فيديو الدرس: معدل التغير والمشتقات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معدل التغير اللحظي لدالة باستخدام المشتقات، وكيف نطبق ذلك في المسائل الحياتية.

١٨:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد معدل التغير اللحظي لدالة باستخدام المشتقات، وكيف نطبق ذلك في المسائل الحياتية. سنلقي نظرة على ميل خطوط القاطع والمماس قبل تعريف صيغة لمعدل التغير لدالة. وسنلقي نظرة على تطبيق هذه الصيغة على مجموعة متنوعة من الأمثلة تتضمن: كثيرات حدود بسيطة، ودوال تتضمن جذورًا، ودوال كسرية.

سنبدأ هذا الدرس بتذكر بعض المعلومات حول خط المماس لمنحنى. لنتخيل أن معادلة هذا المنحنى هي: ﺹ يساوي ﺩﺱ. ونريد إيجاد خط مماس المنحنى عند نقطة ما ﻭ معطاة بالزوج المرتب: ﺃ، ﺩﺃ. ولنفترض نقطة قريبة، هي ﻝ، ممثلة بالزوج المرتب: ﺱ، ﺩﺱ؛ حيث ﺱ بالطبع لا يساوي ﺃ. ونوجد ميل الخط القاطع الذي يصل النقطة ﻭ بالنقطة ﻝ. نوجد الميل بالطبع باستخدام الصيغة: التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، أو ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. بالتعويض بإحداثيات ﻭ وﻝ، نجد أن ميل الخط القاطع هو ﺩﺱ ناقص ﺩﺃ على ﺱ ناقص ﺃ.

بعد ذلك، سنجعل ﻝ تقترب من ﻭ على امتداد المنحنى. ونفعل ذلك بأن نجعل قيمة ﺱ تقترب من قيمة ﺃ. وبذلك، تصبح المسافة بين ﻭ وﻝ أصغر فأصغر. ونقترب من ميل خط المماس عند ﻭ. ونأتي إلى التعريف الأول. خط مماس المنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ عند النقطة: ﺃ، ﺩﺃ هو الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﻭ، وميله ﻡ، ويعطى بالنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ ناقص ﺩﺃ على ﺱ ناقص ﺃ، بشرط وجود هذه النهاية. ويقودنا هذا التعريف في الواقع مباشرة إلى التعريف الثاني. هذه المرة، نفترض أن ﻫ يساوي الفرق بين ﺱ وﺃ. أي ﺱ ناقص ﺃ. بإضافة ﺃ إلى كلا الطرفين، نجد أن ﺱ يساوي ﺃ زائد ﻫ. وميل الخط القاطع ﻭﻝ هو الآن: ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ. هذه المرة عندما يقترب ﺱ من ﺃ، يقترب ﻫ من الصفر. إذن التعبير الثاني عن ميل خط المماس عند ﻭ هو الآن النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ.

عند إيجاد الميل في مواقف الحياة الواقعية، نسميه معدل التغير. فكلاهما له المعنى نفسه بالأساس. لدينا هنا إذن تعريف معدل التغير. في الواقع، كثيرًا ما تظهر النهايات بهذه الصورة عند حساب معدل التغير، وتحديدًا في العلوم والهندسة. ولهذا نطلق عليها اسمًا خاصًا. نطلق عليها اسم مشتقة الدالة ﺩ عند ﺃ، ونرمز لها بالرمز ﺩ شرطة ﺃ. وهذا رائع. لأنه بأخذ هذه التعريفات في الاعتبار، يمكننا الآن القول إن خط المماس لـ ﺹ يساوي ﺩﺱ عند النقطة: ﺃ، ﺩﺃ هو الخط الذي يمر بهذه النقطة، وميله يساوي ﺩ شرطة ﺃ، أي مشتقة ﺩ عند ﺃ.

والآن، لدينا كل هذه التعريفات. هيا نلق نظرة على كيفية تطبيقها في مسائل معدل التغير والمشتقات.

أوجد معدل تغير ﺩﺱ تساوي سبعة ﺱ تربيع زائد تسعة عندما يكون ﺱ يساوي ﺱ واحد.

تذكر، تعريف معدل تغير دالة أو مشتقتها عند نقطة ما ﺱ يساوي ﺃ هو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ الكل على ﻫ. في هذا السؤال، ﺩﺱ تساوي سبعة ﺱ تربيع زائد تسعة. ونريد إيجاد معدل التغير عند ﺱ يساوي ﺱ واحد. إذن، سنجعل ﺃ يساوي ﺱ واحد. وما يهمنا بعد ذلك هو إيجاد معدل التغير عند ﺱ واحد. أي ﺩ شرطة ﺱ واحد. وهو ما يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺱ واحد زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ واحد الكل على ﻫ.

