شارح الدرس: قاعدة السلسلة | نجوى شارح الدرس: قاعدة السلسلة | نجوى

شارح الدرس: قاعدة السلسلة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقات الدوال المركَّبة باستخدام قاعدة السلسلة.

ما إنْ نتعلَّم طريقة اشتقاق الدوال البسيطة، حتى نتساءل عن طريقة اشتقاق الدوال الأكثر تعقيدًا. بوجهٍ عام، تتكوَّن الدوال الأكثر تعقيدًا من دوالَّ أبسط عن طريق دمجها معًا بطُرق مختلفة. يُوجَد بعض الطُّرق الأساسية لدمج دالتين د(𞸎)، 𞸓(𞸎):

  1. الجمع أو الطرح: د(𞸎)±𞸓(𞸎).
  2. الضرب أو القسمة: د(𞸎)𞸓(𞸎)، أو د(𞸎)𞸓(𞸎).
  3. التركيب: د(𞸓(𞸎)).

لكي نتمكَّن من اشتقاق دوالَّ أكثر تعقيدًا، من المُفيد جدًّا أن تكون لدينا قواعد تُخبرنا بكيفية اشتقاق الدوال المُدمَجة بهذه الطُّرق المحدَّدة. عند هذه النقطة في دورة التفاضل والتكامل، نعلم بالفعل أن مشتقة أيِّ مجموع تساوي مجموع المشتقات: (±𞸓)=±𞸓.دد󰍱󰍱󰍱

علاوة على ذلك، نعلم أن الاشتقاق عملية خطية. هذا يعني أنه بالإضافة إلى قاعدة الجمع، لدينا القاعدة الآتية للضرب في أيِّ ثابت 𞸢: (𞸢)=𞸢.دد󰍱󰍱

وتُوجَد أيضًا قاعدتان لحاصل الضرب ولحاصل القسمة تُعرَفان بقاعدة الضرب وقاعدة القسمة. لكن في هذا الشارح، سنركِّز على قاعدة اشتقاق الدوال المركَّبة.

لنبدأ بتناول مثال نشتقُّ فيه دالة مركَّبة عن طريق تبسيط المقدار المركَّب أولًا، ثم تطبيق قاعدة القوة على المقدار الناتج. يقودنا هذا المثال إلى الصيغة العامة لاشتقاق الدوال المركَّبة.

مثال ١: مشتقات الدوال المركَّبة

انظر الدالة د(𞸎)=(٢𞸎+١)٣.

  1. بفكِّ المقدار ذي الحدَّيْن، أوجد مشتقة د.
  2. افترض أن 𞸓(𞸎)=𞸎٣، 𞹟(𞸎)=٢𞸎+١. أوجد مشتقة كلٍّ من 𞸓، 𞹟.
  3. عبِّر عن د󰍱 بدلالة 𞹟، 𞸓󰍱، 𞹟󰍱.

الحل

الجزء الأول

نبدأ بفكِّ الأقواس. ويُمكننا فعل ذلك باستخدام نظرية ذات الحدَّيْن أو بضرب الأقواس ببساطة. فيما يأتي، سنضرب الأقواس ببساطة: د(𞸎)=(٢𞸎+١)=(٢𞸎+١)󰁓٤𞸎+٤𞸎+١󰁒=٨𞸎+٨𞸎+٢𞸎+٤𞸎+٤𞸎+١=٨𞸎+٢١𞸎+٦𞸎+١.٣٢٣٢٢٣٢

يُمكننا الآن استخدام قاعدة القوة: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸍𞸎،𞸍𞸍١ لاشتقاق كلِّ حدٍّ على النحو الآتي: د󰍱٢٢(𞸎)=٣(٨)𞸎+٢(٢١)𞸎+٦=٤٢𞸎+٤٢𞸎+٦.

الجزء الثاني

باستخدام قاعدة القوة، يُمكننا بسهولة إيجاد مشتقتَيْ 𞸓، 𞹟، كما يأتي: 𞸓(𞸎)=٣𞸎،𞹟(𞸎)=٢.󰍱٢󰍱

الجزء الثالث

نريد إيجاد مقدار لـ د󰍱 بدلالة 𞹟، 𞸓󰍱، 𞹟󰍱. للقيام بذلك، نبدأ بتحليل المقدار الذي أوجدناه لـ د󰍱 في الجزء الأول. نبدأ بإخراج العامل المُشترَك ٦ من المقدار: د󰍱٢(𞸎)=٦󰁓٤𞸎+٤𞸎+١󰁒.

