في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد معدل التغير اللحظي لدالة باستخدام المشتقات، ونطبق ذلك في المسائل الحياتية.
سنبدأ بتذكر تعريف المشتقة.
تعريف: مشتقة دالة
إذا كانت لدينا الدالة ، فإن مشتقة حيث تُعطى بالعلاقة:
يُعرف التعبير الموجود داخل النهاية في تعريف المشتقة باسم «قسمة الفرق». دعونا نتناول هيكل قسمة الفرق بشكل تفصيلي.
على سبيل المثال، لنفترض أن قيمة الدالة تمثل درجة حرارة شريحة لحم على شبكة شواء، والقيمة المدخلة تمثل الزمن منذ بدء طهي اللحم. سنتناول أولًا معنى قسمة الفرق عند . في هذه الحالة، نجد أن بسط قسمة الفرق يمثل التغير في درجة حرارة شريحة اللحم عند الزمن بالمقارنة مع درجة الحرارة عند الزمن . ونلاحظ أن طول هذه الفترة الزمنية يُعطى بالعلاقة . وعليه، فإن قسمة الفرق تمثل متوسط معدل التغير في درجة حرارة شريحة اللحم على شبكة الشواء خلال الفترة الزمنية .
إذا كان ، فإن . وفي هذه الحالة، يُعطى متوسط معدل التغير في درجة حرارة شريحة اللحم خلال الفترة الزمنية بالعلاقة:
ونلاحظ أن هذا هو نفس التعبير الذي كان لدينا عند . ومن ثمّ، عندما يكون ، فإن قسمة الفرق لدالة تعطينا متوسط معدل التغير في درجة الحرارة خلال الفترة الزمنية بين ، .
عند إيجاد النهاية حين يقترب من صفر، فإن قسمة الفرق تقيس متوسط معدل التغير في فترة طول قصير جدًّا تحتوي . إذا كانت هذه النهاية موجودة، فإنها ستمثل متوسط معدل التغير في درجة الحرارة على فترة طولها صفر وتتضمن ؛ أي المجموعة الأحادية العنصر . ونشير إلى هذه الكمية بأنها معدل التغير اللحظي عند . ونلاحظ أن هذا التعريف يتطابق مع تعريف مشتقة الدالة.
نظرية: معدل التغير اللحظي لدالة
إذا كانت لدينا الدالة ، فإن معدل التغير اللحظي للدالة بالنسبة إلى متغير القيمة المُدخلة عند يُعطى من خلال مشتقتها .
ملاحظة: يُعرف معدل التغير اللحظي لدالة أيضًا بأنه معدل تغير الدالة عند نقطة.
دعونا نتناول عدة أمثلة نستخدم فيها قواعد الاشتقاق لحساب مشتقة دالة، وسنستخدم المشتقة لإيجاد قيمة معدل التغير اللحظي للدالة عند نقطة معينة.
مثال ١: حساب قيمة معدل التغير لدالة كثيرة الحدود عند نقطة
أوجد قيمة معدل التغير اللحظي للدالة عندما يكون .
الحل
إننا نعلم أن معدل التغير اللحظي لدالة عند نقطةٍ ما يساوي قيمة مشتقة الدالة عند النقطة المُعطاة. وعليه، نحصل على معدل التغير اللحظي عن طريق إيجاد قيمة عندما يكون .
باستخدام قاعدة القوة، لأي عدد حقيقي ، وقاعدة اشتقاق ثابت يمكننا حساب :
سنعوّض بـ ، لنجد أن معدل التغير اللحظي لـ عندما يكون هو .
سنتناول مثالًا آخر على معدل التغير اللحظي، حيث سنستخدم قاعدة السلسلة لحساب المشتقة.
مثال ٢: إيجاد قيمة معدل تغير دالة جذرية عند نقطة
أوجد معدل التغير اللحظي للدالة عند .
