فيديو: الاشتقاق الضمني

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام الاشتقاق الضمني لاشتقاق الدوال المعرفة ضمنيًا.

١٧:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام الاشتقاق الضمني لمساعدتنا في إيجاد مشتقات الدوال المعبر عنها ضمنيًا كدوال في المتغير ‪𝑥‬‏. تتضمن أغلب مسائل الاشتقاق التي تعرضت لها حتى الآن دوال صريحة مكتوبة على صورة دوال في المتغير ‪𝑥‬‏، مثل ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع في ‪sin 𝑥‬‏. وفي هذا الفيديو، سنتعرف على الاشتقاق الضمني، والذي يعتبر امتدادًا لقاعدة السلسلة، وكيف يسمح لنا باشتقاق المعادلات بسهولة مثل المعادلة الكارتيزية لدائرة ما، كما في ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي واحدًا على سبيل المثال. كما سنتعرف على ما يعنيه ذلك بالنسبة إلى إيجاد المشتقة الثانية ومشتقات الرتب العليا.

تسمح لنا قاعدة السلسلة باشتقاق الدوال المركبة. وتنص على أنه إذا كان لدينا دالتان قابلتان للاشتقاق، ‪𝑔‬‏ و‪ℎ‬‏، حيث ‪𝑓‬‏ هي الدالة المركبة ‪𝑔‬‏ لـ ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، فإن مشتقة ‪𝑓‬‏ تساوي مشتقة ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ في مشتقة ‪𝑔‬‏ عند ‪ℎ‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. من الأسهل غالبًا أن نكتب هذا على الصورة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏، حيث ‪𝑦‬‏ دالة في ‪𝑢‬‏ و‪𝑢‬‏ دالة في ‪𝑥‬‏. ولنوضح عمليًا كيف تساعدنا قاعدة السلسلة على إيجاد مشتقة دالة ضمنية.

لدينا المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع تساوي واحدًا. باستخدام الاشتقاق الضمني، أوجد التعبير الدال على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. ويوجد جزء ثان لهذه المسألة. في نصف الدائرة حيث ‪𝑦‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا، عبر عن ‪𝑦‬‏ في صورة صريحة بدلالة ‪𝑥‬‏، ثم اشتق هذا التعبير للحصول على تعبير لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏.

سنبدأ بالجزء الأول. لاشتقاق الدالة ضمنيًا، سنبدأ باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ربما سيبدو هذا غريبًا، ولكن لا تتعجلوا. نقول إن مشتقة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة واحد بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وبالتأكيد يجب أن نفعل ذلك في كلا طرفي المعادلة. وبعد ذلك، نشتق ما يمكننا اشتقاقه. اشتقاق واحد بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ عملية سهلة ومباشرة. وهو يساوي صفرًا ببساطة. ولكن كيف نشتق ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع؟

حسنًا، مشتقة ‪𝑥‬‏ تربيع تساوي اثنين ‪𝑥‬‏. ولكن مشتقة ‪𝑦‬‏ تربيع ستبدو أغرب قليلًا. نعرف أن ‪𝑦‬‏ تربيع دالة في ‪𝑦‬‏. و‪𝑦‬‏ بدورها هي دالة في ‪𝑥‬‏. إذن يمكننا استخدام قاعدة السلسلة هنا. نقول إن مشتقة ‪𝑦‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة ‪𝑦‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. حسنًا، مشتقة ‪𝑦‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ تساوي اثنين ‪𝑦‬‏. ومشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. أصبحت المعادلة الآن اثنان ‪𝑥‬‏ زائد اثنين ‪𝑦 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي صفرًا.

تذكر، نريد معادلة المشتقة. ولذا، سنعزل ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لتكون في طرف بمفردها عن طريق طرح اثنين ‪𝑥‬‏ من كلا طرفي المعادلة أولًا. وهو ما يعطينا اثنين ‪𝑦 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين ‪𝑥‬‏. بعد ذلك، سنقسم الطرفين على اثنين ‪𝑦‬‏. ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي سالب اثنين ‪𝑥‬‏ مقسومًا على اثنين ‪𝑦‬‏. حسنًا، تلغى الاثنان مع الاثنين. ومن ثم، نتوصل إلى تعبير لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏؛ وهو سالب ‪𝑥‬‏ على ‪𝑦‬‏.

