تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: الاشتقاق الضمني الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الاشتقاق الضمني لاشتقاق الدوال المُعرَّفة ضمنيًّا.

في هذه المرحلة في مسار التفاضل والتكامل، يمكننا اشتقاق العديد من أنواع الدوال التي يكون فيها أحد المتغيِّرين مُعبَّرًا عنه صراحةً بدلالة الآخر. على سبيل المثال: 𞸑=󰋴١𞸎،𞸑=𞸤𞸎.٢𞸎٢

بوجهٍ عام، تكون دوالَّ من النوع 𞸑=󰎨(𞸎). لا تكون بعض الدوال مُعرَّفة بهذا الشكل صراحةً، لكنها بدلًا من ذلك تكون مُعرَّفة ضمنيًّا باستخدام العلاقة بين 𞸎، 𞸑. ومن الأمثلة المألوفة على ذلك معادلة الدائرة: 𞸎+𞸑=𞸓،٢٢٢ وهي معادلة تُعرِّف الدالة ضمنيًّا. في هذه الحالة، من الممكن حلُّ 𞸑 لنحصل على دالتين صريحتين في 𞸎، وهما: 𞸑=󰋴𞸓𞸎،𞸑=󰋴𞸓𞸎.٢٢٢٢

ومع ذلك، قد لا يكون هذا ممكنًا بوجهٍ عام. على سبيل المثال، انظر العلاقة: 𞸑𞸑=𞸎𞸎.٢

لا يمكن إيجاد مقدار بصيغة مغلقة يعرِّف 𞸑 بدلالة 𞸎 صراحةً. ومع ذلك، باستخدام الاشتقاق الضمني، ما زال بإمكاننا إيجاد مقدار لمشتقة 𞸑 بالنسبة إلى 𞸎، حتى إذا لم نتمكَّن من إعادة ترتيب العلاقة للحصول على دالة صريحة. كيف يمكننا فعل ذلك؟ علينا أن نطبِّق قاعدة السلسلة.

قاعدة: قاعدة السلسلة

بمعلومية الدالة 󰎨(𞸑) في المتغيِّر 𞸑، فإن تفاضلها بالنسبة إلى المتغيِّر 𞸎 يُعطى بالعلاقة: 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸑)=󰎨(𞸑)𞸃𞸑𞸃𞸎.

هنا تكون 󰎨(𞸑) مشتقة الدالة 󰎨(𞸑) التي حصلنا عليها بالاستعانة بقواعد الاشتقاق.

عندما يكون المتغيِّر في الدالة التي نُفاضلها هو 𞸎، فإن التفاضل 𞸃𞸃𞸎 يُمكن حسابه مباشرةً باستخدام قواعد الاشتقاق. أما إذا كان متغيِّر الدالة التي نُفاضلها هو 𞸑، فإن قاعدة السلسلة التي ذكرناها تُخبرنا أن المشتقة ستتضمَّن عاملين إضافيين على الصورة 𞸃𞸑𞸃𞸎.

نوضِّح الطريقة بمثال.

مثال ١: الاشتقاق الضمني

انظر المعادلة 𞸎+𞸑=١٢٢.

  1. باستخدام الاشتقاق الضمني، أوجد مقدارًا لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎 بدلالة 𞸎، 𞸑.
  2. في نصف الدائرة؛ حيث 𞸑٠، عبِّر عن 𞸑 صراحةً بدلالة 𞸎، ثم اشتق هذا المقدار للحصول على مقدار لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎 بدلالة 𞸎.

الحل

الجزء الأول

للاشتقاق ضمنيًّا، علينا اشتقاق طرفَي المعادلة بالنسبة إلى 𞸎 كالآتي: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎+𞸑󰁒=𞸃𞸃𞸎(١).٢٢

وباستخدام الخاصية الخطية للمشتقة، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸎󰁒+𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=٠.٢٢

باستخدام قاعدة القوى، يمكننا اشتقاق الحد الأول:

٢𞸎+𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=٠.٢()١

وبالنسبة إلى الحد الثاني، بما أن 𞸑٢ دالة في 𞸑، ويمكننا اعتبار 𞸑 دالة في 𞸎، إذن يمكننا استخدام قاعدة السلسلة للحصول على: 𞸃𞸃𞸎󰁓𞸑󰁒=٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎.٢

بالتعويض بهذا في المعادلة (١)، نحصل على: ٢𞸎+٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٠.

