نسخة الفيديو النصية
عند نقطة على المنحنى ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد ﺹ تربيع زائد خمسة ﺹ زائد أربعة يساوي صفرًا؛ حيث ﺱ أصغر من صفر، وﺹ أقل من صفر، يصنع المماس زاوية مقدارها تسعة 𝜋 على أربعة مع محور ﺱ الموجب. أوجد معادلة المماس عند تلك النقطة.
لدينا هنا معادلة منحنى بدلالة ﺱ وﺹ. لدينا أيضًا بعض المعطيات عن الزاوية التي يصنعها المماس مع محور ﺱ الموجب. الآن، قبل أن نفعل أي شيء، دعونا نفكر فيما يعنيه أن يصنع المماس زاوية تساوي تسعة 𝜋 على أربعة راديان مع محور ﺱ الموجب. يقع محور ﺱ الموجب هنا. والدورة الكاملة، أي ٣٦٠ درجة، هي دوران يساوي اثنين 𝜋 راديان أو ثمانية 𝜋 على أربعة راديان. وبما أن المماس يصنع زاوية مقدارها تسعة 𝜋 على أربعة راديان مع محور ﺱ الموجب، إذن علينا التحرك بمقدار 𝜋 على أربعة راديان من تلك الدورة الكاملة.
تذكر أن 𝜋 على أربعة راديان تساوي ٤٥ درجة. من ثم، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية على المماس. ونعرف أن هذا المثلث لا بد أن يكون متساوي الساقين لأن اثنتين من زواياه قياساهما يساويان ٤٥ درجة. هذا يعني أنه إذا أردنا حساب التغير الرأسي على التغير الأفقي، أو التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، فسيكون الناتج أن الميل يساوي واحدًا. إذن، بالنظر إلى ما لدينا من معطيات عن المماس، فإننا نعرف ميله، لكن علينا إيجاد نقطة يمر بها. فكيف سنتمكن من فعل ذلك؟
حسنًا، سنستخدم معادلة المنحنى. نعلم أنه يمكننا إيجاد ميل المماس عن طريق إيجاد قيمة المشتقة عند نقطة معطاة. ولدينا هنا معادلة معرفة ضمنيًّا. ومن ثم، سنستخدم الاشتقاق الضمني لاشتقاق كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. تذكر أن هذه مجرد حالة خاصة من قاعدة السلسلة. وهي تنص على أنه لاشتقاق دالة في ﺹ بالنسبة إلى ﺱ، نشتق هذه الدالة بالنسبة إلى ﺹ، ثم نضربها في دﺹ على دﺱ.
هيا نشتق كل حد على حدة. نبدأ باشتقاق ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ. حسنًا، تذكر أنه لاشتقاق حد أسي نضرب الحد بالكامل في الأس ونطرح واحدًا من هذا الأس. إذن، مشتقة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ هي اثنان ﺱ. بعد ذلك، نشتق ثلاثة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، لنحصل على ثلاثة. لكن ماذا عن الحد الثالث، أي مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ؟ حسنًا، تذكر أننا نبدأ باشتقاق ذلك الحد بالنسبة إلى ﺹ. ومشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺹ هي اثنان ﺹ. ثم نضرب ذلك في دﺹ على دﺱ. إذن، الحد الثالث يساوي اثنين ﺹ دﺹ على دﺱ.
نكرر هذه العملية للحصول على مشتقة خمسة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. علينا اشتقاقها بالنسبة إلى ﺹ، ما يعطينا خمسة، ثم نضربها في دﺹ على دﺱ. وأخيرًا، نعلم أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا. وبذلك، نجد أن اثنين ﺱ زائد ثلاثة زائد اثنين ﺹ دﺹ على دﺱ زائد خمسة دﺹ على دﺱ يجب أن يساوي صفرًا. مهمتنا التالية هي أخذ دﺹ على دﺱ عاملًا مشتركًا. عندما نفعل ذلك، نجد أن المعادلة تصبح دﺹ على دﺱ في اثنين ﺹ زائد خمسة زائد اثنين ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا.
نريد الآن التعبير عن دﺹ على دﺱ بوصفها دالة في ﺱ وﺹ. لذا نطرح اثنين ﺱ وثلاثة من كلا الطرفين ثم نقسم الطرفين على اثنين ﺹ زائد خمسة. هكذا يصبح لدينا تعبير عن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. إنها سالب اثنين ﺱ ناقص ثلاثة على اثنين ﺹ زائد خمسة.
والآن، تذكر أننا قلنا إن ميل المماس يساوي واحدًا، لذا سنجعل هذا يساوي واحدًا. هدفنا هو إيجاد تعبير عن ﺹ بدلالة ﺱ. ولذا، نضرب كلا الطرفين في اثنين ﺹ زائد خمسة. ثم نطرح خمسة من كلا الطرفين لنحصل على اثنين ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ثمانية، ثم نقسم الطرفين على اثنين. وبذلك، نحصل على ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص أربعة. لكن لماذا فعلنا ذلك؟ لأن هذا سيمكننا الآن من التعويض بـ ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص أربعة في المعادلة الأصلية. ومن ثم، نحصل على ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ زائد سالب ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع زائد خمسة في سالب ﺱ ناقص أربعة زائد أربعة يساوي صفرًا.
وبتوزيع القوسين، نجد أن سالب ﺱ ناقص أربعة تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ثمانية ﺱ زائد ١٦، وخمسة في سالب ﺱ ناقص أربعة يساوي سالب خمسة ﺱ ناقص ٢٠. ويمكننا تبسيط هذا التعبير بالكامل في الطرف الأيمن إلى اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ. ويمكننا أيضًا تحليل هذا التعبير الموجود في الطرف الأيمن لمساعدتنا في إيجاد قيمة ﺱ. عندما نفعل ذلك، نحصل على اثنين ﺱ في ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا.
حسنًا، نعلم أنه يمكننا إيجاد أحد حلي هذه المعادلة بحل اثنين ﺱ يساوي صفرًا. إذن، ﺱ يساوي صفرًا. والحل الآخر هو قيمة ﺱ حيث ﺱ زائد ثلاثة يساوي صفرًا. حسنًا، هذا يعني أن ﺱ يساوي سالب ثلاثة. لكننا نعرف من المعطيات أن ﺱ أصغر من صفر. إذن سنختار ﺱ يساوي سالب ثلاثة. سنستخدم المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص أربعة لإيجاد القيمة المناظرة لـ ﺹ. من ثم نحصل على ﺹ يساوي سالب سالب ثلاثة ناقص أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد. حسنًا، نعلم الآن أن ميل المماس أو انحداره يساوي واحدًا، ونعلم أنه يمر بالنقطة التي إحداثياتها سالب ثلاثة، سالب واحد.
مهمتنا الأخيرة هي التعويض بكل ما نعرفه في معادلة الخط المستقيم. لدينا ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد. فنحصل على ﺹ ناقص سالب واحد يساوي واحدًا في ﺱ ناقص سالب ثلاثة. بتوزيع القوسين، نحصل على ﺹ زائد واحد يساوي ﺱ زائد ثلاثة. ثم نطرح ﺱ وثلاثة من كلا الطرفين.
إذن معادلة مماس المنحنى، عند النقطة التي حسبناها ووجدنا أنها تساوي سالب ثلاثة، سالب واحد، هي: سالب ﺱ زائد ﺹ ناقص اثنين يساوي صفرًا.