أما عن الجزء الثاني من هذه المسألة، فسنعود إلى المعادلة الأصلية. وسنبدأ بعزل ‪𝑦‬‏ ليكون في طرف بمفرده في المعادلة. وذلك للتعبير عن ‪𝑦‬‏ في صورة صريحة بدلالة ‪𝑥‬‏. يمكننا أن نطرح ‪𝑥‬‏ تربيع من كلا الطرفين. ثم نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. عادة ما يكون الحل هو موجب وسالب الجذر التربيعي. إلا أننا هنا نعلم أن لدينا نصف دائرة، حيث ‪𝑦‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا. ومن ثم، ما يهمنا هو الجذر التربيعي الموجب فقط. ولدينا دالة صريحة في ‪𝑥‬‏.

والآن بكتابتها على الصورة واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس نصف، نلاحظ أنه يمكننا هنا استخدام القاعدة العامة للقوى لاشتقاق هذه الدالة. وتنص على أنه إذا كانت ‪𝑢‬‏ دالة في ‪𝑥‬‏، فإن مشتقة ‪𝑢‬‏ أس ‪𝑛‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑛‬‏ في ‪𝑢‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد مضروبًا في مشتقة ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وذلك بالطبع عندما يكون ‪𝑛‬‏ عددًا حقيقيًا. إذن مشتقة واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس نصف تساوي نصف في واحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع أس سالب نصف مضروبًا في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ولكن في الواقع، ‪𝑢‬‏ تساوي واحدًا ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. إذن مشتقة ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي ببساطة سالب اثنين ‪𝑥‬‏. مرة أخرى، تلغى الاثنان مع الاثنين. وبذلك، يصبح تعبير ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏ هو سالب ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع.

لاحظ أنه بما أننا قلنا إن ‪𝑦‬‏ يساوي الجذر التربيعي لواحد ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع، فيمكننا أيضًا كتابة ذلك على الصورة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ على ‪𝑦‬‏. وهي الإجابة نفسها التي حصلنا عليها في الجزء الأول من هذه المسألة. وبالتأكيد، علينا أن نتذكر أن ‪𝑦‬‏ لا يمكن أن يساوي صفرًا هنا. يوضح هذا المثال بعض النقاط المهمة. أولًا، كان من السهل كتابة هذه العلاقة في صورة دالة صريحة، ولكن اشتقاقها باستخدام الاشتقاق الضمني كان أسهل.

ثانيًا، عند الاشتقاق ضمنيًا، يمكننا عمومًا استخدام الصيغة التالية من قاعدة السلسلة. وتنص على أن مشتقة دالة في ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة هذه الدالة في ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. من المفيد حقًا أن نحفظ هذه الصيغة من قاعدة السلسلة عن ظهر قلب. والآن، لنطبقها على مثال أكثر تعقيدًا.

أوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ باستخدام الاشتقاق الضمني إذا كان سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏ يساوي أربعة ‪𝑥𝑦‬‏ زائد اثنين ‪𝑥‬‏.

لاشتقاق هذه الدالة ضمنيًا، نبدأ باشتقاق كلا طرفي المعادلة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. نبدأ بكتابة ذلك على الصورة ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لسالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦‬‏ في ‪sin 𝑥‬‏ يساوي ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لأربعة ‪𝑥𝑦‬‏ زائد اثنين ‪𝑥‬‏. لنشتق كل طرف بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. مشتقة اثنين ‪𝑥‬‏ سهلة ومباشرة؛ وهي ببساطة اثنان. سيكون علينا استخدام قاعدة حاصل الضرب مع قاعدة السلسلة لاشتقاق أربعة ‪𝑥𝑦‬‏ وسالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏. الصيغة الخاصة التي علينا استخدامها من قاعدة السلسلة تنص على أن مشتقة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وتنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة ‪𝑢‬‏ في ‪𝑣‬‏ تساوي ‪𝑢‬‏ في مشتقة ‪𝑣‬‏ زائد ‪𝑣‬‏ في مشتقة ‪𝑢‬‏.

سنبدأ باشتقاق أربعة ‪𝑥𝑦‬‏. سنجعل ‪𝑢‬‏ يساوي أربعة ‪𝑥‬‏ و‪𝑣‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏. إذن مشتقة ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة. مشتقة ‪𝑣‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏؛ أي واحدًا في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏؛ وهو ما يساوي ببساطة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. و‪𝑢‬‏ في ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي بالتالي أربعة ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. و‪𝑣‬‏ مضروبة في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي ‪𝑦‬‏ في أربعة. إذن، الطرف الأيمن من المعادلة سيكون أربعة ‪𝑥‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد أربعة ‪𝑦‬‏ زائد اثنين. ولنكرر هذه الخطوات الآن مع سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦‬‏ في ‪sin 𝑥‬‏.