الحل
إننا نعلم أن معدل التغير اللحظي لدالة عند نقطةٍ ما يساوي قيمة مشتقة الدالة عند النقطة المُعطاة. وعليه، يمكن الحصول على معدل التغير اللحظي بإيجاد . لذا علينا حساب المشتقة وإيجاد قيمتها عند لإيجاد الناتج.
سنسترجع هنا قاعدة السلسلة لدالتين قابلتين للاشتقاق ، :
في المثال هنا، نلاحظ أن ، حيث الدالة الخارجية هي والدالة الداخلية هي . يمكننا استخدام قاعدة القوة لحساب مشتقة . وبما أن ، يصبح لدينا:
وبالنسبة لـ ، يصبح لدينا:
بتطبيق قاعدة السلسلة، نحصل على:
بحساب قيمة ذلك عند نجد أن:
إذن، معدل التغير اللحظي للدالة عند هو .
سنتناول الآن مثالًا آخر لمعدل التغير اللحظي حيث سنستخدم قاعدة القسمة للحصول على دالة المشتقة.
مثال ٣: اشتقاق دوال كسرية عند نقطةٍ ما باستخدام قاعدة القسمة
إذا كانت الدالة ، فأوجد معدل تغيرها عندما يكون .
الحل
إننا نعلم أن معدل التغير لدالة عند نقطةٍ ما يساوي قيمة مشتقة الدالة عند النقطة المُعطاة. وعليه، فإننا سنحصل على معدل التغير اللحظي في هذا المثال بإيجاد بمجرد حساب دالة المشتقة .
لحساب مشتقة الدالة ، علينا تطبيق قاعدة القسمة:
بتطبيق قاعدة القسمة على الدالة المُعطاة، نحصل على:
سنحسب قيمة دالة المشتقة عند ، ويصبح لدينا:
إذن، معدل تغير الدالة عند هو .
في الأمثلة السابقة، تناولنا معدل التغير اللحظي لدالة جبرية. ومع ذلك، فإن تفسير المشتقة على أنها معدل التغير اللحظي يكون أكثر أهمية عند تطبيقها على دالة مرتبطة بالحياة الواقعية. ففي مثل هذه السياقات، علينا أن ننتبه لاستخدام الوحدة الصحيحة لمعدل التغير اللحظي.
على سبيل المثال، دعونا نسترجع المثال الذي تناولناه وكانت فيه الدالة تمثل درجة حرارة شريحة اللحم على شبكة شواء عند الزمن . يمكننا جعل وحدة الدالة ، التي تمثل درجة الحرارة، هي الدرجة المئوية، ووحدة ، التي تمثل الزمن هي الثانية. ونجد من ذلك أن البسط في كسر قسمة الفرق قيمته تكون وحدتها درجة الحرارة، وهي الدرجة المئوية. في حين أن المقام في كسر قسمة الفرق قيمته تكون وحدتها هي وحدة الزمن، وهي الثانية. نلاحظ من ذلك إذن أن قسمة الفرق تُقاس بالوحدة درجة مئوية/ ثانية. بعبارة أخرى، متوسط معدل التغير يقيس عددًا بالدرجة المئوية الذي يعبر عن حرارة شريحة اللحم التي تتغير لكل ثانية. ونلاحظ أن إيجاد النهاية حين يقترب من صفر، لا يغير وحدة التعبير. وعليه، تكون وحدة معدل التغير اللحظي هي درجة مئوية/ ثانية.
بوجه عام، تُعطى وحدة معدل التغير اللحظي بالعلاقة:
في المثال التالي، سنتناول معدل التغير اللحظي لدالة تمثل عنصرًا في بيئة حيوية.
