نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنرى كيف يمكن الجمع بين ثلاثة من قواعد الاشتقاق بما يتيح لنا اشتقاق الدوال شديدة التعقيد. وسوف نذكر أنفسنا أولًا بهذه القواعد الثلاث، وهي قاعدة حاصل الضرب، وقاعدة خارج القسمة، وقاعدة السلسلة. ثم سنطبق اثنتين أو أكثر من هذه القواعد على بضعة أمثلة مختلفة.
أولًا، هيا نتذكر هذه القواعد الثلاث واستخداماتها. القاعدة الأولى هي قاعدة حاصل الضرب، والتي تسمح لنا باشتقاق حواصل ضرب الدوال. وتنص على أن مشتقة حاصل الضرب ﺩﺭ، أي ﺩﺭ شرطة، تساوي ﺩﺭ شرطة زائد ﺩ شرطة في ﺭ. ما نفعله هنا هو ضرب كل دالة في مشتقة الدالة الأخرى، ثم جمعهما معًا.
القاعدة الثانية هي قاعدة خارج القسمة، والتي تسمح لنا باشتقاق خارج قسمة دالتين، أي ﺩ على ﺭ. وتنص هذه القاعدة على أن مشتقة ﺩ على ﺭ تساوي ﺭﺩ شرطة ناقص ﺩﺭ شرطة على ﺭ تربيع. والآن، من المهم ملاحظة أنه على عكس قاعدة حاصل الضرب، التي لا يهم فيها أي الدالتين ﺩ وأيهما ﺭ، فإن قاعدة خارج القسمة تختلف باختلاف موقع الدالتين ﺩ وﺭ. ومن ثم، لا بد أن نتأكد من تحديد ﺩ على أنها الدالة التي في البسط، وﺭ على أنها الدالة التي في المقام.
القاعدة الثالثة هي قاعدة السلسلة، والتي تسمح لنا باشتقاق الدوال المركبة؛ أي دوال لدوال أخرى. لدينا هنا الدالة ﺭ لـ ﺩﺱ، والتي تعني أننا نطبق ﺩ أولًا، ثم نطبق ﺭ. ويتم إيجاد مشتقة هذه الدالة بالصيغة: ﺩ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭ شرطة لـ ﺩﺱ. وهو ما يعني مشتقة الدالة الداخلية مضروبة في مشتقة الدالة الخارجية، متضمنة الدالة الداخلية كما هي.
من المهم توضيح الصيغ المختلفة المستخدمة. في قاعدة حاصل الضرب، ﺩﺭ يعني ﺩ مضروبًا في ﺭ. أما في قاعدة السلسلة، ﺭ لـ ﺩﺱ يعني الدالة المركبة التي نحصل عليها عند تطبيق ﺩ أولًا ثم تطبيق ﺭ. ويمكننا التعبير عن كل من هذه القواعد باستخدام صيغة لايبنز. والأشيع هو استخدام الحرفين ﻉ وﻕ عند التعبير عنها، على الرغم من أن هذا لا يهم كثيرًا.
تنص قاعدة حاصل الضرب على أن مشتقة ﻉﻕ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. وتنص قاعدة خارج القسمة على أن مشتقة ﻉ على ﻕ بالنسبة لـ ﺱ تساوي ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ ناقص ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ الكل على ﻕ تربيع. وأخيرًا، تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كان ﺹ يساوي الدالة المركبة ﺭ لـ ﺩﺱ، وافترضنا أن ﻉ هو ﺩﺱ؛ بحيث يصبح ﺹ دالة في ﻉ، فإن ﺹ يساوي ﺭﻉ. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبة في ﺩﻉ على ﺩﺱ. نشتق ﺹ بالنسبة لـ ﻉ، ثم نضرب في مشتقة ﻉ بالنسبة لـ ﺱ. سنستخدم الآن مزيجًا من أكثر من قاعدة من تلك القواعد الثلاث لحل بعض الأمثلة.
أوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة: ﺹ يساوي ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين أس ستة؛ عند واحد، وسالب أربعة.