هذه المرة، سنقول إن ‪𝑢‬‏ يساوي سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦‬‏ و‪𝑣‬‏ يساوي ‪sin 𝑥‬‏. ومشتقة ‪sin 𝑥‬‏ هي ‪cos 𝑥‬‏. وبالتالي، مشتقة ‪𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏؛ أي سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦‬‏، في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وعندما نستخدم قاعدة حاصل الضرب، نجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 cos 𝑥‬‏ ناقص ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذن، ستصبح المعادلة الآن على النحو الموضح. تذكر أننا نحاول هنا إيجاد معادلة لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذن سنعيد الترتيب ونعزل ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ليكون في طرف بمفرده. وعندئذ، نجد أن سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 cos 𝑥‬‏ ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين يساوي أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏ الكل مضروب في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

يمكننا الآن أخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا في الطرف الأيسر. ثم نقسم كلا الطرفين على أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏. ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي سالب ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 cos 𝑥‬‏ زائد أربعة ‪𝑦‬‏ زائد اثنين على أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏. وبالطبع تكون هذه المشتقة معرفة عندما يكون المقام لا يساوي صفرًا؛ أي عند أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑒‬‏ أس ‪𝑦 sin 𝑥‬‏ لا يساوي صفرًا. من الشائع إلى حد ما استخدام الاشتقاق الضمني لإيجاد معادلة مماس لمنحنى معرفة ضمنيًا. في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا استخدام الاشتقاق الضمني للتعامل مع مسألة من هذا النوع.

تصف المعادلة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪24𝑥‬‏ تكعيب زائد ‪24𝑥‬‏ يساوي صفرًا منحنى في المستوى. ‏‏‪(1)‬‏ أوجد إحداثيات نقطتين على هذا المنحنى، حيث ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف. ‏‏‪(2)‬‏ أوجد معادلة المماس عند النقاط التي يكون عندها ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف وإحداثي ‪𝑦‬‏ موجبًا. ‏‏‪(3)‬‏ أوجد إحداثيات نقطة أخرى، إن وجدت، يلتقي عندها المماس بالمنحنى.

فيما يخص الجزء الأول من المسألة، لإيجاد النقاط التي عندها ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف، سنعوض بقيمة ‪𝑥‬‏ هذه في المعادلة لإيجاد قيم ‪𝑦‬‏. وبذلك نحصل على ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪24‬‏ في سالب نصف تكعيب زائد ‪24‬‏ في سالب نصف. وهذا يساوي صفرًا. عند حل هذه المعادلة، نحصل على ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ثلاثة ناقص ‪12‬‏ يساوي صفرًا أو ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص تسعة يساوي صفرًا. سنحل هذه المعادلة بإضافة تسعة إلى كلا الطرفين.

والخطوة الأخيرة هي إيجاد الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة، ونتذكر أن يشمل ذلك موجب وسالب الجذر التربيعي لتسعة. الجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. ومن ثم، نجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة أو سالب ثلاثة، عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف. في الصورة الإحداثية، يصبح لدينا النقطة سالب نصف، وثلاثة، والنقطة سالب نصف، وسالب ثلاثة.

لنتناول الآن الجزء الثاني. علينا إيجاد معادلة المماس عند نقطة، حيث ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف والإحداثي ‪𝑦‬‏ موجب. وهو ما يعني أن الزوج الإحداثي هو سالب نصف، وثلاثة. ولكن، سيكون علينا أولًا إيجاد ميل المماس للمنحنى. هذا سيساوي قيمة مشتقة معادلة المنحنى عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة. ولذا، سنشتق المعادلة ضمنيًا. فيكون لدينا ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لـ ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪24𝑥‬‏ تكعيب زائد ‪24𝑥‬‏ يساوي ‪d‬‏ على ‪d𝑥‬‏ لصفر. مشتقة ‪𝑦‬‏ تربيع تساوي مشتقة ‪𝑦‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في مشتقة ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وهو ما يساوي اثنين ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. مشتقة سالب ‪24𝑥‬‏ تكعيب تساوي ثلاثة في سالب ‪24𝑥‬‏ ترييع. وتساوي سالب ‪72𝑥‬‏ تربيع. ومشتقة ‪24𝑥‬‏ تساوي ‪24‬‏. ومشتقة الصفر تساوي صفرًا.