يمكننا الآن إعادة ترتيب المعادلة لجعل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في طرف بمفرده. بطرح ٢𞸎 من الطرفين، والقسمة على اثنين، نحصل على: 𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎.

لجميع قيم 𞸑٠، يمكننا إعادة كتابة هذا على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎𞸑.

الجزء الثاني

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة المُعطاة لجعل 𞸑 في طرف بمفرده. بطرح 𞸎٢ من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على: 𞸑=١𞸎.٢٢

ولأنَّ ما يهمنا هو فقط نصف الدائرة؛ حيث 𞸑٠، يمكننا أخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا طرفَي المعادلة، لنحصل على: 𞸑=󰋴١𞸎.٢

لدينا الآن صيغة صريحة لـ 𞸑 بدلالة 𞸎، يمكننا الاشتقاق باستخدام قواعد الاشتقاق المألوفة. لاحظ أن لدينا هنا تركيبًا للدوال؛ ومن ثَمَّ، يتعيَّن علينا تطبيق قاعدة السلسلة. بجعل 𞸏=١𞸎٢، نحصل على: 𞸑=󰋴𞸏. نجري الآن عملية الاشتقاق للحصول على: 𞸃𞸑𞸃𞸏=١٢󰋴𞸏،𞸃𞸏𞸃𞸎=٢𞸎.

وبتطبيق قاعدة السلسلة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸑𞸃𞸏𞸃𞸏𞸃𞸎، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١٢󰋴١𞸎(٢𞸎)=𞸎󰋴١𞸎.٢٢

لاحظ أنه بما أن 𞸑=󰋴١𞸎٢، إذن يمكننا التعبير عنه بـ 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎𞸑، وهي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها في الجزء الأول من السؤال.

يوضِّح المثال السابق عددًا من النقاط المهمة:

  • حتى عندما يكون من الممكن إعادة كتابة علاقة على صورة دالة صريحة، يكون استخدام الاشتقاق الضمني أسهل في كثير من الأحيان.
  • عندما نشتق ضمنيًّا، بوجهٍ عام، سنحصل على مقدار 𞸃𞸑𞸃𞸎 بدلالة كلٍّ من 𞸎، 𞸑.

من الشائع إلى حدٍّ ما استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد معادلة مماس منحنى مُعرَّف ضمنيًّا. في المثالين الآتيين، سنشرح كيف يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني لحل المسائل التي من هذا النوع.

مثال ٢: إيجاد المماس لمنحنى مُعرَّف ضمنيًّا

تَصِف المعادلة 𞸑٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠٢٣ منحنًى في المستوى.

  1. أوجد إحداثيات نقطتين على هذا المنحنى؛ حيث 𞸎=١٢.
  2. أوجد معادلة المماس عند النقاط التي يكون عندها 𞸎=١٢، وإحداثي 𞸑 موجبًا.
  3. أوجد إحداثيات نقطة أخرى، إن وُجِدَت، يلتقي عندها المماس بالمنحنى.

الحل

الجزء الأول

لإيجاد النقاط على المنحنى، التي عندها 𞸎=١٢ على المنحنى، نعوِّض بهذه القيمة في المعادلة، ونحلُّها للحصول على قيمة 𞸑. إذن: ٠=𞸑٤٢󰂔١٢󰂓+٤٢󰂔١٢󰂓=𞸑+٣٢١=𞸑٩.٢٣٢٢

ومن ثَمَّ، 𞸑=٩٢، وهو ما يعني أن 𞸑=٣، 𞸑=٣ هما قيمتا 𞸑؛ حيث 𞸎=١٢، ويمكننا كتابتهما على صورة الإحداثيين 󰂔١٢،٣󰂓 والإحداثيين 󰂔١٢،٣󰂓.

