في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الاشتقاق الضمني لاشتقاق الدوال المُعرَّفة ضمنيًّا.
في هذه المرحلة في مسار التفاضل والتكامل، يمكننا اشتقاق العديد من أنواع الدوال التي يكون فيها أحد المتغيِّرين مُعبَّرًا عنه صراحةً بدلالة الآخر. على سبيل المثال:
بوجهٍ عام، تكون دوالَّ من النوع . لا تكون بعض الدوال مُعرَّفة بهذا الشكل صراحةً، لكنها بدلًا من ذلك تكون مُعرَّفة ضمنيًّا باستخدام العلاقة بين ، . ومن الأمثلة المألوفة على ذلك معادلة الدائرة: وهي معادلة تُعرِّف الدالة ضمنيًّا. في هذه الحالة، من الممكن حلُّ لنحصل على دالتين صريحتين في ، وهما:
ومع ذلك، قد لا يكون هذا ممكنًا بوجهٍ عام. على سبيل المثال، انظر العلاقة:
لا يمكن إيجاد مقدار بصيغة مغلقة يعرِّف بدلالة صراحةً. ومع ذلك، باستخدام الاشتقاق الضمني، ما زال بإمكاننا إيجاد مقدار لمشتقة بالنسبة إلى ، حتى إذا لم نتمكَّن من إعادة ترتيب العلاقة للحصول على دالة صريحة. كيف يمكننا فعل ذلك؟ علينا أن نطبِّق قاعدة السلسلة.
قاعدة: قاعدة السلسلة
بمعلومية الدالة في المتغيِّر ، فإن تفاضلها بالنسبة إلى المتغيِّر يُعطى بالعلاقة:
هنا تكون مشتقة الدالة التي حصلنا عليها بالاستعانة بقواعد الاشتقاق.
عندما يكون المتغيِّر في الدالة التي نُفاضلها هو ، فإن التفاضل يُمكن حسابه مباشرةً باستخدام قواعد الاشتقاق. أما إذا كان متغيِّر الدالة التي نُفاضلها هو ، فإن قاعدة السلسلة التي ذكرناها تُخبرنا أن المشتقة ستتضمَّن عاملين إضافيين على الصورة .
نوضِّح الطريقة بمثال.
مثال ١: الاشتقاق الضمني
انظر المعادلة .
- باستخدام الاشتقاق الضمني، أوجد مقدارًا لـ بدلالة ، .
- في نصف الدائرة؛ حيث ، عبِّر عن صراحةً بدلالة ، ثم اشتق هذا المقدار للحصول على مقدار لـ بدلالة .
الحل
الجزء الأول
للاشتقاق ضمنيًّا، علينا اشتقاق طرفَي المعادلة بالنسبة إلى كالآتي:
وباستخدام الخاصية الخطية للمشتقة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
باستخدام قاعدة القوى، يمكننا اشتقاق الحد الأول:
وبالنسبة إلى الحد الثاني، بما أن دالة في ، ويمكننا اعتبار دالة في ، إذن يمكننا استخدام قاعدة السلسلة للحصول على:
بالتعويض بهذا في المعادلة (١)، نحصل على:
يمكننا الآن إعادة ترتيب المعادلة لجعل في طرف بمفرده. بطرح من الطرفين، والقسمة على اثنين، نحصل على:
لجميع قيم ، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة:
الجزء الثاني
نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة المُعطاة لجعل في طرف بمفرده. بطرح من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على:
ولأنَّ ما يهمنا هو فقط نصف الدائرة؛ حيث ، يمكننا أخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا طرفَي المعادلة، لنحصل على:
لدينا الآن صيغة صريحة لـ بدلالة ، يمكننا الاشتقاق باستخدام قواعد الاشتقاق المألوفة. لاحظ أن لدينا هنا تركيبًا للدوال؛ ومن ثَمَّ، يتعيَّن علينا تطبيق قاعدة السلسلة. بجعل ، نحصل على: . نجري الآن عملية الاشتقاق للحصول على:
وبتطبيق قاعدة السلسلة: نحصل على:
لاحظ أنه بما أن ، إذن يمكننا التعبير عنه بـ ، وهي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها في الجزء الأول من السؤال.