هيا نبدأ بالتفكير في الدالة المعطاة. يمكننا أن نرى أنها عبارة عن حاصل ضرب دالتين؛ ﺱ ناقص خمسة، وﺱ ناقص اثنين أس ستة. ويعني هذا أننا سنحتاج إلى استخدام قاعدة حاصل الضرب لإيجاد هذه المشتقة. إذن، يمكننا افتراض أن إحدى الدالتين هي ﺩ، والدالة الأخرى هي ﺭ. هذه هي صيغة قاعدة حاصل الضرب، ولكن نظرًا لأنه لا يهم أي الدالتين ﺩ وأيهما ﺭ، يمكن وضع فرضيتهما بأي طريقة. لدينا إذن ﺩﺱ يساوي ﺱ ناقص خمسة، وﺭﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين أس ستة.
ولتطبيق قاعدة حاصل الضرب، علينا إيجاد مشتقة كل من ﺩ وﺭ. ﺩ شرطة ﺱ يمكن الحصول عليها بشكل مباشر. فهي عبارة عن واحد. ولكن ماذا عن ﺭ شرطة؟ لدينا الأس ستة، ولا نريد بالتأكيد فك هذه الأقواس كلها فنحصل على كثيرة حدود. إذن، كيف سنوجد هذه المشتقة؟ في واقع الأمر ﺭ دالة مركبة، وهو ما يعني أنه يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقتها، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. يمكننا إبدال الحرف ﺹ في صيغة قاعدة السلسلة للحرف ﺭ. وبعدها، يمكننا أن نفترض أن ﻉ يساوي ﺱ ناقص اثنين، وهو ما يجعل ﺭ يساوي ﻉ أس ستة.
مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ هي واحد. وبتطبيق قاعدة القوى، تصبح مشتقة ﺭ بالنسبة إلى ﻉ هي ستة ﻉ أس خمسة. بتطبيق قاعدة السلسلة، نجد أن ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ستة ﻉ أس خمسة، وهو ما يساوي ﺩﺭ على ﺩﻉ، مضروبًا في واحد، أي ﺩﻉ على ﺩﺱ. ولكننا نعرف أن الضرب في واحد ليس له تأثير. إذن، ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ستة ﻉ أس خمسة.
ومع ذلك، نحتاج إلى أن تكون هذه المشتقة بدلالة ﺱ، ومن ثم يتعين علينا عكس خطوة التعويض. ﻉ يساوي ﺱ ناقص اثنين، إذن ﺩﺭ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ يساوي ستة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين أس خمسة. كان من الممكن أيضًا الوصول إلى هذا بتطبيق امتداد قاعدة السلسلة باستخدام قاعدة القوى. بعد أن وجدنا كل مشتقة، يمكننا البدء بالتعويض في قاعدة حاصل الضرب لإيجاد مشتقة ﺹ.
ﺩﺹ على ﺩﺱ سيساوي ﺩ؛ أي ﺱ ناقص خمسة، مضروبًا في ﺭ شرطة؛ أي ستة مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين أس خمسة. نضيف بعد ذلك ﺩ شرطة؛ أي واحدًا، مضروبًا في ﺭ؛ وهو ما يعني ﺱ ناقص اثنين أس ستة. يمكننا التبسيط بإخراج العامل المشترك ﺱ ناقص اثنين أس خمسة. وبعدها، نبسط القوس الثاني ليكون الناتج ﺱ ناقص اثنين أس خمسة مضروبًا في سبعة ﺱ ناقص ٣٢. وبذلك، نكون قد وجدنا المشتقة الأولى لـ ﺹ.
ولكن المطلوب منا هو إيجاد قيمة المشتقة عند نقطة محددة، وهي النقطة: واحد، وسالب أربعة. وهذا يعني أن علينا التعويض. علينا التعويض بقيمة ﺱ في دالة الانحدار، وهو ما يعطينا واحدًا ناقص اثنين أس خمسة مضروبًا في سبعة مضروبًا في واحد ناقص ٣٢. وهذا بدوره يعطينا سالب واحد أس خمسة مضروبًا في سالب ٢٥؛ أي ٢٥.