الجزء الثاني

علينا إيجاد معادلة مماس المنحنى عند 󰂔١٢،٣󰂓. لفعل ذلك؛ نبدأ بإيجاد المشتقة عند هذه النقطة؛ لأنها ستساوي ميل المماس. ومن ثَمَّ، بالاشتقاق الضمني، نحصل على: ٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎٢٧𞸎+٤٢=٠.٢

ومن ثَمَّ: ٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٢٧𞸎٤٢.٢

بالنسبة إلى النقطة التي تهمنا، بما أن 𞸑٠، إذن يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٦٣𞸎٢١𞸑.٢

وبالتعويض بـ 𞸎=١٢، 𞸑=٣، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٦٣󰂔󰂓٢١٣=٢١٤٤=١.(𞸎،𞸑)=󰂔،٣󰂓١٢٢١٢

إذن ميل المماس عند 󰂔١٢،٣󰂓 هو ١. ومن ثَمَّ، باستخدام صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم: 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒،٠٠ يمكننا إيجاد معادلة المماس كما يأتي: 𞸑٣=١󰂔𞸎󰂔١٢󰂓󰂓.

يمكننا تبسيط ذلك إلى: 𞸑=٥٢𞸎.

الجزء الثالث

لإيجاد إحداثيات نقطةٍ أخرى يقطع عندها هذا المماس المنحنى، يمكننا التعويض بـ 𞸑=٥٢𞸎 في معادلة المنحنى، ومحاولة إيجاد قيمة 𞸎. ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد القيمة المناظرة لـ 𞸑. إذن: 󰂔٥٢𞸎󰂓٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠.٢٣

بفك القوسين، نحصل على: ٥٢٤٥𞸎+𞸎٤٢𞸎+٤٢𞸎=٠.٢٣

ومن ثَمَّ: ٤٢𞸎𞸎٩١𞸎٥٢٤=٠.٣٢

ونحن نعلم بالفعل أن المماس يمر بالنقطة 󰂔١٢،٣󰂓. ومن ثَمَّ، 𞸎=١٢ هو أحد جذور هذه المعادلة. يمكننا إذن إخراجه باعتباره عاملًا مشتركًا. يمكننا تحقيق ذلك عن طريق القسمة المطوَّلة، أو عن طريق مطابقة معاملات الحدود. نبدأ بكتابة: 󰂔𞸎+١٢󰂓󰁓𞸀𞸎+𞸁𞸎+𞸢󰁒=٤٢𞸎𞸎٩١𞸎٥٢٤.٢٣٢

يمكننا أن نلاحظ أن الحد الأول في القوسين لا بد أن يكون ٤٢𞸎٢ للتأكُّد من أننا نحصل على المعامل الصحيح لحد 𞸎٣. ومن ثم: 󰂔𞸎+١٢󰂓󰁓٤٢𞸎+𞸁𞸎+𞸢󰁒=٤٢𞸎𞸎٩١𞸎٥٢٤.٢٣٢

وبالمثل، نلاحظ أن الحد الثابت داخل القوسين لا بد أن يكون ٥٢٢. إذن: 󰂔𞸎+١٢󰂓󰂔٤٢𞸎+𞸁𞸎٥٢٢󰂓=٤٢𞸎𞸎٩١𞸎٥٢٤.٢٣٢

وأخيرًا، علينا إيجاد الحد الأوسط في القوسين. يمكننا فعل ذلك بالمقارنة بين معاملَي الحد 𞸎٢ في كلا طرفَي المعادلة. في الطرف الأيسر لدينا المعامل ١، وفي الطرف الأيمن لدينا المعامل 𞸁+٢١. إذن 𞸁=٣١: 󰂔𞸎+١٢󰂓󰂔٤٢𞸎٣١𞸎٥٢٢󰂓=٤٢𞸎𞸎٩١𞸎٥٢٤.٢٣٢

عادةً ما يكون من المفيد التأكُّد من أن هذه القيمة تُعطينا المعامل الصحيح للحد الأخير في الطرف الأيسر، وهو ٩١𞸎. إذن بالتفكير في معامل 𞸎 في الطرف الأيمن، نحصل على ٣١٢٥٢٢=٩١، كما هو مطلوب.

لدينا الآن معادلة تربيعية يمكننا حلُّها. باستخدام القانون العام أو غير ذلك، نجد أن حلول المعادلة هي 𞸎=١٢، 𞸎=٥٢٤٢. ومن ثَمَّ، يقطع المماس المنحنى مرةً أخرى عند النقطة التي عندها 𞸎=٥٢٤٢. باستخدام معادلة المماس، يمكننا التعويض بقيمة 𞸎 لإيجاد قيمة 𞸑 المناظرة كالآتي: 𞸑=٥٢٥٢٤٢=٥٣٤٢.

