نسخة الفيديو النصية
أوجد معدل تغير ﺩﺱ يساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ثلاثة عند ﺱ يساوي واحدًا، وحدد لأقرب دقيقة قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها المماس عند النقطة واحد، صفر مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ.
تذكر أنه يمكننا إيجاد معدل التغير لدالة ما؛ ﺩ، المعطى على الصورة ﺩ شرطة عند نقطة ما، ﺃ، عن طريق إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. في هذا السؤال، نريد إيجاد معدل تغير الدالة التي تساوي أربعة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص ثلاثة عند ﺱ يساوي واحدًا. إذن، لدينا الدالة ﺩﺱ وسنفترض أن ﺃ يساوي واحدًا. هذا يعني أن معدل التغير يساوي ﺩ شرطة لواحد. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩ لواحد زائد ﻫ ناقص ﺩ لواحد، الكل على ﻫ.
لإيجاد قيمة النهاية، سنبدأ بإيجاد ﺩ لواحد زائد ﻫ. ولإجراء ذلك، سنعوض عن كل مثيل لـ ﺱ في الدالة الأصلية لدينا بواحد زائد ﻫ. هذا يساوي أربعة في واحد زائد ﻫ الكل تربيع ناقص واحد زائد ﻫ ناقص ثلاثة. بتوزيع بعض الأقواس، نحصل على أربعة في واحد زائد اثنين ﻫ زائد ﻫ تربيع ناقص واحد ناقص ﻫ ناقص ثلاثة. بعد ذلك، نوزع المجموعة الثانية من الأقواس. وبذلك نحصل على أربعة زائد ثمانية ﻫ زائد أربعة ﻫ تربيع ناقص ﻫ ناقص أربعة. بالطبع، أربعة ناقص أربعة يساوي صفرًا. ويمكننا تبسيط ذلك إلى أربعة ﻫ تربيع زائد سبعة ﻫ.
خطوتنا التالية هي إيجاد قيمة ﺩ لواحد. هذه المرة، سنعوض عن كل مثيل لـ ﺱ بواحد. هذا يعطينا أربعة في واحد تربيع ناقص واحد ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا. لذا، علينا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة ﻫ تربيع زائد سبعة ﻫ ناقص صفر، الكل على ﻫ. وبالطبع، لا نحتاج هنا إلى كتابة سالب صفر. إذن، يصبح لدينا النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة ﻫ تربيع زائد سبعة ﻫ على ﻫ.
بعد ذلك، نلاحظ أنه يمكننا قسمة البسط على ﻫ. وعليه، يمكن إيجاد معدل تغير الدالة عند ﺱ يساوي واحدًا من خلال إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة ﻫ زائد سبعة. عند هذه النقطة، يمكننا استخدام التعويض المباشر؛ أي عندما ﻫ يساوي صفرًا، فإن أربعة ﻫ يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لأربعة ﻫ زائد سبعة، تساوي سبعة. وبذلك نكون قد أوجدنا معدل تغير الدالة.
بعد ذلك، علينا إيجاد قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها المماس عند النقطة واحد، صفر مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ. بإيجاد معدل التغير عند ﺱ يساوي واحدًا، نكون قد أوجدنا ميل مماس المنحنى عند النقطة؛ حيث ﺱ يساوي واحدًا، أي عند النقطة واحد، صفر. وإذا استخدمنا حقيقة أن الميل يساوي فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات، أو التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ؛ يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية، كما هو موضح. الوتر هنا يمثل المماس. ونحن نريد إيجاد قياس الزاوية 𝜃. هذه الزاوية هي الزاوية التي يصنعها المماس مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ.
من ثم، سنستخدم الطريقة القياسية لتسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية. ونلاحظ أننا نعرف طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور. وبما أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فيمكننا القول إن ظا 𝜃 يساوي سبعة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي سبعة. سنوجد حل هذه المعادلة بإيجاد الدالة العكسية لـ ظا لكلا الطرفين، وهو ما يساوي ٨١٫٨٦٩ وهكذا مع توالي الأرقام. يمكننا استخدام الزر الموجود على الآلة الحاسبة لتحويل هذا الناتج إلى درجات ودقائق وثوان. وبذلك، نلاحظ أن قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها المماس عند النقطة واحد، صفر مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، لأقرب دقيقة، يساوي ٨١ درجة و٥٢ دقيقة.