يُمكننا الآن تحليل المقدار داخل القوسين كما يأتي: د󰍱٢(𞸎)=٦(٢𞸎+١).

وبما أن 𞹟(𞸎)=٢𞸎+١، يُمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: د󰍱٢(𞸎)=٦(𞹟(𞸎)).

علاوةً على ذلك، نعلم أن 𞸓(𞸎)=٣𞸎󰍱٢؛ إذن: د󰍱󰍱(𞸎)=٢𞸓(𞹟(𞸎)).

وأخيرًا: بما أن 𞹟(𞸎)=٢󰍱، نحصل على: د󰍱󰍱󰍱(𞸎)=𞹟(𞸎)𞸓(𞹟(𞸎)).

في المثال السابق، كانت لدينا الدالة د المُعرَّفة بأنها عبارة عن تركيب الدالتين 𞸓، 𞹟؛ أيْ إن: د(𞸎)=𞸓(𞹟(𞸎)).

وقد وجدنا أن مشتقة هذه الدالة تُعطَى بالعلاقة: د󰍱󰍱󰍱(𞸎)=𞹟(𞸎)𞸓(𞹟(𞸎)).

ومع أننا عرفنا ذلك بالنسبة إلى دالتين محدَّدتين، يُمكن تعميم القاعدة نفسها على أيِّ تركيب لدالتين قابلتين للاشتقاق؛ وتُعرَف هذه النتيجة بقاعدة السلسلة.

قاعدة: قاعدة السلسلة

إذا كانت لدينا الدالة 𞹟(𞸎) القابلة للاشتقاق عند 𞸎=𞸎٠، والدالة 𞸓(𞸋) القابلة للاشتقاق عند 𞹟󰁓𞸎󰁒٠، يكون تركيبهما د=𞸓𞹟 المُعرَّف بواسطة د(𞸎)=𞸓(𞹟(𞸎)) قابلًا للاشتقاق عند 𞸎٠، وتُعطَى مشتقته د󰍱٠󰁓𞸎󰁒 بالعلاقة: د󰍱٠󰍱٠󰍱٠󰁓𞸎󰁒=𞹟󰁓𞸎󰁒𞸓󰁓𞹟󰁓𞸎󰁒󰁒.

يُمكننا كتابة ذلك باستخدام ترميز ليبنتز على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎، حيث 𞸑=𞸓(𞸋)، 𞸋=𞹟(𞸎).

الجيد في استخدام ترميز ليبنتز هو أنه يجعل قاعدة السلسلة بديهية جدًّا؛ لأن الصورة الكسرية في الطرف الأيسر من المعادلة تُبسَّط إلى المقدار الموجود في الطرف الأيمن.

نفترض أن Δ𞸋 يمثِّل التغيُّر في 𞸋 نتيجة لتغيُّر 𞸎 الطفيف، Δ𞸎، ويُمكننا كتابته على الصورة: Δ𞸋=𞹟(𞸎+Δ𞸎)𞹟(𞸎).

هذا التغيُّر في 𞸋 يُناظِره تغيُّر في 𞸑: Δ𞸑=𞸓(𞸋+Δ𞸋)𞸓(𞸋).

يُمكننا الآن التفكير في خارج قسمة الفرقين: Δ𞸑Δ𞸎؛ إذا كان Δ𞸋٠، يُمكننا ضرب البسط والمقام في Δ𞸋، لنحصل على: Δ𞸑Δ𞸎=Δ𞸑Δ𞸋×Δ𞸋Δ𞸎.

يُمكننا حينها حساب النهايتين عندما يكون Δ𞸎٠، ونحصل على صيغة لقاعدة السلسلة. وهذا المنطق ليس جيدًا بما يكفي للبرهان؛ لأنه من المُمكِن أن يُساوي Δ𞸋 صفرًا، حتى إذا كان Δ𞸎٠. ومن ثم، لإثبات قاعدة السلسلة، علينا الانتباه لهذه النقطة. لكنْ مثل هذه البرهنة توضِّح مدى منطقية وبديهية صيغة قاعدة السلسلة.

لنتناول مثالًا نطبِّق فيه قاعدة السلسلة باستخدام ترميز ليبنتز.

مثال ٢: إيجاد المشتقات باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد مشتقة 𞸑=󰁓٢𞸎٣𞸎+٤󰁒٢٥٥.