ومن ثم، فقد احتجنا في هذه المسألة إلى الجمع بين قاعدة حاصل الضرب وقاعدة السلسلة لكي نتوصل إلى الحل.
أما الآن، فسنتناول مثالًا آخر يتطلب استخدام مزيج مختلف من القواعد.
أوجد مشتقة الدالة: ﺭﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة على ﺱ تربيع ناقص واحد الكل أس أربعة.
لنبدأ بالتفكير في القواعد التي ستساعدنا في هذه المسألة. نلاحظ أن لدينا هنا خارج قسمة؛ وهو ﺱ تربيع زائد خمسة على ﺱ تربيع ناقص واحد. إذن سنحتاج إلى استخدام قاعدة خارج القسمة. كتبت صيغة قاعدة خارج القسمة هنا باستخدام الحرفين ﻡ وﻥ لأن لدينا بالفعل ﺱ وﺭ في رأس المسألة. إذن، سيتيح لنا هذا إيجاد مشتقة المقدار الموجود بين القوسين.
ولكن ما يزال لدينا هذا الأس، وهو أربعة. لنفترض أن ﻕ يساوي المقدار بين القوسين. وهو يساوي ﺱ تربيع زائد خمسة على ﺱ تربيع ناقص واحد. إذن، ﺭ سيساوي ﻕ أس أربعة. ويمكننا تطبيق قاعدة السلسلة، ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺭ على ﺩﻕ مضروبًا في ﺩﻕ على ﺩﺱ.
يمكننا إيجاد ﺩﺭ على ﺩﻕ بسهولة بتطبيق قاعدة القوى. وهو يساوي أربعة ﻕ تكعيب. ولكن لحساب ﺩﻕ على ﺩﺱ، سنحتاج إلى تطبيق قاعدة خارج القسمة. لنفترض أن ﻡ يساوي بسط ﻕ؛ أي ﺱ تربيع زائد خمسة، وﻥ يساوي المقام؛ أي ﺱ تربيع ناقص واحد. إذن ﺩﻡ على ﺩﺱ، وﺩﻥ على ﺩﺱ يمكن إيجادهما بتطبيق قاعدة القوى. كلاهما يساوي اثنين ﺱ. والآن، يمكننا التعويض في قاعدة خارج القسمة لإيجاد ﺩﻕ على ﺩﺱ.
لدينا ﻥ، وهو يساوي ﺱ تربيع ناقص واحد، مضروبًا في ﻡ شرطة أو ﺩﻡ على ﺩﺱ؛ أي اثنين ﺱ، ناقص ﻡ؛ أي ﺱ تربيع زائد خمسة، مضروبًا في ﻥ شرطة أو ﺩﻥ على ﺩﺱ؛ أي اثنين ﺱ. والكل مقسوم على ﻥ تربيع؛ ويساوي ﺱ تربيع ناقص واحد تربيع. دعنا الآن نبسط. بفك القوسين في البسط، يصبح لدينا اثنان ﺱ تكعيب ناقص اثنين ﺱ ناقص اثنين ﺱ تكعيب ناقص ١٠ﺱ. ويظل المقام ﺱ تربيع ناقص واحد الكل تربيع. يلغى اثنان ﺱ تكعيب معًا، ويتبقى لنا سالب ١٢ﺱ على ﺱ تربيع ناقص واحد تربيع.
علينا الآن حذف خطوات استخدام قاعدة خارج القسمة لإفراغ مساحة في الصفحة. لدينا الآن ﺩﺭ على ﺩﻕ يساوي أربعة ﻕ تكعيب، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي سالب ١٢ﺱ على ﺱ تربيع ناقص واحد الكل تربيع. إذن، يمكننا التعويض في قاعدة السلسلة. ﺩﺭ على ﺩﺱ يساوي أربعة ﻕ تكعيب مضروبًا في سالب ١٢ﺱ على ﺱ تربيع ناقص واحد الكل تربيع. والآن، تذكر أن ﺩﺭ على ﺩﺱ يجب أن يكون بدلالة ﺱ فقط. إذن، علينا عكس خطوة التعويض.