المهمة التالية هي التعويض بـ ﺱ واحد زائد ﻫ، وﺱ واحد في المعادلة الأصلية. إذن ﺩﺱ واحد زائد ﻫ يساوي سبعة في ﺱ واحد زائد ﻫ تربيع زائد تسعة. نوزع ﺱ واحد زائد ﻫ الكل تربيع. لنحصل على ﺱ واحد تربيع زائد اثنين ﺱ واحد ﻫ زائد ﻫ تربيع. وبعد ذلك، نوزع مرة أخرى ونحصل على سبعة ﺱ واحد تربيع زائد ١٤ﺱ واحد ﻫ زائد سبعة ﻫ تربيع زائد تسعة. ‏‏ﺩﺱ واحد أبسط قليلًا. فهي ببساطة سبعة ﺱ واحد تربيع زائد تسعة. هيا نعوض بهذا مرة أخرى في المقدار المعبر عن معدل تغير الدالة عند ﺱ واحد.

وهو هذه النهاية. وبالطبع، يمكننا توزيع القوسين. يصبح الحدان الأخيران سالب سبعة ﺱ واحد تربيع ناقص تسعة. وهذا رائع لأن سبعة ﺱ واحد تربيع ناقص سبعة ﺱ واحد تربيع يساوي صفرًا، وتسعة ناقص تسعة أيضًا يساوي صفرًا. من ثم فإن ﺩ شرطة ﺱ واحد هي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ١٤ﺱ واحد ﻫ زائد سبعة ﻫ تربيع على ﻫ. ما نزال غير مستعدين جيدًا لإجراء التعويض المباشر. ولكن يمكننا قسمة الحدين اللذين في البسط على ﻫ. الآن، معدل التغير هو النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ١٤ﺱ واحد زائد سبعة ﻫ. والآن، يمكننا إجراء التعويض المباشر. ‏‏١٤ﺱ واحد زائد سبعة في صفر، وهو ما يساوي بالطبع ١٤ﺱ واحد. إذن، معدل تغير ﺩﺱ تساوي سبعة ﺱ تربيع زائد تسعة عند ﺱ يساوي ﺱ واحد هو ١٤ﺱ واحد.

في هذا المثال، توصلنا إلى إيجاد معادلة عامة لمعدل تغير الدالة. ويمكننا استخدام ذلك لإيجاد معدل التغير المحدد عند أي نقطة، بمعلومية قيمة ﺱ واحد. على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد إيجاد معدل تغير الدالة عند النقطة التي عندها ﺱ يساوي اثنين. نجعل ﺱ واحد يساوي اثنين. ويصبح معدل التغير ١٤ مضروبًا في اثنين، وهو ما يساوي ٢٨.

سنتناول الآن مثالًا نريد فيه إيجاد معدل التغير عند نقطة محددة.

أوجد معدل تغير ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لستة ﺱ زائد سبعة عند ﺱ يساوي ثلاثة.

تذكر، تعريف معدل تغير دالة أو مشتقتها عند نقطة ما ﺱ يساوي ﺃ هو النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ. في هذا السؤال، ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لستة ﺱ زائد سبعة. ونريد إيجاد معدل التغير عند ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، نجعل ﺃ يساوي ثلاثة. معدل التغير هو مشتقة الدالة عند ﺱ يساوي ثلاثة. باستخدام التعريف المذكور سابقًا، نجد أنه النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ ثلاثة زائد ﻫ ناقص ﺩ لثلاثة الكل على ﻫ.

مهمتنا هي إيجاد ﺩ لثلاثة زائد ﻫ، وﺩ لثلاثة. لإيجاد ﺩ لثلاثة زائد ﻫ، نعوض عن ﺱ في المقدار الأصلي المعبر عن الدالة بثلاثة زائد ﻫ. لنحصل على الجذر التربيعي لستة في ثلاثة زائد ﻫ زائد سبعة. بتوزيع القوسين نحصل على ١٨ زائد ستة ﻫ زائد سبعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ستة ﻫ زائد ٢٥. إذن، ﺩ لثلاثة زائد ﻫ هو الجذر التربيعي لستة ﻫ زائد ٢٥. نكرر هذه العملية لـ ﺩ لثلاثة. وهذه المرة نحصل على الجذر التربيعي لستة في ثلاثة زائد سبعة، وهو ما يساوي جذر ٢٥ أو ببساطة خمسة.