يوضِّح المثال السابق عددًا من النقاط المهمة:
- حتى عندما يكون من الممكن إعادة كتابة علاقة على صورة دالة صريحة، يكون استخدام الاشتقاق الضمني أسهل في كثير من الأحيان.
- عندما نشتق ضمنيًّا، بوجهٍ عام، سنحصل على مقدار بدلالة كلٍّ من ، .
من الشائع إلى حدٍّ ما استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد معادلة مماس منحنى مُعرَّف ضمنيًّا. في المثالين الآتيين، سنشرح كيف يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لحل المسائل التي من هذا النوع.
مثال ٢: إيجاد المماس لمنحنى مُعرَّف ضمنيًّا
تَصِف المعادلة منحنًى في المستوى.
- أوجد إحداثيات نقطتين على هذا المنحنى؛ حيث .
- أوجد معادلة المماس عند النقاط التي يكون عندها ، وإحداثي موجبًا.
- أوجد إحداثيات نقطة أخرى، إن وُجِدَت، يلتقي عندها المماس بالمنحنى.
الحل
الجزء الأول
لإيجاد النقاط على المنحنى، التي عندها على المنحنى، نعوِّض بهذه القيمة في المعادلة، ونحلُّها للحصول على قيمة . إذن:
ومن ثَمَّ، ، وهو ما يعني أن ، هما قيمتا ؛ حيث ، ويمكننا كتابتهما على صورة الإحداثيين والإحداثيين .
الجزء الثاني
علينا إيجاد معادلة مماس المنحنى عند . لفعل ذلك؛ نبدأ بإيجاد المشتقة عند هذه النقطة؛ لأنها ستساوي ميل المماس. ومن ثَمَّ، بالاشتقاق الضمني، نحصل على:
ومن ثَمَّ:
بالنسبة إلى النقطة التي تهمنا، بما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:
وبالتعويض بـ ، ، نحصل على:
إذن ميل المماس عند هو . ومن ثَمَّ، باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم: يمكننا إيجاد معادلة المماس كما يأتي:
يمكننا تبسيط ذلك إلى:
الجزء الثالث
لإيجاد إحداثيات نقطةٍ أخرى يقطع عندها هذا المماس المنحنى، يمكننا التعويض بـ في معادلة المنحنى، ومحاولة إيجاد قيمة . ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد القيمة المناظرة لـ . إذن:
بفك القوسين، نحصل على:
ومن ثَمَّ:
ونحن نعلم بالفعل أن المماس يمر بالنقطة . ومن ثَمَّ، هو أحد جذور هذه المعادلة. يمكننا إذن إخراجه باعتباره عاملًا مشتركًا. يمكننا تحقيق ذلك عن طريق القسمة المطوَّلة، أو عن طريق مطابقة معاملات الحدود. نبدأ بكتابة:
يمكننا أن نلاحظ أن الحد الأول في القوسين لا بد أن يكون للتأكُّد من أننا نحصل على المعامل الصحيح لحد . ومن ثم:
وبالمثل، نلاحظ أن الحد الثابت داخل القوسين لا بد أن يكون . إذن:
وأخيرًا، علينا إيجاد الحد الأوسط في القوسين. يمكننا فعل ذلك بالمقارنة بين معاملَي الحد في كلا طرفَي المعادلة. في الطرف الأيسر لدينا المعامل ، وفي الطرف الأيمن لدينا المعامل . إذن :
عادةً ما يكون من المفيد التأكُّد من أن هذه القيمة تُعطينا المعامل الصحيح للحد الأخير في الطرف الأيسر، وهو . إذن بالتفكير في معامل في الطرف الأيمن، نحصل على ، كما هو مطلوب.
لدينا الآن معادلة تربيعية يمكننا حلُّها. باستخدام القانون العام أو غير ذلك، نجد أن حلول المعادلة هي ، . ومن ثَمَّ، يقطع المماس المنحنى مرةً أخرى عند النقطة التي عندها . باستخدام معادلة المماس، يمكننا التعويض بقيمة لإيجاد قيمة المناظرة كالآتي:
ومن ثَمَّ، نلاحظ أن المماس عند يقطع المنحنى مرةً أخرى عند النقطة .
قد يُطلَب منا أحيانًا إيجاد معادلة المماس من ميله بدلًا من نقطة التماس. في المثال الآتي، سنتناول مسألة من هذا النوع.
