نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة تكامل ثمانية جذر ﺱ ناقص واحد مقسومًا على ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ.
يطلب منا السؤال أن نوجد تكامل ثمانية في الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص واحد مقسومًا على ﺱ أس أربعة. هذه الدالة التي سيجرى عليها التكامل على صورة لا نعرف بعد كيف نوجد تكاملها. لذا، علينا إعادة كتابة هذا التعبير على صورة يمكن أن نوجد تكاملها. بما أن هذين التعبيرين يتضمنان أسين، فسنحاول إعادة كتابة ذلك باستخدام قوانين الأسس. أول ما نلاحظه هو أن الحد الأول، في الدالة التي سيجرى عليها التكامل، يتضمن الجذر التربيعي لـ ﺱ. وينص أحد قوانين الأسس على أنه يمكننا إعادة كتابة الجذر التربيعي لـ ﺱ على الصورة: ﺱ أس نصف. ونعرف كيف نكامل ﺱ أس نصف باستخدام قاعدة القوة للتكامل.
بعد ذلك، باستخدام قوانين الأسس، يمكننا إعادة كتابة واحد مقسومًا على ﺱ أس أربعة على صورة ﺱ أس سالب أربعة. ومرة أخرى، يمكننا إيجاد تكامل ذلك باستخدام قاعدة القوة للتكامل. إذن باستخدام قوانين الأسس، أعدنا كتابة التكامل على صورة: تكامل ثمانية ﺱ أس نصف ناقص ﺱ أس سالب أربعة بالنسبة إلى ﺱ. بعد ذلك، يمكننا تبسيط هذا التكامل قليلًا. تذكر أن تكامل الفرق بين دالتين يساوي الفرق بين تكامليهما. لذا، يمكننا ببساطة إيجاد تكامل كل حد على حدة. وكما ذكرنا من قبل، يمكننا إيجاد تكامل هذين الحدين باستخدام قاعدة القوة للتكامل.
نتذكر أن قاعدة القوة للتكامل تنص على أنه لثابتين ﺃ وﻥ؛ حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى الأس ثم نقسم على هذا الأس الجديد. بتطبيق قاعدة القوة للتكامل على الحد الأول في الدالة التي سيجرى عليها التكامل، نحصل على ثمانية في ﺱ أس نصف زائد واحد مقسومًا على نصف زائد واحد. علينا بعد ذلك طرح تكامل ﺱ أس سالب أربعة بالنسبة إلى ﺱ.
فعلنا ذلك باستخدام قاعدة القوة للتكامل. لدينا ﺱ أس سالب أربعة زائد واحد مقسومًا على سالب أربعة زائد واحد. وبعد ذلك، جمعنا ثابتي التكامل في ثابت تكامل واحد يسمى ﺙ. ويمكننا تبسيط هذا التعبير. نصف زائد واحد يساوي ثلاثة على اثنين، وسالب أربعة زائد واحد يساوي سالب ثلاثة. هذا يعطينا ثمانية ﺱ أس ثلاثة على اثنين مقسومًا على ثلاثة على اثنين ناقص ﺱ أس سالب ثلاثة مقسومًا على سالب ثلاثة زائد ﺙ. ويمكننا أن نترك الناتج على هذه الصورة. ومع ذلك يمكننا تبسيط التعبير قليلًا.
أولًا: بدلًا من القسمة على ثلاثة على اثنين، سنضرب في مقلوب ثلاثة على اثنين. ثم باستخدام قوانين الأسس، بدلًا من أن يكون لدينا ﺱ أس سالب ثلاثة في البسط، سنقسم على ﺱ تكعيب. مقلوب ثلاثة على اثنين هو ثلثان. هذا يعطينا ثمانية في ثلثين في ﺱ أس ثلاثة على اثنين ناقص واحد مقسومًا على سالب ثلاثة ﺱ تكعيب زائد ﺙ. ويمكننا تبسيط ذلك مرة أخرى. ثمانية في ثلثين يساوي ١٦ على ثلاثة.
بعد ذلك، يمكننا حذف العامل المشترك سالب واحد في بسط الحد الثاني ومقامه. وآخر ما سنفعله هو إعادة كتابة ﺱ أس ثلاثة على اثنين باستخدام قوانين الأسس. سنكتب ذلك على صورة الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. لقد أوجدنا أن تكامل ثمانية جذر ﺱ ناقص واحد مقسومًا على ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ يساوي ١٦ على ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ﺱ تكعيب زائد واحد على ثلاثة ﺱ تكعيب زائد ﺙ.