مثال ٤: إيجاد معدل التغير لدالة كثيرة الحدود تمثل الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية عند زمن معين
تُعطى الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية بالملليجرام في صورة دالة في الزمن بالدقيقة بالعلاقة: . ما مُعدَّل النمو اللحظي للمزرعة البكتيرية عندما يكون دقيقتين؟
الحل
إننا نعلم أن معدل التغير اللحظي لدالة عند نقطةٍ ما يساوي قيمة مشتقة الدالة عند النقطة المُعطاة. وعليه، فإننا نحصل على معدل التغير اللحظي بإيجاد . لذا علينا حساب المشتقة وإيجاد قيمتها عند لإيجاد الناتج.
يمكننا استخدام قاعدة القوة، ، لحساب مشتقة الدالة :
سنوجد قيمة دالة المشتقة عند لنحصل على:
إننا نعلم أن وحدة معدل التغير اللحظي لدالة هي:
في هذا المثال، تُمثل قيمة الدالة الكتلة الحيوية لمزرعة بكتيرية بالـ ملليجرام، بينما يمثل متغير القيمة المُدخلة الوقت بالدقيقة. وعليه، فإن وحدة معدل التغير اللحظي هي ملليجرام لكل دقيقة (مجم/د.)
إذن، معدل النمو اللحظي لهذه المزرعة البكتيرية عند هو ٨٥٢ مجم/د.
في المثال الأخير، سنوجد معدل التغير اللحظي لدالة موصوفة بالكلمات.
مثال ٥: إيجاد معدل التغير في مساحة قرص دائري ينكمش عن طريق استخدام المعدلات ذات الصلة
ينكمش قرص دائري بانتظام محافظًا على شكله. ما معدل التغير في مساحته بالنسبة لنصف قطره، عندما يكون نصف القطر ٥٩ سم؟
الحل
إننا نعلم أن معدل التغير لدالة عند نقطةٍ ما يساوي قيمة مشتقة الدالة عند النقطة المُعطاة. في هذا المثال، نريد إيجاد معدل تغير مساحة دائرة بالنسبة لنصف قطرها. لذا، علينا البدء بتعريف الدالة التي تمثل مساحة الدائرة التي يكون فيها متغير القيمة المُدخلة هو نصف قطرها. سنستخدم المتغير للتعبير عن نصف القطر المَقيس بوحدة السنتيمتر، وسنشير إلى مساحة الدائرة، التي يكون نصف قطرها هو ، بـ . إذن يصبح لدينا:
لإيجاد معدل التغير اللحظي، علينا إيجاد دالة المشتقة. وبما أن ثابت، يمكننا الحصول على مشتقة باستخدام قاعدة القوة؛ :
ولأننا نريد إيجاد معدل التغير عندما يكون نصف القطر ٥٩ سم، فسنحسب قيمة عند :
لعلنا نتذكر أن وحدة معدل التغير اللحظي هي:
في هذا المثال، تكون قيمة الدالة هي مساحة الدائرة عندما يكون نصف القطر مَقيسًا بالسنتيمتر. وعليه، تكون وحدة قيم هي سنتيمترًا مربعًا (سم٢). متغير القيمة المُدخلة لدينا هو نصف القطر الذي يُقاس بوحدة سنتيمتر (سم). ومن ثمّ، تكون وحدة قيمة المشتقة هي سنتيمتر مربع لكل سنتيمتر (سم٢/سم.)
إذن، معدل تغير مساحة الدائرة بالنسبة لنصف قطرها عندما يكون نصف القطر ٥٩ سم هي سم٢/سم.
دعونا الآن نختتم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها.
النقاط الرئيسية
- إذا كانت لدينا الدالة ، فإن معدل التغير اللحظي للدالة بالنسبة إلى متغير القيمة الُمدخلة عند يُعطى بقيمة مشتقتها .
- نحصل على معدل التغير اللحظي للدالة بتقريب متوسط معدل التغير للدالة خلال فترة زمنية طولها يتضاءل تقريبًا لتكون نقطة واحدة. لذا، يُشار إلى هذا الحد أيضًا على أنه معدل تغير دالة عند نقطةٍ ما.
- في مسائل التطبيقات، تُعطى وحدة معدل التغير اللحظي بالعلاقة:
