فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجه الوحدة الأساسي في نفسه الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

بالنسبة لمتجهات الوحدة ﺱ، ﺹ، ﻉ، ما قيمة حاصل الضرب القياسي لـ ﺹ وﺹ؟

في هذا السؤال، مطلوب منا حساب حاصل الضرب القياسي لـ ﺹ وﺹ؛ حيث ﺹ هو أحد متجهات الوحدة. وفي الواقع، هناك بعض الطرق التي يمكننا من خلالها حساب قيمة ذلك. وأسهل طريقة هي أن نتذكر أمرًا مثيرًا للاهتمام حول حاصل الضرب القياسي. بالنسبة إلى أي متجه ﻡ، سيكون حاصل الضرب القياسي للمتجه ﻡ في نفسه هو معيار ﻡ تربيع. وفي الواقع، نحن نعرف كيف نثبت ذلك. سنفعل ذلك بكتابة مركبات المتجه ﻡ حتى نتمكن من حساب حاصل الضرب القياسي لـ ﻡ وﻡ. تذكر أنه لحساب حاصل الضرب القياسي لـ ﻡ وﻡ، علينا ضرب المركبات المتناظرة معًا ثم جمع النواتج. سنلاحظ بعد ذلك أن هذا يعطينا مجموع مربعات مركبات ﻡ، وهو الذي يساوي بالضبط معيار ﻡ تربيع.

وهذه نتيجة مفيدة علينا تذكرها. حسنًا، باستخدام هذه النتيجة مع المتجه ﺹ، يجب أن يكون حاصل الضرب القياسي لـ ﺹ وﺹ مساويًا لمعيار ﺹ تربيع. وتذكر أن ﺹ هو متجه وحدة. ويسمى متجه وحدة لأن معياره يساوي واحدًا. يمكننا استخدام ذلك لحساب قيمة التعبير الذي لدينا. في الطرف الأيسر من المعادلة، معيار ﺹ يساوي واحدًا. ويمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا واحد تربيع، وهو بالطبع يساوي واحدًا. وبهذا، استطعنا توضيح أن حاصل الضرب القياسي للمتجه ﺹ في نفسه يساوي واحدًا.

ولكن، هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها حساب قيمة هذا التعبير. فيمكننا حساب قيمته بشكل مباشر من خلال تعريف حاصل الضرب القياسي. بالرغم من أن هذه الخطوة ليست ضرورية، فسنبدأ بكتابة مركبات المتجه ﺹ. تذكر أنه في هذه الحالة، ستكون المركبات في صورة معاملات متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ. وبالطبع بالنسبة للمتجه ﺹ، فإن معامل كل من ﺱ وﻉ يساوي صفرًا، ومعامل ﺹ يساوي واحدًا. إذن المتجه ﺹ هو المتجه: صفر، واحد، صفر. والآن يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين مباشرة.

تذكر أنه لحساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين، علينا ضرب المركبات المتناظرة ثم جمع النواتج. لذلك، سنبدأ بضرب المركبة الأولى للمتجه الأول في المركبة الأولى للمتجه الثاني. وهذا يعطينا صفرًا في صفر. وبعد ذلك، نضرب المركبتين الثانيتين في كلا المتجهين معًا، وهو ما يعطينا واحدًا في واحد. وأخيرًا، نضرب المركبتين الثالثتين في كلا المتجهين معًا. وهذا يعطينا صفرًا في صفر. ثم نجمع هذه النواتج الثلاثة معًا. ومرة أخرى، إذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنجد أنه يساوي واحدًا.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح طريقتين مختلفتين لحساب حاصل الضرب القياسي لمتجه الوحدة ﺹ في نفسه. في كلتا الحالتين، استطعنا إثبات أن هذا يساوي واحدًا.