ومن ثَمَّ، نلاحظ أن المماس عند 󰂔١٢،٣󰂓 يقطع المنحنى مرةً أخرى عند النقطة 󰂔٥٢٤٢،٥٣٤٢󰂓.

قد يُطلَب منا أحيانًا إيجاد معادلة المماس من ميله بدلًا من نقطة التماس. في المثال الآتي، سنتناول مسألة من هذا النوع.

مثال ٣: إيجاد المماس بمعلومية الميل

أوجد، عند ٠<𞸎<𝜋، المماس للمنحنى ٩𞸑=(٥𞸎+٣𞸑)، الذي ميله ٥٢١، واكتب المعادلة بدلالة 𝜋.

الحل

لدينا هنا ميل المماس، ونريد إيجاد قيمتَي 𞸎، 𞸑 عند النقطة التي يكون للمماس عندها هذا الميل. لفعل ذلك، نبدأ باشتقاق المعادلة لإيجاد مقدار للمشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎. باستخدام الاشتقاق الضمني: ٩𞸃𞸑𞸃𞸎=󰃁٥+٣𞸃𞸑𞸃𞸎󰃀(٥𞸎+٣𞸑).

بما أن المشتقة تساوي ميل المماس، إذن يمكننا التعويض بقيمة ٥٢١ لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎 كالآتي: ٩󰂔٥٢١󰂓=󰂔٥+٣󰂔٥٢١󰂓󰂓(٥𞸎+٣𞸑).

وبالتبسيط، نحصل على: ٥١٤=٥١٤(٥𞸎+٣𞸑)١=(٥𞸎+٣𞸑).

ومن ثَمَّ، ٥𞸎+٣𞸑=𝜋٢.

في الأمثلة السابقة، حسبنا المشتقة الأولى 𞸃𞸑𞸃𞸎، وطبَّقنا المشتقة لإيجاد ميل المماس عند نقطة. أحيانًا نهتم بإيجاد المشتقة الثانية أو مشتقة من الرتب العُليا. ولإيجاد المشتقة الثانية، 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢، نوجد المشتقة الأولى 𞸃𞸑𞸃𞸎 أولًا. بعد ذلك، يمكننا إيجاد المشتقة الثانية باشتقاق المشتقة الأولى. هيا نتناول مثالًا نوجد فيه المشتقة الثانية من معادلة ضمنية.

مثال ٤: إيجاد المشتقة الثانية باستخدام الاشتقاق الضمني

إذا كان ٢𞸑٥𞸎=٤، فأوجد 𞸑󰍲 باستخدام الاشتقاق الضمني.

الحل

نبدأ بالاشتقاق الضمني لإيجاد المشتقة الأولى كما يأتي: ٢(𞸑)𞸃𞸑𞸃𞸎+٥𞸎=٠.

عند هذه المرحلة، يمكننا الاشتقاق مرةً أخرى أو إعادة الترتيب أولًا لجعل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في طرف بمفردها. بوجهٍ عام، عند الاشتقاق مرةً أخرى، نحصل على مقدار لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢ بدلالة 𞸃𞸑𞸃𞸎. ولهذا السبب، يكون من المفيد عادةً إعادة ترتيب المعادلة أولًا. بطرح ٥𞸎 من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على: ٢(𞸑)𞸃𞸑𞸃𞸎=٥𞸎.

إذا كان 𞸑٠، يمكننا القسمة على ٢𞸑، لنحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥𞸎٢𞸑.

