شارح الدرس: قاعدة السلسلة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: مشتقات الدوال المركَّبة

انظر الدالة .

1. بفكِّ المقدار ذي الحدَّيْن، أوجد مشتقة .
2. افترض أن ، . أوجد مشتقة كلٍّ من ، .
3. عبِّر عن بدلالة ، ، .

الحل

الجزء الأول

نبدأ بفكِّ الأقواس. ويُمكننا فعل ذلك باستخدام نظرية ذات الحدَّيْن أو بضرب الأقواس ببساطة. فيما يأتي، سنضرب الأقواس ببساطة:

يُمكننا الآن استخدام قاعدة القوة: لاشتقاق كلِّ حدٍّ على النحو الآتي:

الجزء الثاني

باستخدام قاعدة القوة، يُمكننا بسهولة إيجاد مشتقتَيْ ، ، كما يأتي:

الجزء الثالث

نريد إيجاد مقدار لـ بدلالة ، ، . للقيام بذلك، نبدأ بتحليل المقدار الذي أوجدناه لـ في الجزء الأول. نبدأ بإخراج العامل المُشترَك ٦ من المقدار:

يُمكننا الآن تحليل المقدار داخل القوسين كما يأتي:

وبما أن ، يُمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:

علاوةً على ذلك، نعلم أن ؛ إذن:

وأخيرًا: بما أن ، نحصل على:

مثال ٢: إيجاد المشتقات باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد مشتقة .

الحل

هذا المثال يوضِّح حقًّا أهمِّية قاعدة السلسلة. من المُمكِن بالطبع فكُّ الأقواس والحصول على مقدار كثير الحدود، لكن حدوده عديدة. ولكن من الواضِح أن هذا سيتطلَّب حسابات جبرية كثيرة. بدلًا من ذلك، يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة التي سنُثبت هنا أنها أبسط وأقلُّ عُرضة للخطأ.

نبدأ بتحديد الدالتين الداخلية والخارجية. نجعل ، ثم نجعل . يُمكننا الآن إيجاد المشتقتين ، . باستخدام قاعدة القوة، يكون لدينا:

نعوِّض بـ في المقدار ، لنحصل على:

بالتعويض بهذا المقدار في صيغة قاعدة السلسلة: يُمكننا إيجاد مشتقة ، كما يأتي:

مثال ٣: استخدام قاعدة السلسلة

أوجد مشتقة .

الحل

الدالة هي ناتج تركيب دالتين. علينا أولًا تحديد الاختيار الصحيح للدالتين الداخلية والخارجية. في هذه الحالة، الاختيار البديهي للدالة الداخلية هو ، وهو ما يجعل الدالة الخارجية . يُمكننا الآن إيجاد مشتقتَيْ ، . باستخدام قاعدة القوة، نجد أن مشتقة الدالة هي ببساطة:

وبالمثل يُمكننا استخدام قاعدة القوة لإيجاد مشتقة :

بالتعويض بكلِّ ذلك في صيغة قاعدة السلسلة: يُمكننا إيجاد مشتقة ، كما يأتي:

مثال ٤: إيجاد قيمة المشتقة عند نقطة باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد قيمة ، عند ؛ حيث .

الحل

في مسألة كهذه، يكون لدينا أكثر من خيار مُمكِن للدالتين الداخلية والخارجية. يُمكننا اختيار الدالة الداخلية لتكون ، وسيَنتُج عنها الدالة الخارجية ، أو ربما نختار الدالة الداخلية ، وسيَنتُج عنها الدالة الخارجية . إذا اخترنا المثال الأول، فسنَجِد أن علينا تطبيق قاعدة السلسلة مرَّة ثانية لإيجاد مشتقة ؛ ولهذا السبب، فإن الاختيار الثاني للدالتين الداخلية والخارجية أفضل؛ لأنه سيتطلَّب منَّا تطبيق قاعدة السلسلة مرَّة واحدة فقط. ولذا نختار ، . باستخدام قاعدة القوة، يُمكننا إيجاد المشتقتين ، ، كما يأتي:

بالتعويض عن بـ في المقدار ، نحصل على:

بالتعويض بهذا في صيغة قاعدة السلسلة: نحصل على:

يُمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار عند ، كما يأتي:

مثال ٥: تطبيق قاعدة السلسلة على دوالَّ مجهولة

إذا كان ، ، ، فأوجد قيمة ، عند .

الحل

إذا كان ، يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة؛ حيث الدالة الداخلية ، والدالة الخارجية . نبدأ بحساب المشتقتين ، ، كما يأتي:

يُمكننا الآن التعويض بهذين المقدارين في قاعدة السلسلة، كما يأتي:

ولإيجاد قيمة ذلك عند ، يكون لدينا:

بالتعويض بـ ، ، نحصل على:

مثال ٦: تطبيق قاعدة السلسلة عدَّة مرَّات

أوجد مشتقة الدالة .

الحل

أول ما علينا فعله هو تحديد الدالتين الخارجية والداخلية. نحدِّد ؛ إذن . يُمكننا الآن اشتقاق كلِّ جزء من هذين الجزأين وتطبيق قاعدة السلسلة. نبدأ بإيجاد المشتقة ، كما يأتي:

علينا الآن إيجاد مشتقة بالنسبة إلى . اشتقاق الحدِّ الأول سهل، لكن الحدَّ الثاني عبارة عن تركيب دالتين. ومن ثم، لإيجاد مشتقة هذا الحدِّ، علينا تطبيق قاعدة السلسلة. نبدأ بكتابة:

نجعل ، بعد ذلك يُمكننا كتابة الدالة الداخلية على الصورة ، وهو ما يَنتُج عنه الدالة الخارجية . تعريف يُناظِر بالضبط تعريف . ومن ثم، فإن مشتقتها ستكون:

يُمكننا الآن إيجاد مشتقة بالنسبة إلى ، ويُمكننا فعل ذلك بسهولة باستخدام قاعدة الضرب، كما يأتي:

يُمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة على ، لنحصل على:

نعوِّض بهذا في المقدار ، لنحصل على:

يُمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة على ، كما يأتي: