فيديو السؤال: بحث وجود نهاية دالة متعددة التعريف عند نقطة معينة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ابحث وجود نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من أربعة، إذا كانت ﺩﺱ تساوي ستة لكل قيم ﺱ الأصغر من أربعة، وﺩﺱ تساوي اثنين لكل قيم ﺱ الأكبر من أربعة.

في هذا السؤال، لدينا دالة متعددة التعريف ﺩﺱ، ومطلوب منا بحث وجود نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من أربعة. قبل أن نتذكر ما نقصده بوجود نهاية، علينا البدء بإلقاء نظرة على قيم الدالة حول القيمة ﺱ يساوي أربعة. وسنفعل ذلك لعدة أسباب. السبب الأول هو أنه يوجد الكثير من الطرق المختلفة التي يمكن من خلالها أن تكون النهاية غير موجودة. من ثم بدلًا من تذكر جميع هذه الطرق المختلفة، علينا البدء بإلقاء نظرة على مخرجات الدالة بالقرب من ﺱ يساوي أربعة. كما يمكننا بعد ذلك التعرف على المشاكل التي تواجهنا عندما نحاول إيجاد قيمة هذه النهاية.

يوجد سبب آخر، وهو أن الدالة التي لدينا دالة متعددة التعريف. هذا يعني أنها مكونة من عدة دوال جزئية مختلفة معرفة على عدة مجالات جزئية مختلفة. على وجه التحديد، إحدى المشكلات التي يمكن أن تواجهنا هي عندما تقع نقطة النهاية عند أحد أطراف المجالات الجزئية للدالة الجزئية. هذا يعني أن الدالة تكون معرفة بشكل مختلف على يسار نقطة النهاية وعلى يمينها. يمكننا ملاحظة أن هذا ما يحدث في هذه الحالة. القيمة أربعة هي أحد طرفي المجالين الجزئيين للدالة ﺩﺱ.

نلاحظ هنا أمرًا مثيرًا للاهتمام. عندما تكون القيم المدخلة ﺱ أصغر من أربعة، فإن الدالة ﺩﺱ تعطي قيمة مخرجة ثابتة مقدارها ستة. لكن عندما تكون القيم المدخلة ﺱ أكبر من أربعة، فإن الدالة تعطي قيمة مخرجة ثابتة مقدارها اثنان. إذن، يبدو أن للدالة نهايتين يسرى ويمنى مختلفتين عندما يقترب ﺱ من أربعة. يمكننا استخدام ذلك لبحث وجود هذه النهاية.

نتذكر أننا نقول إن نهاية دالة ما ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تكون موجودة وتساوي قيمة منتهية ما ﻝ، إذا كانت نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ من جهة اليمين، ونهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ من جهة اليسار، موجودتين وكل منهما تساوي ﻝ. بعبارة أخرى، لكي تكون نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ موجودة، علينا التأكد من ثلاثة أمور. أولًا: علينا التأكد من أن النهاية موجودة عندما يقترب ﺱ من ﺃ من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ. ثانيًا: علينا التأكد من أن النهاية موجودة عندما يقترب ﺱ من ﺃ من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ. ثالثًا: علينا التأكد من أن كلتا النهايتين تساويان القيمة ﻝ نفسها.

لكننا نلاحظ أن هذا ليس ما يحدث هنا. على سبيل المثال، يمكننا التأكد من هذه الأمور الثلاثة برسم تمثيل بياني. لكن يمكننا أيضًا إجراء ذلك مباشرة باستخدام النهايات. لنبدأ بإيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ. بما أننا نحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليسار، فإننا نهتم بقيم ﺱ الأصغر من أربعة. في هذه الحالة، الدالة ﺩﺱ تساوي قيمة ثابتة مقدارها ستة. من ثم هذه النهاية تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليسار للدالة التي تساوي ستة. لكن القيمة ستة ثابتة؛ لذا فإن قيمتها لا تتغير بتغير قيمة ﺱ. إذن، قيمة هذه النهاية تساوي ستة.

يمكننا تطبيق الطريقة نفسها لتحديد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ. هذه المرة تكون القيم المدخلة ﺱ أكبر من أربعة. إذن الدالة ﺩﺱ تساوي القيمة الثابتة اثنين. من ثم هذه النهاية تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليمين للدالة التي تساوي اثنين. وبما أن اثنين قيمة ثابتة، فإن قيمة هذه النهاية تساوي اثنين. إذن، النهاية اليسرى تساوي ستة، والنهاية اليمنى تساوي اثنين. نلاحظ أن هاتين النهايتين غير متساويتين. لذا يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة للدالة ﺩﺱ غير موجودة.

يمكننا تحديدًا استخدام الترميز: قيمة ﺩ عند أربعة من جهة اليسار ليمثل النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليسار للدالة ﺩﺱ، واستخدام الترميز: قيمة ﺩ عند أربعة من جهة اليمين ليمثل النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليمين للدالة ﺩﺱ. إذن، نستنتج أن النهاية غير موجودة؛ لأن قيمة ﺩ عند أربعة من جهة اليسار لا تساوي قيمة ﺩ عند أربعة من جهة اليمين.

من الجدير بالذكر أنه يمكننا التأكد من هذه الإجابة عن طريق تناول التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ. الدالة ﺩﺱ تساوي قيمة ثابتة مقدارها ستة عندما تكون قيمة ﺱ أصغر من أربعة، وتساوي قيمة ثابتة مقدارها اثنان عندما تكون قيمة ﺱ أكبر من أربعة. إذن، يكون لدينا الخط الأفقي 𝑦 يساوي ستة عندما تكون قيمة ﺱ أصغر من أربعة. ويكون لدينا الخط الأفقي 𝑦 يساوي اثنين عندما تكون قيمة ﺱ أكبر من أربعة. هذا يعطينا التمثيل البياني الموضح. يمكننا بعد ذلك ملاحظة النهايتين اليسرى واليمنى من الشكل. عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليسار، فإن المخرجات تساوي قيمة ثابتة مقدارها ستة. إذن قيمة النهاية اليسرى تساوي ستة. لكن عندما تقترب قيم ﺱ من أربعة من جهة اليمين، فإن المخرجات تساوي قيمة ثابتة مقدارها اثنان. من ثم قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة من جهة اليمين تساوي اثنين. نلاحظ أن النهايتين غير متساويتين. إذن يمكننا أن نستنتج أيضًا أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من أربعة غير موجودة؛ لأن قيمة ﺩ عند أربعة من جهة اليسار لا تساوي قيمة ﺩ عند أربعة من جهة اليمين.