فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة مركبة باستخدام قاعدة السلسلة عند نقطة ما الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺹ تساوي سالب ستة ﻉ تربيع ناقص ٢٣ وﻉ تساوي سالب أربعة على ﺱ، فأوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ.

نبحث عن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ ولدينا ﺹ بدلالة متغير آخر، وهو ﻉ، وﻉ بدلالة ﺱ. يبدو من الملائم هنا تطبيق قاعدة السلسلة، التي تنص على أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى متغير آخر، ﻉ، في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ.

لنطبق قاعدة السلسلة على المسألة. علينا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ. وهي مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ. لحسن الحظ، لدينا ﺹ مكتوبة بدلالة ﻉ. وهذا يسهل الأمور كثيرًا. إذ إن ﺹ تساوي سالب ستة ﻉ تربيع ناقص ٢٣. إذن، سنشتق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﻉ. وباستخدام حقيقة أن مشتقة الفرق بين دالتين هو الفرق بين مشتقتيهما، وباستخدام صيغة مشتقة العدد المضروب في دالة قوة أسية بالنسبة إلى أساسها، وحقيقة أن مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا، نحصل على سالب ١٢ﻉ.

وبعد إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ، ننتقل الآن لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ. ولإيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ، نستخدم العلاقة بين ﻉ وﺱ. إن ﻉ تساوي سالب أربعة على ﺱ ويمكننا كتابة ذلك في صورة أسية، بحيث تساوي ﻉ سالب أربعة ﺱ أس سالب واحد. ويمكننا الآن تطبيق قاعدة مشتقة العدد المضروب في دالة قوة أسية لمتغير ما بالنسبة إلى هذا المتغير.

ولتوضيح الأمر، سنغير ﻉ في القاعدة إلى ﺱ. ومن المهم أن نلاحظ أننا يمكننا تغيير ﻉ بأي حرف نريده وسيعبر عن القاعدة نفسها. لكننا اخترنا تغيير ﻉ بحرف ﺱ لأننا سنشتق بالنسبة إلى ﺱ. وتطبيقًا للقاعدة، وجدنا أن ﺩﻉ على ﺩﺱ تساوي أربعة ﺱ أس سالب اثنين أو إذا كنت تريد تجنب الأس السالب، فإنها ستكون أربعة على ﺱ تربيع.

باستخدام مقدار ﺩﻉ على ﺩﺱ هذا، نرى أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي سالب ١٢ في ﻉ في أربعة على ﺱ تربيع. الآن، إنها مجرد حالة تبسيط لهذا المقدار. وكجزء من التبسيط، نجد أن لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ مكتوبة ليس فقط بدلالة ﺱ ولكن أيضًا بدلالة المتغير ﻉ. ونريدها مكتوبة بدلالة ﺱ فقط إن أمكن. وهذا ممكن لأن ﻉ تساوي سالب أربعة على ﺱ.

لذا، بالتعويض بسالب أربعة على ﺱ عن ﻉ، نحصل على مقدار ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ فقط. ويمكننا تبسيط هذا المقدار بضرب سالب ١٢ في سالب أربعة في أربعة، ما يعطينا ١٩٢ في البسط، وضرب ﺱ في ﺱ تربيع، ما يعطينا ﺱ تكعيب في المقام.

إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ١٩٢ على ﺱ تكعيب.