في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيفية إيجاد المشتقة الأولى لدالة باستخدام قاعدة حاصل الضرب وقاعدة خارج القسمة وقاعدة السلسلة، مجتمعة، أو باستخدام اثنتين منها.
يتكوَّن العديد من الدوال من دوالَّ أبسط من خلال دمجها باستخدام الطُّرق الثلاث الآتية:
- الجمع والطرح: .
- الضرب والقسمة: ، ؛
- التركيب: .
لحسن الحظ، تُوجَد قواعد لاشتقاق الدوال التي تكوَّنتْ بهذه الطُّرق. بالنسبة إلى الجمع والطرح، يُمكننا استخدام الخاصية الخطية للاشتقاق، وبالنسبة إلى الضرب والقسمة، لدينا قاعدة الضرب وقاعدة القسمة، وبالنسبة إلى التركيب، يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة.
قواعد الاشتقاق
بالنسبة إلى الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، والثابتين ، ، لدينا القواعد الآتية:
- الخاصية الخطية للاشتقاق: .
- قاعدة الضرب: .
- قاعدة القسمة: ، .
- قاعدة السلسلة: .
باستخدام هذه القواعد إلى جانب المشتقات القياسية، يُمكننا اشتقاق أيِّ مجموعة من دوالَّ بسيطة. على الرغم من أنه يُمكن اشتقاق أيِّ مجموعة من دوالَّ بسيطة، إلَّا أنه عادة ما تكون العملية غير بسيطة، وقد يكون من الصعب تحديد القواعد الصحيحة التي ستُطبَّق، والترتيب الأفضل لتطبيقها، وإذا ما كانت هناك عمليات تبسيط جبرية ستجعل العملية أسهل. في هذا الشارح، سنتناول بعض الأمثلة التي تسلِّط الضوء على المهارات التي نحتاجها للتعامل مع هذا المحتوى.
يُمكننا التفكير في الدوال المركَّبة على أنها مثل البصلة التي تمثِّل كلَّ طبقة فيها إحدى الطُّرق الثلاث التي يُمكننا بها الجمع بين الدوال. ولكي نشتقَّ، نقشِّر كلَّ طبقة تباعًا، وهو ما سيَنتُج عنه تعبيرات سيكون اشتقاقها أسهل وأبسط. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى الدالة:
يُمكن أن نتوه في التفاصيل. وبوجهٍ عام، أفضل الطُّرق هي البدء من الطبقة الخارجية. ومن ثَمَّ، بالنسبة إلى الدالة ، نبدأ بالتفكير فيها باعتبارها مجموع الدالتين ، ، اللتين يُمكن أن نطبِّق عليهما الخاصية الخطية للاشتقاق. وبهذه الطريقة، يُمكننا تجاهل تعقيد التعبيرين، ونبسِّط مهمة إيجاد المشتقة عن طريق إزالة طبقة واحدة من التعقيد. يُمكننا بعد ذلك التفكير في كلِّ حدٍّ على حِدَة، وتطبيق طريقة مماثِلة. على سبيل المثال، بالنسبة إلى التعبير الأول، نلاحظ أن لدينا خارج قسمة؛ لذا يُمكننا تطبيق قاعدة القسمة على خارج قسمة التعبيرين ، . مرَّة أخرى، سنتجاهل تعقيد كلِّ تعبير على حِدَة ونحذف طبقة أخرى من الدالة. يُمكننا الاستمرار في فعل ذلك حتى نَصِل أخيرًا إلى دالة بسيطة يُمكننا اشتقاقها. يُمكننا تمثيل ذلك مرئيًّا، كما يأتي. 
لاحظ أن جميع الدوال في أسفل الشجرة دوالُّ يُمكننا اشتقاقها بسهولة. ومن ثَمَّ، نلاحظ أنه باستخدام القواعد المناسبة في كلِّ مرحلة، يُمكننا إيجاد المشتقة لدوالَّ معقَّدة للغاية.
سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نطبِّق فيها هذه الطريقة. في المثال الأول، سنتناول دالة معرَّفة بدلالة كثيرات الحدود ودوالَّ جذرية.
مثال ١: استخدام قواعد الاشتقاق مع الدوال الكسرية
أوجد عند النقطة ، إذا كان .