عند هذه المرحلة، يمكننا استخدام قاعدة القسمة: 󰃁󰎨𞹒󰃀=󰎨𞹒󰎨𞹒𞹒،󰍱󰍱󰍱٢ للاشتقاق مرة أخرى والحصول على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٠١𞸎𞸑+٠١𞸎𞸑𞸃𞸃٤𞸑=٥𞸎𞸑+٥𞸎𞸑𞸃𞸃٢𞸑.٢٢𞸑𞸎٢𞸑𞸎٢

يمكننا الآن التعويض في مقدار 𞸃𞸑𞸃𞸎 الذي حسبناه سابقًا، لنحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥𞸎𞸑+٥𞸎𞸑󰂔󰂓٢𞸑.٢٢٥𞸎٢𞸑٢

بالتعبير عن البسط في صورة كسر منفرد، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢𞸑=٠١𞸎𞸑٥٢𞸎𞸑٤𞸑=٥٢𞸎𞸑٠١𞸎𞸑٤𞸑.٢٢٠١𞸎𞸑٥٢𞸎𞸑𞸎٢𞸑٢٢٢٣٢٢٣٢

هذه الصيغة صحيحة لجميع قيم 𞸎، 𞸑؛ بحيث يكون 𞸑٠.

هيا نتناول مثالًا نحسب فيه المشتقة الثالثة 𞸃𞸑𞸃𞸎٣٣، من معادلة ضمنية.

مثال ٥: إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا باستخدام الاشتقاق الضمني

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎٣٣، إذا كان ٦𞸎+٦𞸑=٥٢٢٢.

الحل

نبدأ باشتقاق ٦𞸎+٦𞸑=٥٢٢٢ ضمنيًّا، لنحصل على: ٢١𞸎+٢١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٠.

عند هذه المرحلة، يمكننا الاشتقاق مرةً أخرى أو إعادة ترتيب المعادلة أولًا لجعل 𞸃𞸑𞸃𞸎 في طرف بمفرده. بوجهٍ عام، عند الاشتقاق مرةً أخرى، نحصل على مقدار لـ 𞸃𞸑𞸃𞸎٢٢ بدلالة 𞸃𞸑𞸃𞸎. ولهذا السبب، يكون من المفيد عادةً إعادة ترتيب المعادلة أولًا. إذن بطرح ٢١𞸎 من كلا طرفَي المعادلة، نحصل على: ٢١𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎=٢١𞸎.

ومن ثم، عند 𞸑٠: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎𞸑.

يمكننا الآن استخدام قاعدة القسمة: 󰃁󰎨𞹒󰃀=󰎨𞹒󰎨𞹒𞹒،󰍱󰍱󰍱٢ للاشتقاق مرةً أخرى والحصول على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸑𞸎𞸃𞸃𞸑.٢٢𞸑𞸎٢

وبالتعويض في مقدار 𞸃𞸑𞸃𞸎، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸑𞸎󰂔󰂓𞸑=𞸑+𞸎𞸑.٢٢𞸎𞸑٢٢٢٣

وبما أن ٦𞸎+٦𞸑=٥٢٢٢، إذن يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٢٦𞸑=٥٢٦𞸑.٢٢٣٣

يمكننا الآن الاشتقاق مرةً أخرى للحصول على مقدار 𞸃𞸑𞸃𞸎٣٣ كالآتي: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٢٢𞸑𞸃𞸑𞸃𞸎.٣٣٤

بالتعويض بقيمة 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸎𞸑 في المعادلة، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٥٢٢𞸑󰃁𞸎𞸑󰃀=٥٢𞸎٢𞸑.٣٣٤٥

هيا نلخِّص بعض المفاهيم المهمة التي وردت في الشارح.

النقاط الرئيسية

  • عندما تكون الدالة مُعرَّفة ضمنيًّا، يمكننا اشتقاق كل حدٍّ من المعادلة باستخدام الصورة الآتية من قاعدة السلسلة للحدود التي تتضمَّن المتغيِّر التابع 𞸑: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸑))=󰎨(𞸑)𞸃𞸑𞸃𞸎.󰍱
  • حتى عندما يكون من الممكن إعادة كتابة علاقة على صورة دالة صريحة، يكون استخدام الاشتقاق الضمني أسهل في كثير من الأحيان.
  • عندما نشتق ضمنيًّا، بوجهٍ عام، سنحصل على مقدار 𞸃𞸑𞸃𞸎 بدلالة كلٍّ من 𞸎، 𞸑.
  • يمكننا إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا باستخدام الاشتقاق الضمني. في مثل هذه الحالات، نحتاج عادةً إلى التعويض بمقادير المشتقات ذات الرتب الأقل، بل والمعادلة التي تعرِّف الدالة ضمنيًّا، لتبسيط المقدار.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.