قيمة ما من قيم ﺱ، هو عندما نقسم على ﺱ. إذن، الدالة ﺩ(ﺱ) غير معرفة عندما ﺱ يساوي صفرًا. ونعرف أنها معرفة لجميع القيم الحقيقية الأخرى لـ ﺱ. لذا لا داعي للقلق بشأن الحالة التي يكون فيها ﺱ مساويًا لصفر. دعونا الآن نوجد جميع النقاط الحرجة للدالة ﺩ(ﺱ). لإيجاد النقاط الحرجة للدالة ﺩ(ﺱ)، سنحتاج إلى اشتقاق ﺩ(ﺱ). للقيام بذلك، نعيد كتابة ذلك على الصورة ثلاثة ﺱ أس سالب واحد زائد خمسة زائد ستة ﺱ أس واحد.

يمكننا الآن اشتقاق هذا التعبير حدًّا تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نريد ضرب المعامل في أس الـ ﺱ، ثم نطرح واحدًا من هذا الأس. هذا يعطينا سالب ثلاثة ﺱ أس سالب اثنين زائد ستة. ثم نعيد ترتيب الحدود، ونستخدم قوانين الأسس لنكتب ذلك على صورة ستة ناقص ثلاثة مقسومًا على ﺱ تربيع. والآن تذكر، أوجدنا هذا التعبير للدالة ﺩ شرطة ﺱ لإيجاد النقاط الحرجة للدالة ﺩ(ﺱ). فلنبدأ إذن بالتحقق من جميع قيم ﺱ التي تكون المشتقة غير موجودة عندها.

يمكننا أن نرى أن قيمة ﺱ الوحيدة التي تكون المشتقة غير موجودة عندها هي عندما نقسم على صفر. لكن تذكر أن ﺱ يساوي صفرًا لا يقع في مجال الدالة ﺩ(ﺱ). هذا يعني أن مشتقة هذه الدالة تكون موجودة لجميع قيم ﺱ في مجال الدالة ﺩ(ﺱ). إذن، النقاط الحرجة المحتملة الوحيدة ستحدث عندما تكون المشتقة مساوية لصفر. لذا، دعونا الآن نبحث عن قيم ﺱ التي تكون المشتقة عندها مساوية لصفر. هذا يعني أن علينا إيجاد قيم ﺱ، التي تجعل ستة ناقص ثلاثة مقسومًا على ﺱ تربيع يساوي صفرًا.

سنضيف ثلاثة على ﺱ تربيع لكلا طرفي هذه المعادلة ثم نضرب الطرفين في ﺱ تربيع. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على ستة. وهذا يعطينا ﺱ تربيع يساوي نصفًا. وبعد ذلك يمكننا حل هذه المعادلة عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. تذكر أننا سنحصل على الجذر التربيعي الموجب والسالب. وهذا يعطينا ﺱ يساوي موجب أو سالب واحد مقسومًا على جذر اثنين. ويمكننا تبسيط ذلك قليلًا عن طريق إنطاق المقام. سنضرب كلًّا من البسط والمقام في جذر اثنين. وهذا يعطينا واحدًا على جذر اثنين يساوي جذر اثنين مقسومًا على اثنين. إذن، أوجدنا نقطتين حرجتين للدالة ﺩ(ﺱ)، إحداهما عندما ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين، والأخرى عندما ﺱ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين.

لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو إيجاد إحداثيات نقاط جميع القيم العظمى المحلية والصغرى المحلية لهذه الدالة. لذا، علينا التحقق مما إذا كانت هذه النقاط الحرجة هي نقاط قيم قصوى محلية، ثم إيجاد إحداثيات نقاط القيم القصوى المحلية كلها. للتأكد من أن هذه النقاط الحرجة هي نقاط القيم القصوى المحلية، سنستخدم اختبار المشتقة الأولى. سنفعل ذلك لأننا وجدنا بالفعل تعبيرًا لـ ﺩ شرطة ﺱ. ثمة أمر نريد القيام به لاستخدام اختبار المشتقة الأولى. وهو إيجاد ميل الدالة على يسار النقاط الحرجة وعلى يمينها. لكن علينا توخي الحذر في هذه الحالة. تذكر أن دالة المشتقة غير معرفة عندما ﺱ يساوي صفرًا. هذا يعني أنه عندما نختار قيم ﺱ لكل نقطة من النقاط الحرجة، فلا نرغب في اختيار إحدى النقاط على جانبي ﺱ تساوي صفرًا.