وبذلك نحصل على اثنين ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪72𝑥‬‏ تربيع زائد ‪24‬‏ يساوي صفرًا. علينا تكوين معادلة لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذن سنعيد الترتيب لعزل ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في طرف بمفردها. نضيف ‪72𝑥‬‏ تربيع إلى كلا طرفي هذه المعادلة ونطرح ‪24‬‏. بعد ذلك، سنقسم الطرفين على اثنين ‪𝑦‬‏. ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي ‪72𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪24‬‏ على اثنين ‪𝑦‬‏، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ‪36𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪12‬‏ على ‪𝑦‬‏. تذكر أن علينا إيجاد ميل مماس المنحنى عند سالب نصف، وثلاثة. ولذا، سنعوض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة في معادلة المشتقة. وعندها، نجد أن ميل المماس يساوي ‪36‬‏ في سالب نصف تربيع ناقص ‪12‬‏ الكل على ثلاثة، وهو ما يساوي سالب واحد.

وأخيرًا، نعوض بما نعرفه عن المماس في معادلة خط مستقيم. ونحصل على ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة يساوي سالب واحد في ‪𝑥‬‏ ناقص سالب نصف. بالتوزيع على القوس والتبسيط ثم إعادة الترتيب لإيجاد ‪𝑦‬‏، نحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏.

نتناول الآن الجزء الثالث. علينا إيجاد النقطة، إن وجدت، التي يلتقي عندها المماس بالمنحنى مجددًا. ومن ثم، نريد حل المعادلتين ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪24𝑥‬‏ تكعيب زائد ‪24𝑥‬‏ يساوي صفرًا و‪𝑦‬‏ يساوي خمسة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ آنيًا. ويمكننا حلهما بالتعويض بـ ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ في المعادلة الأصلية للمنحنى. يعطينا هذا خمسة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ الكل تربيع ناقص ‪24𝑥‬‏ تكعيب زائد ‪24𝑥‬‏ يساوي صفرًا. بفك الأقواس وضرب الطرفين في سالب واحد، نحصل على المعادلة الموضحة.

بعد ذلك، يمكننا الحل باستخدام آلة حاسبة علمية. أو كحل بديل، فإننا نعرف أن ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف هو جذر لهذه المعادلة. ومن ثم يمكننا إخراج ‪𝑥‬‏ زائد نصف كعامل. ويمكننا القيام بذلك باستخدام القسمة المطولة أو بمقارنة المعاملات. الخطوة الأولى لمساواة المعاملات ستكون بكتابة المعادلة الموضحة. على الرغم من أن هذا الجزء خارج نطاق الفيديو وهو ما لا يسمح لنا بالاستطراد فيه أكثر من ذلك، فسنجد أن ‪𝑎‬‏ يساوي ‪24‬‏، و‪𝑏‬‏ يساوي سالب ‪13‬‏، و‪𝑐‬‏ يساوي سالب ‪25‬‏ على اثنين. ويمكنك إيقاف الفيديو هنا مؤقتًا إذا أردت، لترى إن كان في إمكانك إكمال هذه الخطوة بنفسك.

الخطوة الأخيرة هي حل المعادلة التربيعية ‪24𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪13 𝑥‬‏ ناقص ‪25‬‏ على اثنين. ويمكننا حلها باستخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية أو بإكمال المربع. عند حل المعادلة، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي سالب نصف. وهذا جذر متكرر. و‪𝑥‬‏ يساوي ‪25‬‏ على ‪24‬‏. نحن بصدد إيجاد الإحداثيات، ومن ثم نعوض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪25‬‏ على ‪24‬‏ في المعادلة خمسة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏. وهذا يعطينا ‪𝑦‬‏ يساوي ‪35‬‏ على ‪24‬‏. إذن المماس الذي معادلته ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة على اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ يلتقي بالمنحنى عند النقطة سالب نصف، وثلاثة، والنقطة ‪25‬‏ على ‪24‬‏، و‪35‬‏ على ‪24‬‏. في المثال الأخير، سنعرف كيف يساعدنا الاشتقاق الضمني على إيجاد مشتقات الرتب العليا.

