فيديو الدرس: مركز ثقل الصفيحة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتحدث عن مركز كتلة الصفيحة. كما سنرى، الصفيحة سطح ثنائي الأبعاد، وبإيجاد مركز الكتلة لهذه الأسطح، يمكننا تحديد كميات فيزيائية مهمة. في البداية، دعونا نلق نظرة على بعض أمثلة الصفائح. كما قلنا، هذه أسطح ثنائية الأبعاد. يمكن أن تكون الصفيحة على شكل دائرة أو مثلث أو شكل سداسي، أو أي شكل عشوائي؛ حيث تتمثل خاصيتها المهمة في أنها توجد في بعدين في مستوى، وليس ثلاثة أبعاد. بعبارة أخرى: الصفيحة ليست مجسمًا.

لنفترض أن لدينا صفيحة، لتكن هذا المستطيل هنا، تستقر على سطح ما. في هذا الدرس، ما يهمنا هو فهم مركز كتلة هذه الصفائح. يمكننا التفكير في مركز الكتلة لشكل ثنائي الأبعاد باعتباره الموضع المتوسط للكتلة في هذا الجسم. في الشكل المعطى، مركز الكتلة هو النقطة التي يمكننا عندها تحقيق التوازن لهذه الكتلة في مستوى أفقي فوق طرف سطح مساحته صغيرة، على سبيل المثال، طرف قلم رصاص. هذا ما يعنيه في الواقع مركز الكتلة. وهذا يرتبط بمصطلح نسمعه أحيانًا يسمى مركز الثقل. عند وجود جسم ما في مجال جاذبية أرضية منتظم، تكون هاتان النقطتان، وهما مركز الكتلة ومركز الثقل، شيئًا واحدًا. في هذا الدرس، سنفترض أنهما كذلك، وسنستخدم عبارة «مركز الكتلة» للإشارة إلى هذه النقطة.

لكن بالعودة إلى المستطيل، كيف يمكننا إيجاد مركز كتلة الصفيحة؟ إحدى الحقائق الأساسية التي يمكننا أن نعرفها، والتي سنفترض أنها صحيحة طوال هذا الدرس، هي أن كتلة صفيحة معينة تكون موزعة بالتساوي على السطح كله. وهذا يعني أنه إذا أوجدنا المركز الهندسي لشكل معطى، فإن هذا المركز يطابق مركز كتلة الصفيحة. ونرى أنه يمكننا إيجاد المركز الهندسي لهذا المستطيل بالنظر إليه في بعدين. أولًا، لدينا البعد الرأسي الذي تقع نقطة منتصفه هنا، ثم البعد الأفقي وتقع نقطة منتصفه هنا. إذا رسمنا خطين متقطعين من نقطتي المنتصف هاتين ويكونان عموديين على الأحرف، فستكون نقطة تقاطعهما مركزًا للكتلة الكلية للشكل. هذا، تقريبًا، هو الموضع الذي تتركز فيه كتلة هذا المستطيل.

عادة، يحدد مركز كتلة الصفيحة المعطاة وفقًا لمجموعة إحداثيات معينة. بعبارة أخرى: من المألوف حساب مركز كتلة الجسم وفقًا لمستوى إحداثيي ﺱ وﺹ محدد. وبهذه الطريقة، إذا كان طول المستطيل ﻝ وعرضه ﺽ، فسيكون إحداثيا مركز كتلته، اللذان يمكن أن نطلق عليهما ﺱﻡ وﺹﻡ ، هما ﺽ على اثنين وﻝ على اثنين. وتعد طريقة إيجاد المركز الهندسي لشكل ما لتحديد مركز كتلته خطوة أولى جيدة يمكن تطبيقها متى أمكننا ذلك. غالبًا ما تكون هذه الطريقة مناسبة عندما تكون الصفيحة على شكل مستطيل أو دائرة.

لكن في حالة الأشكال الأقل انتظامًا، ليس من السهل دائمًا إيجاد مركزها الهندسي. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا هذا المثلث ونريد إيجاد مركز كتلته. بتذكر أنه لأي صفيحة، مركز الكتلة هو الموضع المتوسط للكتلة في هذا الجسم، يمكن أن نخمن أن هذه النقطة تقع هنا. لكن حين يتعلق الأمر بحساب هذه الإحداثيات فعليًّا، فكيف يمكننا أن نفعل ذلك؟ حسنًا، يتضح أنه لأي مثلث، إذا عرفنا إحداثيات رءوسه الثلاثة — سنطلق على هذه الرءوس ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة — يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد إحداثيات مركز الكتلة.

الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة يساوي مجموع ﺱ واحد، وﺱ اثنين، وﺱ ثلاثة، الكل مقسومًا على ثلاثة، وينطبق الأمر نفسه على الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. هذه الطريقة مفيدة جدًّا؛ لأنها تنطبق على جميع المثلثات. بمعلومية ذلك، لننظر إلى مركز الكتلة لشكل آخر شائع إلى حد ما. هذا الشكل هو نصف الدائرة. بتذكر أن مركز الكتلة يكافئ المركز الهندسي للشكل، قد نعتقد أنه إذا عرفنا قطر نصف الدائرة، فلا بد أن مركز الكتلة يقع في مكان ما على امتداد النقطة التي تتوسط تلك المسافة. وهذا حقيقي. حدسنا صحيح. ولكن، يتعين علينا بعد ذلك تحديد مكان مركز الكتلة على هذا الخط.

يتضح أننا إذا عرفنا نصف قطر نصف الدائرة، فإن هذا سيساعدنا في إيجاد إحداثيات مركز الكتلة، في هذه الحالة، في الاتجاه الرأسي أو الاتجاه ﺹ. إنه يساوي أربعة في نصف قطر نصف الدائرة مقسومًا على ثلاثة 𝜋. إذن، بما أن نصف قطر نصف الدائرة يساوي أربع وحدات، يمكننا القول إن إحداثيات مركز كتلتها هي أربعة، أربعة في أربعة على ثلاثة 𝜋، أو أربعة، و١٦ على ثلاثة 𝜋.

والآن، بعد أن تناولنا مراكز الكتلة للصفائح المنفردة التي قد نصادفها، دعونا نفرغ بعض المساحة ونفكر في كيفية حساب مركز الكتلة لا لصفيحة واحدة، بل لاثنتين معًا. في هذه الحالة، نرى أن كلتا الصفيحتين مستطيلتان. لكل منهما على حدة، نعرف كيف نوجد المركز الهندسي؛ ومن ثم مركز الكتلة. لكن لإيجاد مركز الكتلة لهذين الشكلين معًا، علينا بطريقة ما دمج مركزي الكتلة هذين. دعونا نتخيل أننا لا نعرف إحداثيات مركز الكتلة لكل من هذين المستطيلين فحسب، بل نعرف مساحة كل شكل منهما أيضًا. وأطلقنا على هاتين المساحتين ﻡ واحد وﻡ اثنين. إذا كان لدينا كل هذه المعطيات، فيمكننا الدخول في عملية تحديد مركز الكتلة لعدة صفائح.

فيما يلي الصيغتان العامتان للإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز الكتلة. الفكرة هي أن لدينا مجموعة من الصفائح، ولكل من هذه الأشكال مساحة أطلقنا عليها ﻡ واحد وﻡ اثنين، وهكذا حتى ﻡﻥ. لهذه المساحات المنفردة، يكون لكل مساحة إحداثي ﺱ وإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. وقد سمينا الإحداثي ﺱ لمركز كتلة المساحة الأولى ﺱ واحد، وللمساحة الثانية ﺱ اثنين، وهكذا حتى ﺱﻥ. وينطبق الأمر نفسه على الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة. لذا، بغض النظر عن الأشكال العديدة الموجودة لدينا، فإننا نضرب كل مساحة في الإحداثي ﺱ أو ﺹ لمركز الكتلة المناظر لها، ثم نجمع كل حواصل الضرب هذه لأكبر عدد من الأشكال لدينا. ثم نقسم هذه القيمة على مجموع المساحات كلها.

تلك العملية إجمالًا ستعطينا الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز الكتلة لمجموعة من الصفائح. إذن، في حالة المستطيلين هنا، يمكننا القول إن الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة لهذين المستطيلين المتراكبين معًا يساوي ﻡ واحد في ﺱ واحد زائد ﻡ اثنين في ﺱ اثنين مقسومًا على مجموع المساحتين، وينطبق الأمر نفسه على الإحداثي ﺹ لمركز كتلة الشكل المركب. وبهذه الطريقة، يمكننا دمج العدد الذي نريده من الصفائح معًا. ما دمنا نعرف مركز الكتلة لكل صفيحة على حدة ومساحتها، يمكننا إيجاد مركز الكتلة للشكل المركب باستخدام هذه الطريقة. بعد أن عرفنا كل ذلك عن الصفائح ومركز كتلتها، لنلق نظرة الآن على مثال تدريبي.