الحل
الطبقة الخارجية لهذه الدالة هي الإشارة السالبة. لكن بما أنه يُمكننا ببساطة إخراج الإشارة السالبة خارج المشتقة، فلن نحتاج إلى التعامل معها صراحة. ننظر إلى الطبقة التالية، وهي خارج القسمة. يمكننا تطبيق قاعدة القسمة: بجعل ، . مشتقة يُمكن حلُّها مباشرةً: ، بينما مشتقة ليست بهذه البساطة. بالتأكيد أبسط من ؛ ومن ثَمَّ، فإننا نتَّجه نحو الاتجاه الصحيح. بالنظر إلى التعبير الدالِّ على ، نلاحظ أنه عبارة عن تركيب الدالتين ، . ومن ثَمَّ، يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة: لحساب قيمة المشتقة. أولًا، نُوجِد مشتقتَيْ ، ، عند هذه النقطة، لدينا مشتقتان يُمكننا حساب قيمتهما بسهولة باستخدام قاعدة القوة. ومن ثَمَّ:
بالتعويض بهذين التعبيرين في قاعدة السلسلة، يصبح لدينا:
يُمكننا الآن تطبيق قاعدة القسمة على النحو الآتي:
وبالتعبير عن البسط في صورة كسر واحد، يصبح لدينا:
وأخيرًا، نتذكَّر أن ؛ ولذا:
نعوِّض بـ في هذا التعبير فنحصل على:
مثال ٢: اختيار أفضل طريقة للاشتقاق
أوجد مشتقة الدالة .
الحل
قبل الانتقال إلى اشتقاق هذه الدالة، يجدر بنا التفكير في الطريقة التي سنستخدمها؛ لأن هناك أكثر من طريقة لحلِّ ذلك. بما أنه يُمكننا رؤية أن هو حاصل ضرب دالتين، فيُمكننا تفكيكه باستخدام قاعدة الضرب. وبذلك، تتبقَّى دالتان علينا اشتقاقهما: ، . وكلتاهما تتطلَّب تطبيق قاعدة السلسلة. وبدلًا من ذلك، يُمكننا إعادة كتابة تعبير الدالة على الصورة: . نلاحظ أنه تركيب دالتين يُمكننا تطبيق قاعدة السلسلة عليه؛ ثم يكون لدينا دالة واحدة علينا تطبيق قاعدة الضرب عليها لاشتقاقها.
لذا، في هذه الحالة، الطريقة الثانية أسهل، وتتطلَّب خطوات أقلَّ، كما يوضِّح الشكلان.
سنستخدم إذن الطريقة الثانية.
نبدأ بتطبيق قاعدة السلسلة على . بجعل ، ، يكون لدينا:
لإيجاد ، يُمكننا تطبيق قاعدة الضرب:
إذن بتطبيق قاعدة السلسلة، فإن:
أوضح المثال السابق نقطتين مُهمَّتين: أولًا: يجدر بنا التفكير في الطريقة التي سنستخدمها قبل تناولها بالتفصيل، وثانيًا: من المُهمِّ أن نعرف إذا ما يُمكننا تبسيط الطريقة باستخدام بعضٍ من العمليات الجبرية؛ وهذا لن يكون مُمكنًا دائمًا، لكن يجدر بنا التفكير إذا ما كان هذا مُمكنًا قبل أن نبدأ في العمليات الجبرية. في الأمثلة الآتية، سنرى المواضع التي يُمكننا فيها تبسيط التعبير الذي علينا اشتقاقه، والمواضع التي لا يُمكننا فيها ذلك.
مثال ٣: استخدام قواعد الاشتقاق مع الدوال الأُسِّية
أوجد مشتقة الدالة .
الحل
هذه الدالة يُمكن تفكيكها على صورة حاصل الضرب ، . لكن يجدر بنا التفكير إذا ما كان من المُمكن تبسيط التعبير الدال على الدالة. لسوء الحظ، لا يبدو أنه تُوجَد أيُّ متطابقات أو طُرق جبرية مُفيدة يُمكننا استخدامها مع هذه الدالة. وعليه، سنطبِّق قاعدة الضرب على الدالة مباشرة. ومن ثَمَّ، فإن:
يُمكننا الآن إيجاد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة:
ومن ثَمَّ، بالتعويض بذلك في التعبير الخاص بـ ، يكون لدينا:
مثال ٤: استخدام قواعد الاشتقاق مع الدوال المثلثية
إذا كان ، فأوجد .
