فيديو السؤال: اشتقاق الدوال اللوغاريتمية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ سالب خمسة ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تربيع.

إذن، هذه هي الدالة المطلوبة للاشتقاق، وهي في الواقع دالة لدالة. وطريقة اشتقاق دالة لدالة تكون باستخدام قاعدة السلسلة. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كان ﺹ يساوي دﻉ وﻉ يساوي رﺱ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي دﺹ على دﻉ مضروبًا في دﻉ على دﺱ. وفي هذا السؤال ﻉ هي الدالة الداخلية سالب خمسة ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تربيع. وﺹ هي الدالة الخارجية اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ.

يمكننا أن نلاحظ من صيغة قاعدة السلسلة أننا سنحتاج إلى دﺹ على دﻉ ودﻉ على دﺱ. دعونا إذن نوجد دﺹ على دﻉ أولًا. حسنًا، ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ. ومن ثم، سنشتق ذلك بالنسبة إلى ﻉ. ولإجراء ذلك نتذكر القاعدة العامة التي تخبرنا بأنه إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. إذن، بالنسبة إلى ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻉ، فإن دﺹ على دﻉ يساوي واحدًا على ﻉ.

حسنًا، علينا الآن إيجاد دﻉ على دﺱ. وتذكر أن لدينا ﻉ يساوي سالب خمسة ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تربيع. وقبل أن نشتق ذلك دعونا نتذكر قاعدة القوة للاشتقاق. وهذا يعني أنه إذا كان ﺹ يساوي ﺃﺱ أس ﻥ، فإن دﺹ على دﺱ يساوي ﻥﺃﺱ أس ﻥ ناقص واحد. بوضع ذلك في الاعتبار، فإن دﻉ على دﺱ يساوي سالب ٢٠ﺱ أس ثلاثة زائد أربعة ﺱ.

والآن بتطبيق صيغة قاعدة السلسلة، فإن دﺹ على دﺱ يساوي واحدًا على ﻉ مضروبًا في سالب ٢٠ﺱ أس ثلاثة زائد أربعة ﺱ، وهو ما يمكننا كتابته على صورة كسر واحد. كما نتذكر أننا عرفنا بالفعل ﻉ على أنه سالب خمسة ﺱ أس أربعة زائد اثنين ﺱ تربيع.

ولكي نبسط ذلك، بما أن لدينا سالب هنا وهنا، فسنضرب في سالب واحد على سالب واحد لنحصل على ٢٠ﺱ أس ثلاثة ناقص أربعة ﺱ على خمسة ﺱ أس أربعة ناقص اثنين ﺱ تربيع. ويمكننا بالفعل أخذ ﺱ عاملًا مشتركًا في كل من البسط والمقام. وهو ما يعني أنه يمكننا حذف ﺱ من البسط والمقام. وهذا يعطينا ٢٠ﺱ تربيع ناقص أربعة على خمسة ﺱ أس ثلاثة ناقص اثنين ﺱ. وللحصول على إجابتنا النهائية سنأخذ ﺱ عاملًا مشتركًا في المقام. وهذه هي الإجابة النهائية.