في الشكل الموضح، أوجد موضع مركز كتلة الصفيحة المثلثة المنتظمة ﺃﺏﺟ، باعتبار أن ﺃ نقطة الأصل.

في هذا الشكل، نرى أن المثلث الذي رءوسه ﺃ وﺏ وﺟ يقع على هذا المستوى الإحداثي ﺱﺹ. نريد إيجاد مركز كتلة هذه الصفيحة المثلثة، وعرفنا أن هذا يطابق مركز المثلث أو المركز الهندسي للشكل. بالتقدير بمجرد النظر، يمكننا وضع المركز الهندسي لهذا المثلث هنا. لكن لمعرفة الإحداثيين ﺱ وﺹ لهذه النقطة بدقة، سنطلق عليهما ﺱﻡ وﺹﻡ ، وسيكون علينا تذكر طريقة أكثر دقة. عندما نتعامل مع مثلثات ونسعى لإيجاد مركز كتلتها، فإن المعلومة الأساسية لإجراء ذلك هي إحداثيات رءوس المثلث الثلاثة.

إذا كنا نعرف هذه الإحداثيات، فبصرف النظر عن شكل المثلث، يمكننا حساب الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز كتلته باستخدام هاتين العلاقتين. وهي تتضمن بالأساس إيجاد متوسط إحداثيات ﺱ ومتوسط إحداثيات ﺹ لهذه الرءوس. إذا طبقنا هاتين العلاقتين على المثلث ﺃﺏﺟ الموجود لدينا، يمكننا ملاحظة أن الإحداثيات عند الرأس ﺏ هي صفر، خمسة ﺩ، وتلك التي تقع عند الرأس ﺟ هي أربعة ﺩ، صفر. وبما أن الرأس ﺃ يقع عند نقطة الأصل، تكون إحداثياته هي صفر، صفر.

إذن، لإيجاد الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة أولًا، سنجمع صفرًا، وصفرًا، وأربعة ﺩ، ونقسم ذلك كله على ثلاثة، وهو ما يعطينا أربعة ﺩ على ثلاثة. ثم لإيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة، سنجمع إحداثيات ﺹ للرءوس الثلاثة للمثلث، وهي خمسة ﺩ، وصفر وصفر، ونقسم ذلك كله على ثلاثة لنحصل على خمسة أثلاث ﺩ. هذان إذن هما إحداثيا مركز الكتلة لهذه الصفيحة المثلثة المنتظمة.

لننظر الآن إلى مثال نحسب فيه مركز الكتلة لمجموعة من الصفائح.

‏ﺃﺏﺟﺩ صفيحة مربعة منتظمة طول ضلعها ﻝ. شكلت صفيحة منتظمة أخرى ﺏﺟﻫ بنفس الكثافة على صورة مثلث متساوي الساقين، وضمت إلى المربع؛ بحيث تقع النقطة ﻫ خارج المربع، وﺏﻫ يساوي ﺟﻫ. إذا كان طول ضلع المربع يساوي خمسة أثلاث أمثال طول ارتفاع المثلث، فأوجد مركز كتلة النظام.

بالنظر إلى الشكل، نرى المربع ﺃﺏﺟﺩ والمثلث المتساوي الساقين المتصل بأحد أضلاع المربع. في هذا المثال التدريبي، نريد إيجاد مركز كتلة المربع والمثلث معًا. لمساعدتنا في فعل ذلك، أخبرنا السؤال أن طول ضلع المربع ﻝ، وأن طول ارتفاع المثلث؛ أي هذه المسافة هنا، يرتبط بطول ضلع المربع من خلال هذه العلاقة: خمسة أثلاث في ﻝ يساوي ﻝ. بعد كتابة ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة، ونبدأ في إيجاد إحداثيات ﺱ وﺹ لمركز كتلة هذين الشكلين معًا.

وفقًا للطريقة العامة التي نستخدمها، يمكننا أن نبدأ بإيجاد مركز كتلة كل شكل على حدة؛ أي المربع وحده والمثلث وحده. بمجرد أن نفعل ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أنه يمكن الحصول على مركز كتلة صفيحتين؛ أي مركز الكتلة لاثنتين من الصفائح المنفردة معًا، من خلال هاتين الصيغتين للإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز الكتلة المذكور. هنا، يمثل كل من ﺃ واحد وﺃ اثنين مساحتي الصفيحتين. ‏ﺱ واحد وﺱ اثنان هما إحداثيا ﺱ لمركز كتلة هذين الشكلين. وﺹ واحد وﺹ اثنان هما إحداثيا ﺹ لمركز الكتلة المناظران لهما. لاستخدام هاتين الصيغتين، علينا إذن إيجاد مركزي الكتلة للمربع والمثلث، وكذلك مساحتيهما.

