نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية اشتقاق الدوال المركبة بتطبيق قاعدة السلسلة. سنرى أولًا كيفية تطبيق هذه القاعدة على الدوال البسيطة. ثم سننتقل إلى دوال أكثر تعقيدًا كالدوال المثلثية ومقلوبات الدوال المثلثية.
لنراجع معًا أولًا مفهوم الدوال المركبة. وهي بالأساس عبارة عن دوال لدالة. لنفترض أن لدينا دالتين، ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد خمسة وﺭﺱ تساوي ﺱ تكعيب. سنحصل على الدالتين المركبتين ﺩ لـ ﺭﺱ وﺭ لـ ﺩﺱ إذا ركبنا هاتين الدالتين بأي ترتيب. نطبق دالة، ثم نطبق الأخرى.
ﺩ لـ ﺭﺱ تعني أننا طبقنا الدالة ﺭ أولًا، وهو ما أعطانا ﺱ تكعيب. نأخذ هذا الناتج كمدخل للدالة ﺩ، وهو ما يعطينا اثنين ﺱ تكعيب زائد خمسة. وﺭ لـ ﺩﺱ هي الدالة المركبة التي سنحصل عليها إذا طبقنا ﺩ أولًا، فإننا نحصل بذلك على اثنين ﺱ زائد خمسة، ثم نأخذ هذا الناتج كمدخل للدالة ﺭ، وهو ما يعطينا اثنين ﺱ زائد خمسة الكل تكعيب. عند توزيع الأقواس والتبسيط، نحصل على ثمانية ﺱ تكعيب زائد ٦٠ﺱ تربيع زائد ١٥٠ﺱ زائد ١٢٥.
إذن، عرفنا الآن كيفية تركيب الدوال. ولكن ماذا عن إيجاد مشتقاتها؟ حسنًا، في هذه الحالة، إذا كان المطلوب منك هو إيجاد مشتقة ﺩ لـ ﺭﺱ أو مشتقة ﺭ لـ ﺩﺱ، فلن يكون ذلك صعبًا بدرجة كبيرة. وذلك لأننا نستطيع تركيب الدوال أولًا، ثم التعامل معها جبريًا، ثم اشتقاق الدالة كثيرة الحدود الناتجة.
ولكن لنفترض، بدلًا من ذلك، أن أس ﺱ في الدالة ﺭﺱ كان ١٠ أو ٢٠ وليس ثلاثة فحسب، عندئذ سنستغرق الكثير من الوقت والمجهود في توزيع كل هذه الأقواس للوصول إلى دالة كثيرة الحدود. إذن، سيكون من الأنسب بكثير أن تكون لدينا قاعدة تسمح لنا باشتقاق دالة مركبة. وثمة قاعدة بالفعل. وتسمى قاعدة السلسلة.
سنشرح فكرة قاعدة السلسلة بإيجاد مشتقة الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ أولًا. عرفنا الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ لتكونا اثنين ﺱ زائد خمسة وﺱ تكعيب، على الترتيب. ورأينا أن الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد خمسة الكل تكعيب، وهو ما يبسط إلى ثمانية ﺱ تكعيب زائد ٦٠ﺱ تربيع زائد ١٥٠ﺱ زائد ١٢٥. لنبدأ إذن بإيجاد مشتقة هذه الدالة.
لنفعل هذا علينا تذكر قاعدة القوى، والتي تنص على أن المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لـ ﺃ، حيث ﺃ عدد ثابت، مضروبة في ﺱ أس ﻥ تساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. ونذكر أنه لإيجاد مشتقة مجموع أو فرق عدة حدود، فإنه يمكننا ببساطة اشتقاق كل حد بمفرده ثم جمع المشتقات معًا.
إذن، اشتقاق ﺭ لـ ﺩﺱ يعطينا المشتقة ﺭ لـ ﺩﺱ شرطة، وهو ما يساوي ٢٤ﺱ تربيع زائد ١٢٠ﺱ زائد ١٥٠. تذكر أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. ومن ثم، عند اشتقاق هذا الحد الذي هو موجب ١٢٥، فإنه سيعطينا صفرًا فحسب. والآن لنر ما إذا كان يمكننا التعامل مع هذه المشتقة لنعرف إن كان بوسعنا تحديد أي علاقة بين مشتقتي كل من ﺩ وﺭ على حدة.