الحل

هذا المثال يوضِّح حقًّا أهمِّية قاعدة السلسلة. من المُمكِن بالطبع فكُّ الأقواس والحصول على مقدار كثير الحدود، لكن حدوده عديدة. ولكن من الواضِح أن هذا سيتطلَّب حسابات جبرية كثيرة. بدلًا من ذلك، يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة التي سنُثبت هنا أنها أبسط وأقلُّ عُرضة للخطأ.

نبدأ بتحديد الدالتين الداخلية والخارجية. نجعل 𞸋=٢𞸎٣𞸎+٤٢، ثم نجعل 𞸑=𞸋٥٥. يُمكننا الآن إيجاد المشتقتين 𞸃𞸑𞸃𞸋، 𞸃𞸋𞸃𞸎. باستخدام قاعدة القوة، يكون لدينا: 𞸃𞸋𞸃𞸎=٤𞸎٣،𞸃𞸑𞸃𞸋=٥٥𞸋.٤٥

نعوِّض بـ 𞸋=٢𞸎٣𞸎+٤٢ في المقدار 𞸃𞸑𞸃𞸋، لنحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸋=٥٥󰁓٢𞸎٣𞸎+٤󰁒.٢٤٥

بالتعويض بهذا المقدار في صيغة قاعدة السلسلة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎، يُمكننا إيجاد مشتقة 𞸑، كما يأتي: 𞸑=٥٥󰁓٢𞸎٣𞸎+٤󰁒(٤𞸎٣).󰍱٢٤٥

كما رأينا في المثال الأخير، إحدى المهارات الأساسية في تطبيق قاعدة السلسلة هي تحديد تركيب الدالة.

لنتناول مثالًا آخَر نطبِّق فيه قاعدة السلسلة. في هذا المثال، سنَستخدِم ترميز الشرطة بدلًا من ترميز ليبنتز لقاعدة السلسلة.

مثال ٣: استخدام قاعدة السلسلة

أوجد مشتقة د(𞸎)=٢󰋴٢𞸎١.

الحل

الدالة د هي ناتج تركيب دالتين. علينا أولًا تحديد الاختيار الصحيح للدالتين الداخلية والخارجية. في هذه الحالة، الاختيار البديهي للدالة الداخلية هو 𞹟(𞸎)=٢𞸎١، وهو ما يجعل الدالة الخارجية 𞸓(𞸋)=٢󰋴𞸋. يُمكننا الآن إيجاد مشتقتَيْ 𞸓، 𞹟. باستخدام قاعدة القوة، نجد أن مشتقة الدالة 𞹟 هي ببساطة: 𞹟(𞸎)=٢.󰍱

وبالمثل يُمكننا استخدام قاعدة القوة لإيجاد مشتقة 𞸓: 𞸓(𞸋)=󰂔٢󰋴𞸋󰂓=٢󰂔𞸋󰂓=٢×١٢𞸋=١󰋴𞸋.󰍱󰍱󰍱١٢١٢

بالتعويض بكلِّ ذلك في صيغة قاعدة السلسلة: د󰍱󰍱󰍱(𞸎)=𞹟(𞸎)𞸓(𞹟(𞸎))، يُمكننا إيجاد مشتقة د، كما يأتي: د󰍱(𞸎)=٢󰃭١󰋴٢𞸎١󰃬=٢󰋴٢𞸎١.

في المثال السابق، كان الاختيار واضحًا للدالتين الداخلية والخارجية في قاعدة السلسلة. وعادة ما يكون هناك اختيار بديهي؛ لكنْ في بعض الأحيان سنَجِد أن هناك أكثر من خيار مُمكِن. في هذه الحالات، نحاول اختيار الدوال التي تقلِّل الجهد المبذول في الحلِّ. دعونا نتناول مثالًا نحتاج فيه إلى النظر في اختيار الدالتين الداخلية والخارجية بحرص.

مثال ٤: إيجاد قيمة المشتقة عند نقطة باستخدام قاعدة السلسلة

أوجد قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎، عند 𞸎=١؛ حيث 𞸑=١󰋴٤𞸎١٣.