هيا نبدأ بالنظر إلى المربع. إذا نظرنا إلى حقيقة أن المركز الهندسي لهذا المربع يقع عند مركز كتلته، فإننا نعلم أنه يقع عند نقطة هنا؛ حيث كل إحداثي من الإحداثيين ﺱ وﺹ يساوي ﻝ على اثنين. إذن، نكتب هذه الإحداثيات على الصورة: ﺱﻡ للمربع وﺹﻡ للمربع. بعد ذلك دعونا ننظر إلى مساحة المربع. بما أن طول الضلع يساوي ﻝ، فإن المساحة ببساطة تساوي ﻝ تربيع. والآن، هيا ننتقل إلى المثلث، ونحسب الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز كتلته. ويمكننا تذكر أنه في هذا الشكل، الإحداثيان ﺱ وﺹ لمركز الكتلة يساويان متوسط إحداثيات ﺱ وﺹ، على الترتيب، لرءوس المثلث. بالنظر إلى الإحداثيات عند الرأس ﺏ، يمكننا أن نرى أن هذين هما ﻝ وﻝ. وعند الرأس ﺟ، هما ﻝ وصفر.

لكن، ماذا عن الرأس ﻫ؟ تخبرنا المسألة أن هذا مثلث متساوي الساقين. هذا يعني أن الإحداثي ﺹ للنقطة ﻫ يقع عند منتصف المسافة بين النقطتين ﺟ وﺏ. نفهم من ذلك أنه ﻝ على اثنين. ومع ذلك، لإيجاد الإحداثي ﺱ، علينا إضافة الارتفاع ﻭ إلى الطول ﻝ الموجود لدينا بالفعل باعتباره طول ضلع المربع. بالنظر إلى هذه العلاقة بين ﻭ وﻝ، إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في ثلاثة على خمسة، نجد أن ﻭ، وهو ارتفاع المثلث المتساوي الساقين، يساوي ثلاثة أخماس ﻝ، وهو ما يعني أن الإحداثي ﺱ للرأس ﻫ سيساوي ﻝ زائد ثلاثة أخماس ﻝ. وبجمعهما نحصل على ثمانية ﻝ على خمسة.

والآن، بعد أن عرفنا إحداثيات كل من رءوس المثلث الثلاثة، يمكننا الاستفادة من حقيقة أن الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة يساوي متوسط قيم ﺱﻡ الثلاث، وأن الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة يساوي متوسط قيم ﺹﻡالثلاث هذه. لاحظ أن هذا ينطبق على أي مثلث، سواء أكان مثلثًا متساوي الساقين أم لا. نبدأ بالإحداثي ﺱ، وهذا يساوي ﻝ زائد ﻝ زائد ثمانية ﻝ على خمسة الكل مقسوم على ثلاثة. وهذا يساوي ١٨ﻝ على خمسة مقسومًا على ثلاثة، أو ١٨ على ١٥ﻝ، وبالتبسيط نحصل على ستة أخماس ﻝ. إذن، سنسجل هذه القيمة باعتبارها الإحداثي ﺱ لمركز كتلة المثلث، ثم نحذف هذا التعبير حتى نتمكن من البدء في إيجاد الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة.

هذا يساوي متوسط إحداثيات ﺹ للرءوس الثلاثة. هذا يساوي ﻝ زائد صفر زائد ﻝ على اثنين مقسومًا على ثلاثة؛ أي ثلاثة على اثنين ﻝ على ثلاثة، أو ببساطة ﻝ على اثنين. ثم نكتب هذه القيمة في على صورة زوج مرتب. آخر ما علينا فعله قبل تطبيق معادلتي مركز الكتلة هاتين هو حساب مساحة المثلث. عمومًا، مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. وقلنا هنا إن الارتفاع يساوي ثلاثة أخماس ﻝ. وبهذا الاتجاه، يمكننا ملاحظة أن القاعدة هنا طولها ﻝ. المساحة إذن تساوي نصف ﻝ في ثلاثة أخماس ﻝ، أو ثلاثة على ١٠ﻝ تربيع. نحن الآن مستعدون تمامًا لتطبيق هاتين العلاقتين لإيجاد مركز الكتلة الكلي.

