فيديو السؤال: إيجاد موضع مركز كتلة صفيحة مثلثة منتظمة متساوية الأضلاع الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد موضع مركز كتلة الصفيحة المنتظمة ﺃﺏﺟ، التي على شكل مثلث متساوي الأضلاع.

حسنًا، في هذا الرسم، نرى هذا المثلث المتساوي الأضلاع المتمركز على مستوى ﺱﺹ. يقع الرأس ﺃ عند نقطة الأصل، والرأس ﺏ هنا بالأعلى، وﺟ هنا على المحور ﺱ. هذا الشكل يحتوي على صفيحة منتظمة. يمكننا اعتبار هذه الصفيحة سطحًا رقيقًا جدًّا من مادة لها كتلة. والكتلة موزعة بالتساوي عبر نطاق هذه الصفيحة، ونريد إيجاد مركزها. ومركز الكتلة هو الموضع الذي يتركز فيه إجمالي كتلة هذه الصفيحة فعليًّا.

وبما أن الصفيحة ﺃﺏﺟ منتظمة، فذلك يعني أنه إذا تمكنا من إيجاد المركز الهندسي لهذا الشكل، فسنكون قد أوجدنا أيضًا مركز كتلته. لأي مثلث، سواء كان متساوي الأضلاع أو لا، يمكن إيجاد مركزه الهندسي من إحداثيات رءوسه الثلاثة. وهذا يعني أنه إذا عرفنا إحداثيات الرءوس ﺃ وﺏ وﺟ في هذا المثلث، يمكننا استخدام هذه المعلومات لإيجاد مركزه الهندسي. وكما ذكرنا، يقع هذا المركز عند النقطة نفسها التي يقع عندها مركز كتلته.

مهمتنا الأولى إذن هي إيجاد إحداثيات هذه الرءوس الثلاثة. بالنظر إلى الرأس الأول ﺃ، نجد أنه يقع عند نقطة الأصل، ومن ثم نعلم أن إحداثييه ﺱ وﺹ هما صفر، وصفر. ثم ننظر إلى الرأس ﺏ. يشار هنا إلى إحداثييه ﺱ وﺹ، ونلاحظ أن الإحداثي ﺱ عبارة عن طول نصف قاعدة المثلث، حيث يساوي طول هذه القاعدة سبعة ﻉ. لكن ماذا عن الإحداثي ﺹ لهذا الرأس؟ في هذه المرحلة نتذكر أن هذا مثلث متساوي الأضلاع. وهذا يعني أن جميع زواياه الداخلية متساوية. ولذلك، يجب أن يكون قياسها ٦٠ درجة.

بمعلومية ذلك، يمكننا القول إن ارتفاع المثلث، وهو ما نحاول إيجاده هنا، يساوي طول الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية مضروبًا في جا ٦٠ درجة. وطول الوتر هو نفسه طول جميع أضلاع المثلث، أي سبعة في ﻉ. إذن، الإحداثي ﺹ للرأس ﺏ يساوي سبعة ﻉ في جا ٦٠ درجة. لعلنا نتذكر أن جا ٦٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. إذن لدينا الآن الإحداثيان ﺱ وﺹ للرأس ﺏ. وإذا نظرنا بعد ذلك إلى إحداثيات الرأس ﺟ، فسنجد أن الإحداثي ﺱ لهذه النقطة يساوي سبعة في ﻉ، بينما الإحداثي ﺹ يساوي صفرًا.

والآن لنسترجع ما ذكرناه سابقًا، وهو أن الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز كتلة المثلث يساويان، على الترتيب، متوسط الإحداثيين ﺱ وﺹ للرءوس الثلاثة. بعبارة أخرى، إذا حسبنا متوسط هذه القيم الثلاث، فسنحصل على الإحداثي ﺱ لمركز كتلة المثلث. وينطبق الأمر نفسه على الإحداثي ﺹ لمركز كتلة المثلث. بالتعويض بالإحداثيات ﺱ للرءوس الثلاثة، سيساوي متوسطها صفرًا زائد سبعة ﻉ على اثنين زائد سبعة ﻉ الكل مقسوم على ثلاثة. هذا يساوي ثلاثة على اثنين في سبعة ﻉ على ثلاثة، أو في صورة مبسطة سبعة ﻉ على اثنين.

والآن هيا نحسب الإحداثي ﺹ لمركز كتلة المثلث. كما هو الحال مع الإحداثي ﺱ، الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة يساوي متوسط قيمة ﺹ للرءوس الثلاثة. يبسط هذا إلى الجذر التربيعي لثلاثة على ستة في سبعة ﻉ. يمكننا الآن كتابة إحداثيات مركز الكتلة. إذن، في هذا المثلث المتساوي الأضلاع، يقع مركز كتلته عند سبعة ﻉ على اثنين، جذر ثلاثة على ستة في سبعة ﻉ، أو سبعة ﻉ على اثنين، سبعة جذر ثلاثة ﻉ على ستة.