مثال ٣: إيجاد المماس بمعلومية الميل
أوجد، عند ، المماس للمنحنى ، الذي ميله ، واكتب المعادلة بدلالة .
الحل
لدينا هنا ميل المماس، ونريد إيجاد قيمتَي ، عند النقطة التي يكون للمماس عندها هذا الميل. لفعل ذلك، نبدأ باشتقاق المعادلة لإيجاد مقدار للمشتقة . باستخدام الاشتقاق الضمني:
بما أن المشتقة تساوي ميل المماس، إذن يمكننا التعويض بقيمة لـ كالآتي:
وبالتبسيط، نحصل على:
ومن ثَمَّ، .
في الأمثلة السابقة، حسبنا المشتقة الأولى ، وطبَّقنا المشتقة لإيجاد ميل المماس عند نقطة. أحيانًا نهتم بإيجاد المشتقة الثانية أو مشتقة من الرتب العُليا. ولإيجاد المشتقة الثانية، ، نوجد المشتقة الأولى أولًا. بعد ذلك، يمكننا إيجاد المشتقة الثانية باشتقاق المشتقة الأولى. هيا نتناول مثالًا نوجد فيه المشتقة الثانية من معادلة ضمنية.
مثال ٤: إيجاد المشتقة الثانية باستخدام الاشتقاق الضمني
إذا كان ، فأوجد باستخدام الاشتقاق الضمني.
الحل
نبدأ بالاشتقاق الضمني لإيجاد المشتقة الأولى كما يأتي:
عند هذه المرحلة، يمكننا الاشتقاق مرةً أخرى أو إعادة الترتيب أولًا لجعل في طرف بمفردها. بوجهٍ عام، عند الاشتقاق مرةً أخرى، نحصل على مقدار لـ بدلالة . ولهذا السبب، يكون من المفيد عادةً إعادة ترتيب المعادلة أولًا. بطرح من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على:
إذا كان ، يمكننا القسمة على ، لنحصل على:
عند هذه المرحلة، يمكننا استخدام قاعدة القسمة: للاشتقاق مرة أخرى والحصول على:
يمكننا الآن التعويض في مقدار الذي حسبناه سابقًا، لنحصل على:
بالتعبير عن البسط في صورة كسر منفرد، نحصل على:
هذه الصيغة صحيحة لجميع قيم ، ؛ بحيث يكون .
هيا نتناول مثالًا نحسب فيه المشتقة الثالثة ، من معادلة ضمنية.
مثال ٥: إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا باستخدام الاشتقاق الضمني
أوجد ، إذا كان .
الحل
نبدأ باشتقاق ضمنيًّا، لنحصل على:
عند هذه المرحلة، يمكننا الاشتقاق مرةً أخرى أو إعادة ترتيب المعادلة أولًا لجعل في طرف بمفرده. بوجهٍ عام، عند الاشتقاق مرةً أخرى، نحصل على مقدار لـ بدلالة . ولهذا السبب، يكون من المفيد عادةً إعادة ترتيب المعادلة أولًا. إذن بطرح من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على:
ومن ثم، عند :
يمكننا الآن استخدام قاعدة القسمة: للاشتقاق مرةً أخرى والحصول على:
وبالتعويض في مقدار ، نحصل على:
وبما أن ، إذن يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة:
يمكننا الآن الاشتقاق مرةً أخرى للحصول على مقدار كالآتي:
بالتعويض بقيمة في المعادلة، نحصل على:
هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة التي وردت في الشارح.
النقاط الرئيسية
- عندما تكون الدالة مُعرَّفة ضمنيًّا، يمكننا اشتقاق كل حدٍّ من المعادلة باستخدام الصورة الآتية من قاعدة السلسلة للحدود التي تتضمَّن المتغيِّر التابع :
- حتى عندما يكون من الممكن إعادة كتابة علاقة على صورة دالة صريحة، يكون استخدام الاشتقاق الضمني أسهل في كثير من الأحيان.
- عندما نشتق ضمنيًّا، بوجهٍ عام، سنحصل على مقدار بدلالة كلٍّ من ، .
- يمكننا إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا باستخدام الاشتقاق الضمني. في مثل هذه الحالات، نحتاج عادةً إلى التعويض بمقادير المشتقات ذات الرتب الأقل، بل والمعادلة التي تعرِّف الدالة ضمنيًّا، لتبسيط المقدار.