لمركز كتلة الصفيحتين المتراكبتين معًا إحداثي ﺱ معطى بمساحة المربع مضروبة في الإحداثي ﺱ لمركز كتلة المربع زائد مساحة المثلث مضروبة في الإحداثي ﺱ لمركز كتلة هذا الشكل، الكل مقسومًا على مجموع مساحتي هذين الشكلين معًا. عند التعويض بكل هذه القيم، يمكننا ملاحظة أن العامل ﻝ تربيع يظهر في كل من البسط والمقام في جميع الحدود. وهذا يعني أنه يمكننا أخذه عاملًا مشتركًا في البسط والمقام ثم حذفه، ليتبقى لنا التعبير الذي يمثل الإحداثي ﺱ لمركز الكتلة.

لاحظ أنه في البسط يمكننا الآن أخذ العامل المشترك ﻝ أس واحد. ثم إذا جمعنا نصفًا وثلاثة على عشرة مضروبًا في ستة أخماس، فهذا يساوي ٤٣ مقسومًا على ٥٠. ثم في المقام، واحد زائد ثلاثة على عشرة يساوي ١٣ مقسومًا على ١٠. إذا ضربنا بعد ذلك البسط والمقام في ١٠ على ١٣، فإن المقام يبسط إلى واحد، وسيكون لدينا ﻝ في ٤٣ على ٥٠ في ١٠ على ١٣. نبسط هذا إلى ٤٣ على ٦٥ﻝ. هذا هو الإحداثي ﺱ لمركز كتلة الشكل المكون من صفيحتين. إذن، نكتب هذه القيمة في الزوج المرتب هذا، ونفرغ الآن المساحة لحساب الإحداثي ﺹ لمركز الكتلة الكلي.

وكما هو الحال في الإحداثي ﺱ، فإن هذا يساوي مساحة المربع في الإحداثي ﺹ لمركز كتلة هذا الشكل زائد مساحة المثلث مضروبًا في الإحداثي ﺹ لمركز كتلة المثلث، الكل مقسوم على مجموع مساحتي هذين الشكلين. بعد التعويض بهذه القيم، نلاحظ مجددًا أنه يمكننا أخذ ﻝ تربيع عاملًا مشتركًا في البسط والمقام. وكما فعلنا تمامًا من قبل، يحذف ذلك العامل المشترك، ونجد مرة أخرى أنه يمكن أخذ العامل المشترك ﻝ أس واحد في البسط.

عندما نضيف نصفًا إلى ثلاثة على عشرة في نصف، نحصل على ١٣ على ٢٠. ومثلما فعلنا من قبل، يمكن تبسيط واحد زائد ثلاثة على ١٠ إلى ١٣ على ١٠. بضرب البسط والمقام مرة أخرى في ١٠ على ١٣، نجد أن المقام يبسط إلى واحد بينما يصبح البسط ﻝ في نصف. وهذا إذن هو الإحداثي ﺹ لمركز كتلة الصفيحتين معًا، وهو ما يعني أن الإجابة النهائية هي أن إحداثيات مركز كتلة هاتين الصفيحتين هي ٤٣ على ٦٥ﻝ، وﻝ على اثنين.

هيا نختتم هذا الدرس بتلخيص بعض النقاط الأساسية. في هذا الدرس، تعلمنا أن الصفيحة شكل ثنائي الأبعاد. والصفيحة المنتظمة، يكون مركز كتلتها هو مركزها الهندسي، الذي يسمى أيضًا نقطتها المركزية. وعندما يتعلق الأمر بالمثلثات، رأينا أنه يمكن إيجاد هذا المركز الهندسي؛ ومن ثم يمكن إيجاد مركز الكتلة، من خلال إيجاد متوسط إحداثيات ﺱ وﺹ لرءوس المثلث. وعرفنا كذلك أنه فيما يتعلق بنصف الدائرة، التي توضع بحيث يقع جانبها المستوي على المحور ﺱ، إذا كان نصف قطرها نق، فإن الإحداثي ﺹ لمركز كتلتها يساوي أربعة نق على ثلاثة 𝜋.

وأخيرًا، رأينا أنه عندما نريد إيجاد مركز الكتلة لمجموعة من الصفائح، يمكننا إيجاد ذلك عن طريق إيجاد مساحة كل صفيحة على حدة، وكذلك إحداثيات مركز كتلتها، واستخدام تلك المعطيات في هاتين الصيغتين لأي عدد من الصفائح لحساب الإحداثيين ﺱ وﺹ لمركز كتلة مجموعة الصفائح.