ﻕ يساوي ﺱ تربيع زائد خمسة على ﺱ تربيع ناقص واحد. إذن، يصبح لدينا أربعة ﺱ تربيع زائد خمسة على ﺱ تربيع ناقص واحد الكل تكعيب مضروبًا في سالب ١٢ﺱ على ﺱ تربيع ناقص واحد الكل تربيع. بتبسيط ذلك يصبح لدينا سالب ٤٨ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع زائد خمسة تكعيب الكل على ﺱ تربيع ناقص واحد أس خمسة.
في هذه المسألة، رأينا أننا احتجنا إلى استخدام قاعدة خارج القسمة وقاعدة السلسلة معًا لإيجاد مشتقة الدالة ﺭﺱ.
لنتناول الآن مثالًا آخر يتضمن دوال مثلثية.
أوجد مشتقة الدالة: ﺩﻥ تساوي الجذر التربيعي لسالب جا ﻥ زائد سبعة على سالب جتا ﻥ زائد سبعة.
والآن، يمكننا أن نرى بوضوح في هذه المسألة أن لدينا خارج قسمة. إذن، سيكون علينا استخدام قاعدة خارج القسمة في مرحلة ما. ولكن هل سنحتاج أن نفعل شيئًا آخر؟ حسنًا، ليس لدينا خارج القسمة هذا وحسب. بل لدينا أيضًا الجذر التربيعي لخارج القسمة هذا، وهو ما يعني أن لدينا دالة مركبة. وبالتالي، سنحتاج أيضًا إلى تطبيق قاعدة السلسلة. سنبدأ بافتراض أن ﻉ هو خارج القسمة الواقع تحت الجذر التربيعي. ﻉ يساوي سالب جا ﻥ زائد سبعة على سالب جتا ﻥ زائد سبعة. إذن، ﺩ تصبح دالة في ﻉ. وتساوي الجذر التربيعي لـ ﻉ، الذي يمكننا التعبير عنه باستخدام الصورة الأسية ﻉ أس نصف.
تنص قاعدة السلسلة، باستخدام الأحرف ﺩ وﻥ وﻉ حسبما ورد في المسألة، على أن مشتقة ﺩ بالنسبة لـ ﻥ تساوي ﺩﺩ على ﺩﻉ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﻥ. بتطبيق قاعدة القوى، نجد أن ﺩﺩ على ﺩﻉ يساوي نصف ﻉ أس سالب نصف. ولكن لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﻥ، سنحتاج إلى تطبيق قاعدة خارج القسمة.
سنفترض أن ﺩ هي الدالة التي في البسط؛ وهي سالب جا ﻥ زائد سبعة، وﺭ هي الدالة التي في المقام؛ وهي سالب جتا ﻥ زائد سبعة. ولإيجاد مشتقتي الدالتين، علينا أن نتذكر طريقة اشتقاق دالتي الجيب وجيب التمام. ثمة دورة بسيطة ومفيدة يسهل تذكرها. مشتقة جا ﻥ هي جتا ﻥ. ومشتقة جتا ﻥ هي سالب جا ﻥ. ومشتقة سالب جا ﻥ تساوي سالب جتا ﻥ. ومشتقة سالب جتا ﻥ هي جا ﻥ. ويمكننا بدء هذه الدورة من جديد، وهكذا.
تذكر أن مشتقة عدد ثابت تساوي صفرًا، ولدينا ﺩ شرطة يساوي سالب جتا ﻥ، وﺭ شرطة يساوي جا ﻥ. والآن، يمكننا التعويض في قاعدة خارج القسمة لإيجاد ﺩﻉ على ﺩﻥ. لدينا ﺭ، الذي يساوي سالب جتا ﻥ زائد سبعة، مضروبًا في ﺩ شرطة؛ أي سالبجتا ﻥ، ناقص ﺩ؛ أي سالب جا ﻥ زائد سبعة، مضروبًا في ﺭ شرطة؛ أي جا ﻥ، الكل على ﺭ تربيع. والآن، علينا التبسيط. سنفك الأقواس الموجودة في البسط، وهو ما يعطينا جتا تربيع ﻥ ناقص سبعة جتا ﻥ زائد جا تربيع ﻥ ناقص سبعة جا ﻥ على سالب جتا ﻥ زائد سبعة تربيع.