نعوض بهذا في التعريف الأصلي لـ ﺩ شرطة لثلاثة، لنجد أنها الآن تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر للجذر التربيعي لستة ﻫ زائد ٢٥ ناقص خمسة على ﻫ. حسنًا، لسنا مستعدين الآن للتعويض المباشر. إذا فعلنا ذلك، فسنقسم على صفر، ونعلم أن ذلك سيعطينا قيمة غير معرفة. لذا فبدلًا من ذلك علينا أن نفعل شيئًا أكثر ذكاء للتعامل مع هذا المقدار. نبدأ بكتابة الجذر التربيعي لستة ﻫ زائد ٢٥ على صورة: ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف. وبعدها سنضرب بسط ومقام النهاية في مرافق البسط. فيصبح لدينا ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف زائد خمسة.

هيا نوزع البسط. نبدأ بضرب الحدين الأولين من المقدارين. والآن، يصبح لدينا ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف في نفسه. وهو ببساطة ستة ﻫ زائد ٢٥. ثم نضرب ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف في خمسة. بعد ذلك، نضرب سالب خمسة في ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف. وفي النهاية نحصل على خمسة مضروبًا في ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف ناقص خمسة مضروبًا في ستة ﻫ زائد ٢٥ أس نصف، وهو ما يساوي صفرًا بالطبع. وأخيرًا، نضرب سالب خمسة في خمسة ونحصل على سالب ٢٥. في الوقت الحالي، سنترك المقام كما هو. دعونا نفرغ بعض المساحة للخطوة التالية.

لاحظنا أن ٢٥ ناقص ٢٥ يساوي صفرًا. إذن يصبح البسط ستة ﻫ. ومن ثم، نرى أنه يمكننا التبسيط بقسمة البسط والمقام على ﻫ. وفي الواقع، يمكننا الآن إجراء التعويض المباشر. سنعوض عن ﻫ في النهاية بصفر. من ثم يصبح المقام ستة في صفر زائد ٢٥ أس نصف، أو ٢٥ أس نصف. حسنًا، ٢٥ أس نصف هو الجذر التربيعي لـ ٢٥، ويساوي خمسة. إذن ﺩ شرطة لثلاثة يساوي ستة على خمسة زائد خمسة، وهو ما يساوي ستة أعشار. ويمكن تبسيط ذلك إلى ثلاثة أخماس. إذن معدل تغير الدالة عند ﺱ يساوي ثلاثة هو ثلاثة أخماس.

رأينا كيف يمكن استخدام هذه العملية للدوال الخطية التي تتضمن جذورًا. بعد ذلك، سنلقي نظرة على استخدام دالة معدل التغير في مثال يتضمن دالة كسرية.

إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ زائد سبعة على أربعة ﺱ زائد اثنين، فأوجد معدل تغيرها عندما يكون ﺱ يساوي اثنين.

نتذكر تعريف معدل تغير الدالة أو مشتقتها. وهو النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ بافتراض وجود هذه النهاية. في هذا السؤال، ﺩﺱ تساوي خمسة ﺱ زائد سبعة ﺱ على أربعة ﺱ زائد اثنين. ونريد إيجاد معدل التغير عند ﺱ يساوي اثنين. إذن سنجعل ﺃ يساوي اثنين. لذا علينا أن نوجد قيمة ﺩ شرطة لاثنين، معدل التغير أو مشتقة الدالة، عند ﺱ يساوي اثنين.

ومن التعريف فهو يساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩ لاثنين زائد ﻫ ناقص ﺩ لاثنين على ﻫ. هيا نوجد ﺩ لاثنين زائد ﻫ، وﺩ لاثنين. لإيجاد ﺩ لاثنين زائد ﻫ، نعوض عن كل ﺱ في الدالة الأصلية باثنين زائد ﻫ. ونحصل على خمسة في اثنين زائد ﻫ زائد سبعة على أربعة في اثنين زائد ﻫ زائد اثنين. وعند توزيع القوسين والتبسيط، نحصل على ١٧ زائد خمسة ﻫ على ١٠ زائد أربعة ﻫ. وبالمثل، ﺩ لاثنين تساوي خمسة في اثنين زائد سبعة على أربعة في اثنين زائد اثنين، وهو ما يساوي ١٧ على ١٠. ونجد الآن أن ﺩ شرطة لاثنين هي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر للفرق بين هذين على ﻫ.

لدينا كسران في البسط. لذا، سنبسطهما بإيجاد مقام مشترك بينهما. وسنضرب بسط ومقام الكسر الأول الذي في البسط في ١٠، وبسط ومقام الكسر الثاني الذي في البسط في ١٠ زائد أربعة ﻫ. وعندما نفعل ذلك، سنصل إلى هذا البسط. حسنًا، هذا غير منطقي. ولكن في الواقع، قسمة الكسر بأكمله على ﻫ هي نفسها ضربه في واحد على ﻫ. إذن، نعيد كتابة المقام على الصورة: ﻫ في ١٠٠ زائد ٤٠ﻫ. وبعد ذلك، نبسط البسط إلى سالب ١٨ﻫ. وربما ترى الآن أنه يمكننا التبسيط أكثر بقسمة البسط والمقام على ﻫ.