إذن، لاستخدام اختبار المشتقة الأولى للتحقق عند ﺱ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، اخترنا قيمتين سالبتين لـ ﺱ. وبالمثل، عندما كنا نختار قيمتي ﺱ عند ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين في اختبار المشتقة الأولى، اخترنا قيمتين موجبتين لـ ﺱ. فلنبدأ في ملء الجدول. أولًا، عند ﺱ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، وعند ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين، يكون ميل الدالة يساوي صفرًا. بعد ذلك، دعونا نوجد ﺩ شرطة سالب واحد. نعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في تعبير ﺩ شرطة ﺱ. نحصل على ستة ناقص ثلاثة مقسومًا على سالب واحد تربيع. ومن ثم يمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. فنحصل على ثلاثة. ومن ثم، فإن ميل الدالة عندما ﺱ يساوي سالب واحد يكون موجبًا.

بعد ذلك، دعونا نوجد ميل الدالة عندما ﺱ يساوي سالب نصف. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب ٠٫٥ في تعبير ﺩ شرطة ﺱ. نحصل على ستة ناقص ثلاثة مقسومًا على سالب ٠٫٥ تربيع. وإذا أوجدنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على سالب ستة. حددنا إذن ميل الدالة عند ﺱ يساوي نصفًا يكون سالبًا. يمكننا فعل ذلك بطريقة مشابهة لإيجاد ميل الدالة عند ﺱ يساوي نصفًا، وميل هذه الدالة عندما ﺱ يساوي واحدًا. نحصل على ﺩ شرطة ٠٫٥ يساوي سالب ستة. إذن ميل الدالة عندما ﺱ يساوي نصف يكون سالبًا، وﺩ شرطة واحد يساوي ثلاثة. ومن ثم، فإن ميل الدالة عند ﺱ يساوي واحدًا يكون موجبًا.

فما الذي يعنيه هذا الجدول بالنسبة إلى النقاط الحرجة؟ نلاحظ أنه عند ﺱ يساوي سالب واحد، تميل الدالة لأعلى. لكن عندما ﺱ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين، يساوي الميل صفرًا. وعندما ﺱ يساوي سالب نصف، يكون الميل سالبًا. يمكننا أن نرى من هذا الشكل أنه عندما يساوي ﺱ سالب جذر اثنين على اثنين، يكون لدينا نقطة قيمة عظمى محلية. يمكننا فعل الشيء نفسه مع النقطة الحرجة الأخرى. عند ﺱ يساوي سالب نصف، يكون الميل سالبًا. لكن عند ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين، الميل يساوي صفرًا. وأخيرًا، عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن الميل يكون موجبًا. يمكننا أن نرى بعد ذلك من هذا الشكل أنه عند ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين، سيكون لدينا نقطة قيمة صغرى محلية.

وهكذا نكون قد أوضحنا أن هاتين النقطتين الحرجتين هما نقطتان لقيم قصوى محلية. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد إحداثيات النقاط الحرجة. لنبدأ بـ ﺱ يساوي جذر اثنين على اثنين. سنعوض بذلك في تعبير ﺩ(ﺱ). نحصل على ثلاثة مقسومًا على جذر اثنين على اثنين زائد خمسة زائد ستة مضروبًا في جذر اثنين على اثنين. تذكر أن جذر اثنين على اثنين يساوي في الواقع واحدًا على جذر اثنين. إذن، قسمة ثلاثة على واحد على جذر اثنين هو نفسه ضرب ثلاثة في جذر اثنين. وهذا يعني أنه يمكننا تبسيط التعبير إلى ثلاثة جذر اثنين زائد خمسة زائد ثلاثة جذر اثنين، وهو ما يساوي خمسة زائد ستة جذر اثنين.

سنفعل الشيء نفسه لإيجاد الإحداثيات عند ﺱ يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. ونعوض بذلك في تعبير ﺩ(ﺱ). نحصل على ثلاثة مقسومًا على سالب جذر اثنين على اثنين زائد خمسة زائد ستة مضروبًا في سالب جذر اثنين على اثنين. نبسط بعد ذلك بالطريقة نفسها التي فعلناها من قبل. فنحصل على سالب ثلاثة جذر اثنين زائد خمسة ناقص ثلاثة جذر اثنين، ويمكننا حساب ذلك؛ إنه يساوي خمسة ناقص ستة جذر اثنين.

وهكذا، استطعنا أن نوضح أن الدالة ﺩ(ﺱ) تساوي ثلاثة على ﺱ زائد خمسة زائد ستة ﺱ لها نقطة قيمة صغرى محلية واحدة وإحداثياتها هي جذر اثنين على اثنين، خمسة زائد ستة جذر اثنين، ولها نقطة قيمة عظمى محلية واحدة وإحداثياتها هي سالب جذر اثنين على اثنين، خمسة ناقص ستة جذر اثنين.