أولًا، سنأخذ ستة عاملًا مشتركًا، ليصبح لدينا ستة مضروبًا في أربعة ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ٢٥. وربما نلاحظ من ذلك أن أربعة ﺱ تربيع زائد ٢٠ﺱ زائد ٢٥ هو في الواقع مربع كامل. ويساوي اثنين ﺱ زائد خمسة الكل تربيع. وحيث إن اثنين ﺱ زائد خمسة هو التعبير الدال عن ﺩﺱ، فهذا يساوي في الواقع ﺩﺱ تربيع. ولكن ماذا عن الستة؟ حسنًا، ستة يساوي اثنين في ثلاثة. إذن، يمكننا كتابة المشتقة كاملة على الصورة اثنين في ثلاثة في ﺩﺱ الكل تربيع. لكن كيف يساعدنا هذا؟
حسنًا، لنر ذلك، علينا إيجاد مشتقتي ﺩ وﺭ. بتطبيق قاعدة القوى، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي اثنين وﺭ شرطة ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع. إذن، اثنان في مشتقة الدالة المركبة هو نفسه ﺩ شرطة ﺱ. ثلاثة في ﺩﺱ الكل تربيع هي في الواقع مشتقة ﺭ عند ﺩﺱ. وﺭ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع. إذن ﺭ شرطة لـ ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺩﺱ تربيع.
ماذا وجدنا إذن؟ حسنًا، في هذا المثال، وجدنا أن مشتقة ﺭ لـ ﺩﺱ تساوي مشتقة ﺩ، أي مشتقة الدالة الداخلية، مضروبة في مشتقة ﺭ، أي مشتقة الدالة الخارجية، والتي ما تزال متضمنة للدالة الداخلية. هذا إذن توضيح لقاعدة السلسلة. ولا يعد إثباتًا لها، حيث إن هذا لا يقع في نطاق ما سنتناوله في هذا الفيديو.
تنص قاعدة السلسلة إذن على أن مشتقة الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ تساوي ﺩ شرطة ﺱ مضروبة في ﺭ شرطة لـ ﺩﺱ. يمكننا أيضًا التعبير عن قاعدة السلسلة باستخدام صيغة لايبنز. إذا كان ﺹ يساوي ﺭ لـ ﺩﺱ، وافترضنا أن ﻉ يساوي ﺩﺱ بحيث يصبح ﺹ مساويًا لـ ﺭ لـ ﻉ؛ أي يصبح دالة في المتغير ﻉ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ ستساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبة في ﺩﻉ على ﺩﺱ.
قد يبدو الأمر معقدًا إلى حد ما، ولكن الخطوات سهلة ومباشرة نسبيًا كما سنرى في الأمثلة. ستفيدنا صيغة لايبنز كثيرًا؛ لأنها تجعل قاعدة السلسلة أسهل نوعًا ما. تذكر أن إيجاد المشتقات يتعلق في الأساس بالتغيرات الطفيفة التي تحدث في ﺱ. إذن لنفترض أن 𝛥ﻉ يمثل تغيرًا طفيفًا في ﻉ ناتجًا عن تغير طفيف في ﺱ.
لإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ؛ أي ﺩﺹ على ﺩﺱ، نفترض معدل التغير 𝛥ﺹ على 𝛥ﺱ. نجد أنه بضرب كل من البسط والمقام في 𝛥ﻉ، وهو ما لا يساوي صفرًا على الإطلاق، ثم بإعادة ترتيب الحدود، نحصل على 𝛥ﺹ على 𝛥ﻉ مضروبًا في 𝛥ﻉ على 𝛥ﺱ. وعند اقتراب 𝛥ﺱ من الصفر، سيقترب كذلك كل من 𝛥ﻉ و𝛥ﺹ، وهو ما يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبة في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهذه هي قاعدة السلسلة. تتيح لنا قاعدة السلسلة اشتقاق مجموعة متنوعة من الدوال المعقدة. فلنستعرض بعض الأمثلة.
أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة أس ستة.
نلاحظ هنا أن هذا مثال لدالة مركبة. لنفترض أن الدالة الأولى هي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة والثانية هي ﺱ أس ستة. ومن ثم، نأخذ خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة مدخلًا للدالة الثانية، وهو ما يعطينا خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة الكل أس ستة. وبما أن هذه دالة مركبة، فإنه يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة.
تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻉ وﻉ دالة في ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبة في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وعلينا إذن أن نحدد كيف سنختار الدالة ﻉ. حسنًا، نأخذ ﻉ لتكون الدالة الأولى. وهي الجزء الذي يقع بين القوسين، ﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة. إذن تصبح ﺹ دالة في ﻉ. وﺹ يساوي ﻉ أس ستة، وﻉ دالة في ﺱ.