وها نحن مستعدون لإجراء التعويض المباشر. بالتعويض عن ﻫ بصفر، نجد أن ﺩ شرطة لاثنين يساوي سالب ١٨ على ١٠٠، وهو ما يبسط إلى سالب تسعة على ٥٠. معدل تغير الدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي اثنين هو سالب تسعة على ٥٠.

في المثال الأخير، سنتناول تطبيقات الحياة الواقعية لمعدل التغير والمشتقة.

ينكمش قرص دائري بانتظام محافظًا على شكله. ما معدل التغير في مساحته بالنسبة لنصف قطره، عندما يكون نصف القطر ٥٩ سنتيمترًا؟

نبدأ بتذكر الصيغة التي تسمح لنا باحتساب معدل تغير دالة عند نقطة معطاة عندما ﺱ يساوي ﺃ. إنها ﺩ شرطة ﺃ تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ؛ حيث ﺩ شرطة هي مشتقة الدالة. ولكن يبدو أنه ليس لدينا دالة هنا. لنفكر إذن فيما نعرفه عن مساحة الدائرة. مساحة الدائرة تعطى بالصيغة: ﻡ يساوي 𝜋نق تربيع. يمكن كتابة ذلك على صورة: ﻡ نق. ‏‏ﻡ دالة في المتغير نق. وهذا يعني أن معدل تغير ﻡ بالنسبة لـ نق هو مشتقة ﻡ بالنسبة لـ نق.

نحاول الآن إيجاد معدل التغير عندما يساوي نصف القطر ٥٩. إذن، سنجعل ﻡ يساوي ٥٩. نريد إيجاد ﻡ شرطة ٥٩. ومن التعريف فهي تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﻡ ٥٩ زائد ﻫ ناقص ﻡ ٥٩ الكل على ﻫ. لنوجد ﻡ ٥٩ زائد ﻫ، وﻡ ٥٩. ‏‏ﻡ نق يساوي 𝜋نق تربيع. إذن ﻡ ٥٩ زائد ﻫ يساوي 𝜋 في ٥٩ زائد ﻫ تربيع. نوزع القوسين. ونجد أن هذا يساوي 𝜋 في ٣٤٨١ زائد ١١٨ﻫ زائد ﻫ تربيع. وبالمثل، ﻡ ٥٩ يساوي 𝜋 في ٥٩ تربيع، أي ٣٤٨١𝜋. يمكننا التعويض عن ﻡ ٥٩ زائد ﻫ، وﻡ ٥٩ بهذين المقدارين في تعريف المشتقة. وبأخذ 𝜋 عاملًا مشتركًا، فإن البسط يصبح 𝜋 في ٣٤٨١ زائد ١١٨ﻫ زائد ﻫ تربيع ناقص ٣٤٨١. وهذا بالطبع يعطينا صفرًا.

إننا إذن نريد إيجاد النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ 𝜋 في ١١٨ﻫ زائد ﻫ تربيع الكل على ﻫ. ربما تدرك الآن أنه يمكننا بالفعل قسمة البسط والمقام على ﻫ. وبذلك تصبح المشتقة هي النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ 𝜋 في ١١٨ زائد ﻫ. أصبحنا الآن مستعدين لإجراء التعويض المباشر. نجعل ﻫ يساوي صفرًا. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﻡ شرطة ٥٩ يساوي ١١٨𝜋. إذن معدل تغير مساحة القرص الدائري بالنسبة لنصف قطره يساوي ١١٨𝜋 سنتيمتر مربع لكل سنتيمتر. والآن، ربما تفكر في أن الإجابة يجب أن تكون قيمة سالبة. نعلم من السؤال أن القرص الدائري ينكمش. ومع ذلك فهذا ليس صحيحًا. فتغير المساحة يتبع تغير نصف القطر، موجبًا كان أم سالبًا. لذا فمعدل التغير موجب بالفعل.

في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام الصيغة: النهاية عندما يقترب ﻫ من الصفر لـ ﺩﺃ زائد ﻫ ناقص ﺩﺃ على ﻫ لإيجاد معدل تغير الدالة ﺩﺱ عند النقطة ﺱ يساوي ﺃ بافتراض وجود هذه النهاية. ورأينا أننا عادة ما نسمي ذلك مشتقة الدالة ﺩ، وأنه يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد الصورة العامة وحل محدد بمعلومية قيمة ﺱ. ولكن علينا الحرص على أخذ طبيعة الدالة بعين الاعتبار عند تناول أمثلة ذات سياق معين.

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.