ونتذكر في هذه المرحلة إحدى المتطابقات المثلثية؛ وهي جتا تربيع ﻥ زائد جا تربيع ﻥ يساوي واحدًا. وهذا يبسط إلى واحد ناقص سبعة جتا ﻥ ناقص سبعة جا ﻥ على سالب جتا ﻥ زائد سبعةالكل تربيع. بعد أن وجدنا ﺩﻉ على ﺩﻥ، وﺩﺩ على ﺩﻉ يمكننا التعويض في قاعدة السلسلة. لدينا ﺩﺩ على ﺩﻥ يساوي ﺩﺩ على ﺩﻉ؛ وهو ما يساوي نصف ﻉ أس سالب نصف، مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﻥ؛ وهو ما يساوي واحدًا ناقص سبعة جتا ﻥ ناقص سبعة جا ﻥ على سالب جتا ﻥ زائد سبعة تربيع.
تذكر أن ﺩﺩ على ﺩﻥ يجب أن يكون بدلالة ﻥ فقط. إذن، علينا عكس خطوة التعويض. لدينا سالب جا ﻥ زائد سبعة على سالب جتا ﻥ زائد سبعة أس سالب نصف، مضروبًا في واحد ناقص سبعة جتا ﻥ ناقص سبعة جا ﻥ على اثنين، مضروبًا في سالب جتا ﻥ زائد سبعة تربيع. أس سالب نصف يعني أنه مقلوب، إذن يمكننا التعامل مع ذلك بقلب الكسر؛ أي كتابة مقلوبه. يصبح الجزء الأول سالب جتا ﻥ زائد سبعة على سالب جا ﻥ زائد سبعة أس موجب نصف.
يمكننا بعد ذلك تبسيط الأسس. لدينا سالب جتا ﻥ زائد سبعة أس نصف في البسط، وسالب جتا ﻥ زائد سبعة أس اثنين في المقام. وينتج عن ذلك ما بداخل القوسين أس سالب ثلاثة على اثنين. أي ما بداخل القوسين أس ثلاثة على اثنين في المقام. هذا يعطينا واحدًا ناقص سبعة جتا ﻥ ناقص سبعة جا ﻥ في البسط. ولدينا في المقام اثنان في الجذر التربيعي لسالب جا ﻥ زائد سبعة. وهو ما يساوي سالب جا ﻥ زائد سبعة أس نصف مضروبًا في سالب جتا ﻥ زائد سبعة أس ثلاثة على اثنين.
إذن، رأينا في هذه المسألة أنه يمكننا تطبيق قاعدتي خارج القسمة والسلسلة على المسائل التي تتضمن مشتقات الدوال المثلثية.
هيا نلخص الآن ما تناولناه في هذا الفيديو. ذكرنا أنفسنا بهذه القواعد الثلاث المهمة؛ وهي: قاعدة حاصل الضرب، وقاعدة خارج القسمة، وقاعدة السلسلة، مع التعبير عن كل منها هنا باستخدام صيغة لايبنز. وعرفنا أن هذه القواعد الثلاث يمكن استخدامها معًا لإيجاد مشتقات دوال معقدة.
ومع أننا لم نشرح مثالًا في هذا الفيديو يوضح ذلك، فيمكننا تطبيق كل قاعدة عدة مرات إذا تطلبت المسألة ذلك. هذه القواعد الثلاث مفيدة للغاية. وبالجمع بينها أو باستخدام القاعدة نفسها بشكل متتال، يمكن اشتقاق مجموعة متنوعة من الدوال المعقدة.