الحل
في المستوى الخارجي، هذه الدالة هي خارج قسمة الدالتين ، . لكن قبل أن نتعمَّق في تفاصيل اشتقاق هذه الدالة، يجدر بنا التفكير إذا ما كان يُمكننا استخدام أيِّ متطابقات مثلثية لتبسيط التعبير. بما أن لدينا حدًّا به جا تربيع، إذن يُمكننا استخدام متطابقة فيثاغورس لكتابة ذلك على الصورة: ، كما يأتي:
يُمكننا الآن تفكيك التعبيرات في البسط والمقام لنحصل على: لدينا الآن عامل مشترَك بين البسط والمقام يُمكننا حذفه في كليهما. يُمكننا فعل ذلك بما أننا نعرف أنه لكي تكون مُعرَّفة، فإن مجالها يجب ألَّا يتضمَّن النقاط التي عندها . ومن ثَمَّ، يُمكننا افتراض ذلك على مجال الدالة ؛ وعليه، يُمكنه حذف هذا العامل المشترَك، كما يأتي: لدينا الآن تعبير يُمكننا اشتقاقه بسهولة للغاية. إذن:
من الواضح أن أخْذ بعض الوقت للتفكير إذا ما كان يُمكن تبسيط التعبير أم لا كان مفيدًا للغاية. والطريقة البديلة لتطبيق قاعدة القسمة، تليها قاعدة السلسلة ثم محاولة التبسيط، تتضمَّن مزيدًا من الخطوات؛ ومن ثَمَّ يكون الخطأ واردًا فيها بدرجة أكبر.
مثال ٥: استخدام قواعد الاشتقاق مع الدوال اللوغاريتمية
أوجد مشتقة الدالة .
الحل
في المستوى الخارجي، هذا عبارة عن تركيب من اللوغاريتم الطبيعي مع دالة أخرى. يُمكننا إذن استخدام قاعدة السلسلة، وبعد ذلك، يتبقَّى إيجاد مشتقة الدالة الجذرية التي سنطبِّق قاعدة السلسلة عليها مرَّة أخرى، بعد ذلك سنستخدم قاعدة القسمة أخيرًا. لكن قبل أن نتوه في جميع العمليات الجبرية، علينا أن نفكِّر إذا ما كان يُمكننا استخدام قواعد اللوغاريتمات لتبسيط تعبير الدالة. باستخدام قاعدة ، يُمكننا إعادة كتابة هذا التعبير على الصورة:
من الواضح أن التعامل مع هذا أبسط بكثير. ولكن، لا يجب أن نتوقَّف هنا. يُمكننا في الواقع استخدام قاعدة أخرى للوغاريتمات، وهي قاعدة القسمة: . وهذا يُعطينا التعبير الآتي لـ :
ومن الواضح أن هذا التعبير أسهل في اشتقاقه من التعبير الأصلي المُعطى. يُمكننا إذن تطبيق قاعدة السلسلة لاشتقاق كلِّ حدٍّ على النحو الآتي:
يُمكننا الآن إعادة كتابة التعبير داخل القوس على صورة كسر واحد، كما يأتي:
النقاط الرئيسية
- باستخدام قواعد الاشتقاق، يُمكننا إيجاد المشتقات لأيِّ مجموعة من الدوال البسيطة.
- من المُهمِّ التفكير في الطريقة التي سنستخدمها قبل تطبيقها.وهذا يُمكن أن يساعدنا في ضمان اختيار أبسط طريقة والتي تكون أكثر فعالية.
- بوجهٍ عام، ننظر إلى الدالة من أعلى إلى أسفل (أو من خارجها إلى داخلها).ومن ثَمَّ في كل خطوة، نفكِّكها إلى دالتين أبسط.
- من المُهمِّ أن نبحث عن طُرق تُمكِّننا من تبسيط التعبير الذي يُعرِّف الدالة.في كثير من الأحيان، من خلال تطبيق الطُّرق الجبرية والمتطابقات والقواعد على دوال محدَّدة، يُمكننا إيجاد تعبير بسيط للدالة يكون أسهل في اشتقاقه كثيرًا.