الحل

في مسألة كهذه، يكون لدينا أكثر من خيار مُمكِن للدالتين الداخلية والخارجية. يُمكننا اختيار الدالة الداخلية لتكون 𞸋=󰋴٤𞸎١٣، وسيَنتُج عنها الدالة الخارجية 𞸑=١𞸋، أو ربما نختار الدالة الداخلية 𞸋=٤𞸎١٣، وسيَنتُج عنها الدالة الخارجية 𞸑=١󰋴𞸋. إذا اخترنا المثال الأول، فسنَجِد أن علينا تطبيق قاعدة السلسلة مرَّة ثانية لإيجاد مشتقة 󰋴٤𞸎١٣؛ ولهذا السبب، فإن الاختيار الثاني للدالتين الداخلية والخارجية أفضل؛ لأنه سيتطلَّب منَّا تطبيق قاعدة السلسلة مرَّة واحدة فقط. ولذا نختار 𞸋=٤𞸎١٣، 𞸑=١󰋴𞸋. باستخدام قاعدة القوة، يُمكننا إيجاد المشتقتين 𞸃𞸑𞸃𞸋، 𞸃𞸋𞸃𞸎، كما يأتي: 𞸃𞸋𞸃𞸎=٢١𞸎،𞸃𞸑𞸃𞸋=󰃭١󰋴𞸋󰃬=󰂔𞸋󰂓=١٢𞸋=١٢󰋴𞸋.٢󰍱󰍱٣١٢٣٢

بالتعويض عن 𞸋 بـ ٤𞸎١٣ في المقدار 𞸃𞸑𞸃𞸋، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸋=١٢󰋴(٤𞸎١).٣٣

بالتعويض بهذا في صيغة قاعدة السلسلة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=󰃭١٢󰋴(٤𞸎١)󰃬󰁓٢١𞸎󰁒=٦𞸎󰋴(٤𞸎١).٣٣٢٢٣٣

يُمكننا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار عند 𞸎=١، كما يأتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٦󰋴(٤١)=٦٣󰋴٣=٢٣󰋴٣.٣

في بعض الأحيان، قد نحتاج إلى تطبيق قاعدة السلسلة في حالات لا يُوجَد فيها مقدار لدالة معيَّنة، ولكن تتوافر لدينا معلومات عن قيمة المشتقة عند نقطة معيَّنة. السؤال الآتي مثال لذلك.

مثال ٥: تطبيق قاعدة السلسلة على دوالَّ مجهولة

إذا كان 𞸑=󰋴(𞸎)د، د󰍱(٤)=٢، د(٤)=٧، فأوجد قيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎، عند 𞸎=٤.

الحل

إذا كان 𞸑=󰋴(𞸎)د، يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة؛ حيث الدالة الداخلية 𞸋=(𞸎)د، والدالة الخارجية 𞸑=󰋴𞸋. نبدأ بحساب المشتقتين 𞸃𞸑𞸃𞸋، 𞸃𞸋𞸃𞸎، كما يأتي: 𞸃𞸑𞸃𞸋=١٢󰋴𞸋،𞸃𞸋𞸃𞸎=(𞸎).د󰍱

يُمكننا الآن التعويض بهذين المقدارين في قاعدة السلسلة، كما يأتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎=١٢󰋴(𞸎)(𞸎)=(𞸎)٢󰋴(𞸎).دددد󰍱󰍱

ولإيجاد قيمة ذلك عند 𞸎=٤، يكون لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=(٤)٢󰋴(٤).𞸎=٤󰍱دد

بالتعويض بـ د󰍱(٤)=٢، د(٤)=٧، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٢٢󰋴٧=󰋴٧٧.𞸎=٤

في المثال الأخير، سنتناول دالة عبارة عن تركيب لعدَّة دوالَّ.

مثال ٦: تطبيق قاعدة السلسلة عدَّة مرَّات

أوجد مشتقة الدالة 𞸑=󰋺𞸎+󰋷𞸎+󰋴𞸎.

الحل

أول ما علينا فعله هو تحديد الدالتين الخارجية والداخلية. نحدِّد 𞸋=𞸎+󰋷𞸎+󰋴𞸎؛ إذن 𞸑=󰋴𞸋. يُمكننا الآن اشتقاق كلِّ جزء من هذين الجزأين وتطبيق قاعدة السلسلة. نبدأ بإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸋، كما يأتي: 𞸃𞸑𞸃𞸋=١٢󰋴𞸋.