إذا كان اثنان ‪sin 𝑦‬‏ ناقص خمسة ‪cos 𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة، فأوجد المشتقة الثانية لـ ‪𝑦‬‏ باستخدام الاشتقاق الضمني.

لإيجاد المشتقة الثانية لـ ‪𝑦‬‏، والتي تسمى أحيانًا ‪𝑦‬‏ شرطتين، سيكون علينا اشتقاق الدالة مرتين. لاحظ أن الدالة نفسها معبر عنها ضمنيًا كدالة في ‪𝑥‬‏. ولذا، سنستخدم الاشتقاق الضمني ونبدأ بإيجاد مشتقة كلا الطرفين. من السهل تمامًا هنا إيجاد مشتقة سالب أربعة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وهي تساوي ببساطة صفرًا. وبنفس الطريقة، يمكننا إيجاد مشتقة سالب خمسة ‪cos 𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وتساوي خمسة ‪sin 𝑥‬‏. ولكن ماذا عن مشتقة اثنين ‪sin 𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏؟ حسنًا، نحن نستخدم هنا صيغة خاصة من قاعدة السلسلة. تنص هذه الصيغة على أن مشتقة دالة في ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، مشتقة اثنين ‪sin 𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ تساوي اثنين ‪cos 𝑦‬‏. وبذلك، تصبح المعادلة اثنين ‪cos 𝑦 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد خمسة ‪sin 𝑥‬‏. وهذا يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا إيجاد المشتقة الأولى بطرح خمسة ‪sin 𝑥‬‏ من كلا طرفي المعادلة ثم القسمة على اثنين ‪cos 𝑦‬‏. تذكر أننا ما زلنا نريد إيجاد المشتقة الثانية. إذن سيكون علينا هنا استخدام قاعدة خارج القسمة لاشتقاق سالب خمسة ‪sin 𝑥‬‏ على اثنين ‪cos 𝑦‬‏. وحسب الصيغة التي لدينا، يمكننا أن نجعل ‪𝑢‬‏ مساوية لسالب خمسة ‪sin 𝑥‬‏ و‪𝑣‬‏ مساوية لاثنين ‪cos 𝑦‬‏. و‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي سالب خمسة ‪cos 𝑥‬‏. وبما أن مشتقة ‪𝑣‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ تساوي سالب اثنين ‪sin 𝑦‬‏، نجد أن ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي سالب اثنين ‪sin 𝑦 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

نعوض بكل ذلك في صيغة قاعدة خارج القسمة. ثم نبسط ونجد أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي سالب خمسة ‪sin 𝑥‬‏ على اثنين ‪cos 𝑦‬‏، كما ذكرنا. ومن ثم، يمكننا التعويض بهذا في الصيغة التي لدينا لإيجاد المشتقة الثانية. للتبسيط بعض الشيء، سنضرب كلًا من بسط الكسر ومقامه في اثنين ‪cos 𝑦‬‏. ونلاحظ أنه ما زال يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. بتوزيع سالب واحد، نجد أن المشتقة الثانية للدالة تساوي ‪25 sin‬‏ تربيع ‪𝑥 sin 𝑦‬‏ ناقص ‪10 cos 𝑥 cos‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ الكل مقسوم على أربعة ‪cos‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏. وهذه الصيغة صحيحة طالما أن ‪cos 𝑦‬‏ لا يساوي صفرًا.

في هذا الفيديو، رأينا أنه عندما يكون لدينا دالة معرفة ضمنيًا، فإننا نستطيع اشتقاقها باستخدام صيغة خاصة من قاعدة السلسلة. وهذه الصيغة هي مشتقة دالة في ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ تساوي مشتقة هذه الدالة في ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ورأينا أيضًا أنه إذا كانت إعادة كتابة علاقة على صورة دالة صريحة أمرًا ممكنًا، فإنه من الأسهل أحيانًا أن نشتقها باستخدام الاشتقاق الضمني. وعند الاشتقاق ضمنيًا، سنحصل على تعبير لـ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. وعرفنا كذلك أنه يمكننا إيجاد مشتقات الرتب العليا باستخدام الاشتقاق الضمني. وفي هذه الحالات، سيكون علينا التعويض بتعبيرات مشتقات الرتب الدنيا لمساعدتنا على تبسيط التعبيرات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.