فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين ممثلين على شبكة رسم الفيزياء • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. طول ضلع كل مربع من مربعات شبكة الرسم في الشكل يساوي واحدًا. احسب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏.

مطلوب منا حساب حاصل الضرب القياسي، ويسمى أيضًا الضرب النقطي، للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. هذان المتجهان ممثلان في الشكل. ونظرًا لأن طول ضلع كل مربع من المربعات يساوي واحدًا، نلاحظ أن المتجه ‪𝐀‬‏ طوله خمس وحدات، واتجاهه إلى اليمين مباشرة. نلاحظ أيضًا أن المتجه ‪𝐁‬‏ طوله أربع وحدات، واتجاهه لأعلى مباشرة.

الآن بعد أن عرفنا القليل عن المتجهين لدينا، دعونا نسترجع كيف نحسب حاصل الضرب القياسي. إحدى طرق حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين هي ضرب المركبتين المناظرتين لكل من المتجهين، ثم جمع حاصلي الضرب هذين. إذن، حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ يساوي مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ في مركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ زائد مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ في مركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏. يمكننا أيضًا حساب حاصل الضرب القياسي من خلال العلاقة: مقدار ‪𝐀‬‏ في مقدار ‪𝐁‬‏ في جيب تمام الزاوية المحصورة بين المتجهين، ويرمز لها بالحرف اليوناني ‪𝜃‬‏.

في الشكل الذي لدينا، الزاوية المحصورة بين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ هي هذه الزاوية هنا. وكما نلاحظ، بما أن ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ موازيان لضلعي أحد مربعات الشبكة، فإن قياس هذه الزاوية لا بد أن يساوي 90 درجة. لاحظ أن هاتين الطريقتين لحساب حاصل الضرب القياسي تعطيان الإجابة نفسها على الرغم من أن هذا لا يكون واضحًا عند البدء في الحل. وفي بعض الحالات الهندسية الأكثر تعقيدًا، نستخدم بالفعل العلاقة الثانية لتعريف الزاوية المحصورة بين متجهين. على أي حال، بما أن الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين قياسها 90 درجة، فإن هذا يعني أنهما متعامدان، وهو ما يعني أن بإمكاننا بالفعل أن نتجاوز العملية الحسابية كلها باسترجاع أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين متعامدين يساوي صفرًا.

لاحظ أن هذا هو العدد صفر، وليس المتجه الصفري؛ لأن الضرب القياسي دائمًا ما يعطي كمية قياسية. ولهذا السبب، فإنه يسمى الضرب القياسي. على أي حال، نعرف أن الإجابة لا بد أن تكون صفرًا. لكن دعونا نتحقق من هذا بحساب حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ بهاتين الطريقتين. لكي نستخدم مجموع حاصلي ضرب المركبتين المناظرتين، علينا أن نعرف المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. على الشكل لدينا، قد نستخدم أيضًا مجموعة المحاور الكارتيزية، حيث ‪𝑥‬‏ هو المحور الأفقي، ويتزايد باتجاه اليمين، و‪𝑦‬‏ هو المحور الرأسي، ويتزايد لأعلى.

موضع نقطة الأصل لهذين المحورين غير مهم. المهم أننا عرفنا الاتجاهين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكي نتمكن من تعريف المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكل متجه من المتجهين. لإيجاد المركبة ‪𝑥‬‏ لكل متجه من المتجهين، ننظر إلى عدد مربعات شبكة الرسم بين ذيل كل متجه ورأسه على طول الاتجاه ‪𝑥‬‏. بالنسبة للمتجه ‪𝐀‬‏، يبعد الذيل عن الرأس خمس وحدات على طول المحور ‪𝑥‬‏، ومن ثم، فإن ‪𝐀𝑥‬‏ يساوي خمس وحدات. بالنسبة للمتجه ‪𝐁‬‏، الذيل والرأس لهما قيمة ‪𝑥‬‏ نفسها، ومن ثم، فإنهما على بعد صفر وحدة على المحور ‪𝑥‬‏. إذن، ‪𝐁𝑥‬‏ يساوي صفرًا. بفعل الأمر نفسه مع المركبتين ‪𝑦‬‏، من ذيل ‪𝐁‬‏ إلى رأسه، نتحرك أربع وحدات في الاتجاه الموجب من المحور ‪𝑦‬‏. إذن، فإن ‪𝐁𝑦‬‏ يساوي أربعة، ومن ذيل ‪𝐀‬‏ إلى رأسه، لا نتحرك أي وحدات في الاتجاه ‪𝑦‬‏ على الإطلاق. وعليه، فإن ‪𝐀𝑦‬‏ يساوي صفرًا.

بإجراء الضرب القياسي لهاتين المجموعتين من المركبات، نجد أن حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي خمسة في صفر زائد صفر في أربعة. لكن صفرًا في أي قيمة يساوي صفرًا، إذن خمسة في صفر يساوي صفرًا، وصفر في أربعة يساوي صفرًا. لدينا صفر زائد صفر، وهو ما يساوي صفرًا. والآن، لحساب حاصل الضرب القياسي باستخدام المقادير والزوايا، نجد أنه لدينا بالفعل كل المعلومات التي نحتاج إليها. مقدار ‪𝐀‬‏ يساوي خمسة، ومقدار ‪𝐁‬‏ يساوي أربعة، وقياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي 90 درجة. إذن، فإن حاصل الضرب القياسي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي خمسة في أربعة في 90 cos درجة. لكن 90 cos درجة يساوي صفرًا. إذن، لدينا خمسة في أربعة في صفر، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا.

هذا هو الأساس الرياضي للحقيقة التي ذكرناها سابقًا. المتجهان المتعامدان يلتقيان في زاوية قائمة، وجيب تمام الزاوية القائمة يساوي صفرًا. لذا، أيًّا كان مقدارا هذين المتجهين، فإن حاصل الضرب القياسي لهما يساوي صفرًا دائمًا. إذن، سواء حسبنا حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ باستخدام مركبات المتجهين، أو باستخدام مقداريهما والزاوية المحصورة بينهما، أو ببساطة بمعرفة معامل المتجهين المتعامدين، نجد أن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ يساوي صفرًا. وهذه هي الإجابة التي نبحث عنها.