علينا الآن إيجاد مشتقة 𞸋 بالنسبة إلى 𞸎. اشتقاق الحدِّ الأول سهل، لكن الحدَّ الثاني عبارة عن تركيب دالتين. ومن ثم، لإيجاد مشتقة هذا الحدِّ، علينا تطبيق قاعدة السلسلة. نبدأ بكتابة: 𞸃𞸋𞸃𞸎=١+𞸃𞸃𞸎󰃁󰋷𞸎+󰋴𞸎󰃀.

نجعل 𞸏=󰋷𞸎+󰋴𞸎، بعد ذلك يُمكننا كتابة الدالة الداخلية على الصورة 𞸐=𞸎+󰋴𞸎، وهو ما يَنتُج عنه الدالة الخارجية 𞸏=󰋴𞸐. تعريف 𞸏 يُناظِر بالضبط تعريف 𞸑. ومن ثم، فإن مشتقتها ستكون: 𞸃𞸏𞸃𞸐=١٢󰋴𞸐.

يُمكننا الآن إيجاد مشتقة 𞸐 بالنسبة إلى 𞸎، ويُمكننا فعل ذلك بسهولة باستخدام قاعدة الضرب، كما يأتي: 𞸃𞸐𞸃𞸎=١+١٢󰋴𞸎=٢󰋴𞸎+١٢󰋴𞸎.

يُمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة على 𞸏، لنحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸎=𞸃𞸏𞸃𞸐×𞸃𞸐𞸃𞸎=١٢󰋷𞸎+󰋴𞸎󰃭٢󰋴𞸎+١٢󰋴𞸎󰃬=٢󰋴𞸎+١٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎.

نعوِّض بهذا في المقدار 𞸃𞸋𞸃𞸎، لنحصل على: 𞸃𞸋𞸃𞸎=١+٢󰋴𞸎+١٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎=٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎+٢󰋴𞸎+١٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎.

يُمكننا الآن تطبيق قاعدة السلسلة على 𞸑، كما يأتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎=١٢󰋺𞸎+󰋷𞸎+󰋴𞸎٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎+٢󰋴𞸎+١٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎=٤󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎+٢󰋴𞸎+١٨󰋴𞸎󰋷𞸎+󰋴𞸎󰋺𞸎+󰋷𞸎+󰋴𞸎.

عندما نطبِّق قاعدة السلسلة عدَّة مرَّات، يجب أن نطبِّقها باستخدام النَّهْج من الخارج إلى الداخل، كما لو كنَّا نقشِّر طبقات من البَصَل. ومن ثمَّ، علينا إيجاد الدالة الخارجية، ثم التعامل مع الدالة الداخلية، وهو ما قد يتطلَّب تطبيقًا جديدًا لقاعدة السلسلة.

لنلخِّص بعض النقاط المُهِمَّة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • تنصُّ قاعدة السلسلة على أنه، إذا كانت لدينا الدالة 𞹟 القابلة للاشتقاق عند 𞸎٠، والدالة 𞸓 القابلة للاشتقاق عند 𞹟󰁓𞸎󰁒٠، فإن تركيبهما د=𞸓𞹟 المُعرَّف بواسطة د(𞸎)=𞸓(𞹟(𞸎)) قابل للاشتقاق عند 𞸎٠، وتُعطَى مشتقته د󰍱 بالعلاقة: د󰍱٠󰍱٠󰍱٠󰁓𞸎󰁒=𞹟󰁓𞸎󰁒𞸓󰁓𞹟󰁓𞸎󰁒󰁒. ويُمكننا كتابة ذلك باستخدام ترميز ليبنتز على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸋×𞸃𞸋𞸃𞸎، حيث 𞸑=𞸓(𞸋)، 𞸋=𞹟(𞸎).
  • أحيانًا سنَجِد أن هناك أكثر من خيار واحد مُمكِن. في هذه الحالات، نحاول اختيار الدوال التي تقلِّل الجهد المبذول في الحلِّ.
  • عندما نشتق تركيب ثلاث دوالَّ أو أكثر، علينا تطبيق قاعدة السلسلة عدَّة مرَّات. نبدأ بالدالة الخارجية، ومشتقة الدالة الداخلية ستتطلَّب تطبيق قاعدة السلسلة مرَّة إضافية.

حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز»

احضر حصصك، ودردش مع معلمك وزملائك، واطَّلِع على أسئلة متعلقة بفصلك. حمِّل تطبيق «نجوى كلاسيز» اليوم!

التحميل على الكمبيوتر

Windows macOS Intel macOS Apple Silicon

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية