فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت الزاوية 𝜃 أكبر من أو تساوي صفر درجة وأقل من ١٨٠ درجة، فأوجد مجموعة حل الجذر التربيعي لاثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 ناقص جا 𝜃 يساوي صفرًا.

أول شيء نلاحظه هو أن الحدين في المعادلة يحتويان على عامل مشترك، وهو جا 𝜃. بإخراج هذا العامل المشترك، نجد أن جا 𝜃 مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين جتا 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا. أصبح لدينا الآن معادلة حاصل ضرب عامليها يساوي صفرًا.

نحن نعلم أنه لكي تتحقق هذه المعادلة، يجب أن يكون أحد العاملين، المشار إليهما هنا بـ ﺃ وﺏ، يساوي صفرًا. يمكننا إذن تحديد حالتين للحلول لدينا؛ في الحالة الأولى يكون جا 𝜃 يساوي صفرًا، وفي الحالة الأخرى يكون جذر اثنين جتا 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا.

دعونا نتناول أولًا الحالة الأولى، حيث جا 𝜃 يساوي صفرًا. هذه المعادلة هي إحدى النسب المثلثية الدقيقة التي قد تكون على دراية بها. دعونا أيضًا نمثل هذا بيانيًّا لمساعدتنا في تصور الحل. أولًا، نلاحظ المدى المعطى في السؤال. يخبرنا السؤال أن 𝜃 يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا. نمثل هذا بخط متصل على التمثيل البياني عند 𝜃 تساوي صفرًا. كذلك يخبرنا السؤال أيضًا أن 𝜃 يجب أن تكون أقل من ١٨٠ درجة. ونمثل هذا بخط متقطع على التمثيل البياني عند 𝜃 تساوي ١٨٠.

لكي نرى الحلول على التمثيل البياني، دعونا نرسم خطًّا آخر عند ﺹ يساوي صفرًا، ونلاحظ مواضع تقاطع الخطين المستقيمين. وعند فعل ذلك، سنوجد النقاط التي يكون عندها ﺹ يساوي جا 𝜃، وهو ما يساوي أيضًا صفرًا، كما هو مطلوب في الحل. بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة نقاط التقاطع عند 𝜃 تساوي صفرًا، و𝜃 تساوي ١٨٠، و𝜃 تساوي ٣٦٠ درجة.

من بين هذه النقاط الثلاث، يمكننا استبعاد 𝜃 تساوي ٣٦٠ درجة؛ لأنها تقع بوضوح خارج المدى. ويمكننا أيضًا استبعاد 𝜃 تساوي ١٨٠ درجة؛ لأن السؤال ينص على أن 𝜃 يمكن أن تكون أقل من ١٨٠، لكن لا تساويه. وأخيرًا، نلاحظ أن 𝜃 تساوي صفرًا مضمنة في المدى، ومن ثم فهي أحد حلول هذا السؤال. وهذا يتفق مع النسبة المثلثية الدقيقة التي استخدمناها سابقًا.

على الرغم من أننا أوجدنا حلًّا، فمن المهم أن نتذكر أن السؤال لم ينته بعد؛ لأننا لم نتناول الحالة التي يكون فيها الجذر التربيعي لاثنين جتا 𝜃 ناقص واحد يساوي صفرًا. دعونا نعد ترتيب ذلك إلى صورة مفيدة أكثر.

أول شيء يمكننا فعله هو إضافة واحد إلى طرفي المعادلة. ثانيًا، يمكننا قسمة الطرفين على الجذر التربيعي لاثنين. بالنظر مرة أخرى إلى ذلك، قد نلاحظ أن جتا 𝜃 يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين هي إحدى النسب المثلثية الدقيقة. وباستخدام هذه المعلومة، يمكننا القول إن 𝜃 تساوي ٤٥ درجة في هذه الحالة.

كما فعلنا في الحالة السابقة، دعونا نمثل ذلك بيانيًّا للتأكد من أننا لم نغفل أي حلول. لدينا هنا الخط المستقيم ﺹ يساوي جتا 𝜃. وحددنا أيضًا المدى الذي يعنينا على الشكل.

دعونا نرسم الآن الخط المستقيم ﺹ يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين على الشكل، ونلاحظ نقاط التقاطع مع الخط المستقيم. عند نقاط التقاطع هذه، فإن ﺹ يساوي جتا 𝜃، وهو ما يساوي أيضًا واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين، كما هو مطلوب في هذه الحالة. قد لا نتمكن من رسم هذا الخط مباشرة. ومن ثم، يمكننا إيجاد أن واحدًا على الجذر التربيعي لاثنين يساوي تقريبًا ٠٫٧١ لأقرب منزلتين عشريتين.

يمكننا الآن رؤية هذا الخط على الشكل بسهولة أكبر. وبالنظر إلى الشكل، يمكننا ملاحظة نقطتي تقاطع. ولكن، توجد نقطة واحدة فقط تقع ضمن المدى المطلوب. بالنظر إلى هذه النقطة، يمكننا ملاحظة أنها تتفق مع الحل، وأن 𝜃 تقع بالفعل عند ٤٥ درجة.

والآن بعد أن توصلنا إلى حل الحالة الثانية، يمكننا دمج ذلك مع حل الحالة السابقة. ومن ثم، يمكننا القول إن مجموعة الحل التي تحقق المعادلة هي 𝜃 تساوي صفر درجة و ٤٥ درجة.