علينا إيجاد كل من ﺩﺹ على ﺩﻉ وﺩﻉ على ﺩﺱ، وهو ما يمكننا فعله بتطبيق قاعدة القوى. في حالة ﺩﺹ على ﺩﻉ، علينا فقط أن نتخيل أن كل حدود ﺱ هي ﻉ. وبذلك يصبح لدينا ﺩﺹ على ﺩﻉ تساوي ستة ﻉ أس خمسة، أما ﺩﻉ على ﺩﺱ فتساوي ١٠ﺱ. والآن، نكتب قاعدة السلسلة ونجري التعويضات اللازمة، وهو ما يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ستة ﻉ أس خمسة مضروبة في ١٠ﺱ.
ثمة نقطة مهمة جدًا هنا. مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﺱ يجب أن تكون بدلالة ﺱ، ولكن حتى الآن، ما يزال المتغير ﻉ موجودًا. إذن يجب التأكد من عكس خطوة التعويض. ﻉ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة، إذن يصبح لدينا ستة مضروبًا في خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة أس خمسة مضروبًا في ١٠ﺱ. ثم بالتبسيط، نجد أن المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة أس ستة هي ٦٠ﺱ مضروبًا في خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة أس خمسة.
يوضح هذا تطبيقًا رائعًا حقًا لقاعدة السلسلة، وفي الواقع قاعدة عامة لإيجاد مشتقة محتوى قوس مرفوع لقوة. إذا عبرنا عن المشتقة بـ ١٠ﺱ في ستة مضروبًا في خمسة ﺱ تربيع ناقص ستة أس خمسة، فسنجد أن الناتج هو مشتقة محتوى القوس، أو مشتقة ما بين القوسين، وهو ١٠ﺱ، مضروبًا في الأس الأصلي، وهو ستة، مضروبًا في القوس المرفوع للقوة الأصلية مطروحًا منه واحدًا.
ويقودنا ذلك إلى قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوى. تنص القاعدة على أنه إذا كان لدينا دالة ﺩﺱ مرفوعة لقوة، فإن المشتقة تساوي ﺩ شرطة ﺱ، أي مشتقة ما بين القوسين، مضروبة في ﻥ ثم في ﺩﺱ مرفوعة للأس ناقص واحد، أي ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد. ويفيد هذا بوجه خاص عندما يكون لدينا أسس كبيرة حقًا. لنر إذن مثالًا آخر على تطبيق هذه القاعدة.
أوجد مشتقة ﺹ تساوي سالب اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة أس ٥٥.
تتجلى هنا أهمية قاعدة السلسلة. إذا كان لدينا أس كبير مثل ٥٥، فلن نفضل بالتأكيد توزيع كل الأقواس. وإنما سنستخدم بدلًا من ذلك قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوى، والتي تنص على أن مشتقة ﺩﺱ أس ﻥ تساوي ﺩ شرطة ﺱ مضروبة في ﻥ مضروبًا في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد.
وبالتالي، فإن ﺩﺱ ستكون الدالة الموجودة بين القوسين، وهي سالب اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة. يمكننا استخدام قاعدة القوى لاشتقاق ﺩﺱ، وهو ما يعطينا سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة. يمكننا الآن إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. وهذه تساوي ﺩ شرطة ﺱ، أي سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة، مضروبًا في ﻥ، أي ٥٥، مضروبًا في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة أس ٥٤.
لا داعي هنا لفك الأقواس. إذن وجدنا أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ٥٥ مضروبًا في سالب أربعة ﺱ ناقص ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد أربعة أس ٥٤. وتوصلنا إلى ذلك عن طريق تطبيق قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوى.
كما يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة أكثر من مرة في المسألة نفسها. لنر مثالًا على ذلك.
أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ تساوي الجذر التربيعي لثمانية ﺱ ناقص جا تسعة ﺱ أس ثمانية.
لدينا هنا ﺹ تساوي الجذر التربيعي لدالة أخرى؛ أي إن لدينا دالة مركبة. ومن ثم، سنطبق قاعدة السلسلة. سنحدد الدالة ﻉ لتكون الدالة الموجودة تحت الجذر التربيعي، إذن ﻉ تساوي ثمانية ﺱ ناقص جا تسعة ﺱ أس ثمانية. بعد ذلك لدينا ﺹ تساوي الجذر التربيعي لـ ﻉ، وهو ما يمكننا التعبير عنه بالصورة الأسية ﻉ أس نصف.
