نسخة الفيديو النصية
يصنع المماس للمنحنى ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ٧٢ مثلثًا متساوي الساقين مع الاتجاه الموجب لكل من المحور ﺱ والمحور ﺹ. ما معادلة هذا المماس؟
دعونا نبدأ برسم المنحنى والمماس المذكورين في السؤال. ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ٧٢ هي معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل، وطول نصف قطرها يساوي جذر ٧٢ وحدة. يوجد مماس لهذه الدائرة يصنع مثلثًا متساوي الساقين مع الاتجاه الموجب لكل من المحور ﺱ والمحور ﺹ. نحن نعلم أن الضلعين اللذين يقعان على طول المحورين ﺱ وﺹ يجب أن يكونا الضلعين المتساويين في الطول في هذا المثلث المتساوي الساقين. ونظرًا لأن هذا المثلث قائم الزاوية أيضًا، وفي أي مثلث قائم الزاوية، يكون وتر المثلث هو أطول أضلاعه، أي أطول من أي ضلع آخر في المثلث، فإنه يجب أن يكون الضلعان الأقل طولًا هما الضلعين المتساويين في الطول.
لإيجاد معادلة المماس أو معادلة أي خط مستقيم، علينا معرفة ميله وإحداثيات نقطة واحدة على الأقل تقع على الخط المستقيم. لنبدأ بالتفكير في ميل هذا المماس. ميل المماس سيساوي ميل المنحنى عند نقطة التماس. نحن لا نعلم إحداثيات هذه النقطة، لكن دعونا نبدأ بإيجاد دالة ميل المنحنى. وسنفعل ذلك باستخدام الاشتقاق. بما أن المنحنى معرف ضمنيًّا، سنحتاج إلى استخدام الاشتقاق الضمني عند اشتقاق الحد الثاني بالنسبة إلى ﺱ. باشتقاق كل حد بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا.
يمكننا جعل ﺩﺹ على ﺩﺱ المتغير التابع في هذه المعادلة بطرح اثنين ﺱ أولًا من كلا الطرفين ثم القسمة على اثنين ﺹ، ما يعطينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ على اثنين ﺹ. وأخيرًا، بحذف العامل اثنين، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ﺱ على ﺹ.
بذلك نكون قد أوجدنا تعبيرًا لدالة ميل المنحنى، لكن ليس لدينا إحداثيات النقطة التي يلتقي عندها المماس بالمنحنى لنعوض بها في المعادلة. نحن نعلم بالفعل أن المثلث الذي يصنعه المماس مع الاتجاه الموجب من كل من المحور ﺱ والمحور ﺹ مثلث متساوي الساقين. إذن إذا كانت إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها المماس مع المحور ﺱ هي ﺃ، صفر، فإن إحداثيات النقطة التي يتقاطع عندها المماس مع المحور ﺹ ستكون صفرًا، ﺃ، حيث تكون القطعتان المستقيمتان المرسومتان باللون الوردي متساويتين في الطول.
بعد ذلك نتذكر أن هناك طريقة أخرى لإيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية نقطتين تقعان على الخط، وهي استخدام الصيغة ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. بالتعويض عن النقطتين بالإحداثيات صفر، ﺃ وﺃ، صفر، ثم التبسيط نحصل على ﻡ يساوي سالب واحد.
إذن أصبحنا نعلم الآن أن ميل المماس يساوي سالب واحد. ولإيجاد معادلة المماس، علينا تحديد إحداثيات النقطة التي تقع على المماس. عند النقطة التي يلتقي عندها المماس مع المنحنى، فإن دالة ميل المنحنى يجب أن تساوي ميل المماس، الذي نعرف أنه يساوي سالب واحد. ومن ثم، بمساواة هذين المقدارين أحدهما بالآخر، نحصل على المعادلة سالب ﺱ على ﺹ يساوي سالب واحد. وبضرب كلا طرفي هذه المعادلة في سالب ﺹ، نحصل على ﺱ يساوي ﺹ.
أصبحنا نعلم الآن أنه عند نقطة التقاء المماس بالمنحنى تكون قيمتا الإحداثي ﺱ والإحداثي ﺹ متساويتين. ومن ثم يمكننا التعويض عن ﺹ تربيع بـ ﺱ تربيع في معادلة المنحنى لنحصل على معادلة بدلالة ﺱ فقط، وهو ما سيمكننا من إيجاد الإحداثي ﺱ لهذه النقطة. بحل هذه المعادلة، نجد أن ﺱ تربيع يساوي ٣٦. وعليه، فإن ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦، مع أخذ الحل الموجب فقط هنا؛ حيث تقع النقطة في الربع الأول، ومن ثم فإننا نعلم أن قيمة ﺱ موجبة. إذن نجد أن قيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هي ستة.
وبما أننا عرفنا أن قيمتي الإحداثيين ﺱ وﺹ متساويتان عند هذه النقطة، فإن قيمة الإحداثي ﺹ تساوي ستة أيضًا.
لقد أوجدنا ميل المماس وإحداثيات نقطة واحدة تقع عليه، إذن نحن مستعدون لإيجاد معادلته. باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، والتعويض بسالب واحد عن الميل ﻡ، وبالنقطة ستة، ستة عن ﺱ واحد، ﺹ واحد، نجد أن معادلة الخط المستقيم هي ﺹ ناقص ستة يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺱ ناقص ستة. بتوزيع سالب واحد على القوسين في الطرف الأيسر ثم تجميع كل الحدود في الطرف الأيمن من المعادلة، نجد أن معادلة المماس هي ﺱ زائد ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا.