تنص قاعدة السلسلة على أن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبة في ﺩﻉ على ﺩﺱ. علينا إذن إيجاد كل من هذه المشتقات. المشتقة ﺩﺹ على ﺩﻉ مباشرة نسبيًا. وباستخدام قاعدة القوى، نحصل على نصف ﻉ أس سالب نصف. في حالة ﺩﻉ على ﺩﺱ، مشتقة ثمانية ﺱ تساوي ثمانية فحسب. ولكن ماذا عن مشتقة جا تسعة ﺱ أس ثمانية؟
علينا في الواقع تطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى. لنفترض أن ﺭ تساوي هذه الدالة. يمكننا تغيير ذلك قليلًا لنكتبه على صورة جا تسعة ﺱ أس ثمانية. هذه الصورة مكافئة للأولى، ولكنها ربما توضح بقدر أكبر قليلًا كيف سنوجد المشتقة.
نتذكر قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوى التي تنص على أنه إذا كان لدينا دالة ﺩﺱ مرفوعة لأس ﻥ، فإن مشتقتها تساوي ﺩ شرطة ﺱ مضروبة في ﻥ مضروبًا في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد. لدينا هنا دالة، وهي جا تسعة ﺱ مرفوعة لأس ثمانية؛ ومن ثم يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوى. وعلينا تذكر قاعدة أخرى تنص على أن المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لـ جا ﺃﺱ تساوي ﺃ في جتا ﺃﺱ.
هيا نبدأ. مشتقة الجزء الموجود داخل القوسين تساوي تسعة في جتا تسعة ﺱ. نضرب بعد ذلك في الأس ثمانية. ثم نكتب الدالة الموجودة داخل القوسين مرة أخرى، ولكن مع طرح واحد من الأس. بالتبسيط يصبح لدينا ٧٢ في جتا تسعة ﺱ جا أس سبعة تسعة ﺱ. والآن بعد أن وجدنا كلًا من ﺩﺹ على ﺩﻉ وﺩﻉ على ﺩﺱ، يمكننا التعويض في قاعدة السلسلة.
لدينا بعد ذلك ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي نصف ﻉ أس سالب نصف مضروبًا في ثمانية ناقص ٧٢ جتا تسعة ﺱ جا تسعة ﺱ أس سبعة. يجب أيضًا أن نتذكر أن نعوض عن ﻉ بدلالة ﺱ. إذن، ﻉ يساوي ثمانية ﺱ ناقص جا تسعة ﺱ أس ثمانية. وسنبسط الكسور أيضًا. بالقسمة على المقام وهو اثنان، يصبح لدينا المعاملان أربعة و٣٦ في البسط.
ونذكر أيضًا أن ﻉ أس سالب نصف تساوي واحد على جذر ﻉ. إذن، المشتقة ﺩﺹ على ﺩﺱ تبسط إلى أربعة ناقص جتا ٣٦ تسعة ﺱ جا تسعة ﺱ أس سبعة الكل على الجذر التربيعي لثمانية ﺱ ناقص جا تسعة ﺱ أس ثمانية.
وهكذا رأينا في هذه المسألة كيف يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة أكثر من مرة في مسألة واحدة. وفي الواقع، يمكننا تطبيقها كلما استدعى الأمر ذلك.
والآن، لنذكر أنفسنا ببعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تفيد قاعدة السلسلة في اشتقاق الدوال المركبة، التي هي عبارة عن دوال لدوال أخرى. إذا كان ﺹ يساوي الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ﺩ شرطة ﺱ، وهي مشتقة الدالة الداخلية، مضروبة في ﺭ شرطة لـ ﺩﺱ. وهي مشتقة الدالة الخارجية التي ما تزال متضمنة للدالة الداخلية.
رأينا أيضًا أنه عند التعويض بـ ﻉ يساوي ﺩﺱ، فإن ﺹ تصبح دالة في ﻉ. يمكن التعبير عن قاعدة السلسلة بالصورة ﺩﺹ على ﺩﺱ تساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبة في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وهنا، نوجد مشتقة ﺹ بالنسبة لـ ﻉ ثم نضرب في مشتقة ﻉ بالنسبة لـ ﺱ. يجب أن نتأكد من إلغاء خطوة التعويض في النهاية، لتكون ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ فقط.
تعرفنا أيضًا قاعدة السلسلة الموسعة بما يشمل قاعدة القوى، والتي تنص على أن مشتقة دالة ﺩﺱ أس ﻥ تساوي ﺩ شرطة ﺱ مضروبة في ﻥ مضروبة في ﺩﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة بأي عدد نريده من المرات في مسألة واحدة. قاعدة السلسلة أداة مهمة حقًا. ويتيح لنا ذلك اشتقاق مجموعة متنوعة حقًا من الدوال.
