شارح الدرس: مركز ثقل الصفيحة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد مركز ثقل صفيحة على شكل مثلث قائم الزاوية

في الشكل الموضَّح، أوجد مركز ثقل الصفيحة المثلثة المنتظمة ، باعتبار أن نقطة الأصل.

الحل

بالنسبة إلى الصفائح المنتظمة، يكون مركز ثقل الجسم هو المركز الهندسي للجسم. وبما أن الصفيحة منتظمة، إذن مركز ثقلها هو مركزها الهندسي.

المركز الهندسي للمثلث القائم الزاوية هو نقطة التقاطع بين مستقيمين؛ حيث يتقاطع طرف كلِّ مستقيم مع أحد رءوس المثلث، ويتقاطع الطرف الآخر مع نقطة تنصيف القطعة المستقيمة المقابلة لهذا الرأس. هذان المستقيمان هما متوسطا المثلث.

يوضِّح الشكل الآتي مستقيمَيْن يتقاطعان عند النقطة ، وهي المركز الهندسي لـ ، ويُطلَق عليها مركز المثلث. ويوضِّح الشكل الآتي إحداثيات الأجزاء المقطوعة من المحورين ، لهذين المستقيمين.

يمكن تحديد قيمتَي ، جبريًّا بإيجاد قيمتَي ، اللتين تكون عندهما معادلة المستقيم مساوية لمعادلة المستقيم .

معادلة هي:

ومعادلة هي:

هاتان المعادلتان متساويتان، عندما يكون ، إحداثيَّي مركز المثلث :

يُوجَد عامل مشترك هو ، يمكن إلغاؤه لنحصل على:

يمكن إعادة ترتيب ذلك على النحو الآتي للحصول على قيمة :

بالتعويض بقيمة في معادلة ، نحصل على:

للحصول على الإحداثي للنقطة ، يجب ضرب قيمة في ؛ ومن ثَمَّ:

وبناءً على ذلك، تُعطَى إحداثيات مركز ثقل بواسطة:

كان من الممكن إلى حدٍّ كبير تبسيط طريقة إيجاد مركز المثلث عن طريق تقاطع متوسطين؛ حيث يكون مثلثًا، ونعلم أن مركز المثلث يقسم المتوسط بنسبة . وهذا يعني أن موضع مركز المثلث يكون بالضرورة عند طول المتوسط؛ ومن ثَمَّ، تساوي قيمة الإحداثي بالضرورة . وبما أن طول الضلع في ، الذي في اتجاه المحور ، يساوي طول الضلع الذي في اتجاه المحور ، إذن قيمة إحداثي يجب أن تساوي .

مثال ٢: إيجاد مركز ثقل صفيحة مع كتل إضافية مضافة

صفيحة منتظمة على شكل مربع طول ضلعه ٢٨ سم كتلتها ٥٤ جرامًا. ثُبِّتت الكتل ١٠ و٨ و٤ و٨ جرامات عند ، ، ، على الترتيب. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

الحل

يمكن اعتبار ما عرضناه في السؤال نظامًا يتكوَّن من خمسة جسيمات. الكتل الأربع المعلَّقة هي جسيمات بالفعل، ومركز ثقل الصفيحة هو أيضًا جسيم. وبما أن الصفيحة عبارة عن مربع منتظم، إذن مركز ثقل الصفيحة يقع عند مركز المربع.

نظام الجسيمات هو نظام ثنائي الأبعاد وليس نظامًا أحادي الأبعاد. مع ذلك، من الممكن تمثيل النظام الثنائي الأبعاد في صورة نظامين أحاديَّي الأبعاد في الاتجاهين ، ، على الترتيب.

يمكن تمثيل النظام الأحادي الأبعاد في الاتجاه بالجدول الآتي:

مركز ثقل النظام في اتجاه المحور يمكن إيجاده بواسطة:

إيجاد موضع مركز ثقل النظام في اتجاه المحور باستخدام الصيغة الآتية: حيث يمكن إيجاد قيم ، ، عن طريق جمع قيم عند قيمة مُعطاة لـ . إذن:

يبلغ طول كل ضلع من أضلاع المربع ٢٨ سم، وتؤثِّر كتلة المربع عند نقطة منتصف هذه القطع المستقيمة. إذن يمكن الحصول على قيمة ، مع أخذ النقطة عند ، بواسطة:

يمكن تطبيق الطريقة نفسها في اتجاه المحور للحصول على موضع مركز الثقل في اتجاه المحور ؛ ومن ثَمَّ، فإن توزيع الكتل حول نظام مكوَّن من جسيمات يُعطينا قيم ، ، نفسها، وقيم ، ، تساوي ، ، ، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة تساوي أيضًا ١٣ سم.

ويكون موضع مركز ثقل النظام:

مركز ثقل النظام قريب جدًّا من مركز ثقل الصفيحة. وهذا متوقَّع؛ أولًا: لأن معظم كتلة النظام ناتج عن الصفيحة، وثانيًا: لأن الكتل الأخرى موزَّعة هندسيًّا بصورة متماثلة حول مركز الصفيحة، وثالثًا: لأن مدى القيم والكتل الأخرى صغير مقارنةً بكتلة الصفيحة.

مثال ٣: إيجاد مركز ثقل صفيحة مكوَّنة من مستطيل ومثلث

صفيحة مربعة منتظمة طول ضلعها . شُكِّلت صفيحة منتظمة أخرى بنفس الكثافة على صورة مثلث متساوي الساقين، وضُمَّت إلى المربع؛ بحيث تقع النقطة  خارج المربع، . إذا كان طول ضلع المربع يساوي من طول ارتفاع المثلث، فأوجد مركز ثقل النظام.

الحل

يمكن بسهولة تحديد مركزَي ثقل المربع والمثلث اللذين تتكوَّن منهما الصفيحة المركبة.

مركز ثقل المربع هو مركز المربع؛ لذا، تكون إحداثياته: باعتبار نقطة الأصل للنظام الإحداثي الثنائي الأبعاد.

يكون الإحداثي لمركز ثقل المثلث عند نقطة على بُعدٍ يساوي طول متوسط المثلث من قاعدة المثلث؛ إحداثيات هذه النقطة هي:

الصفيحة منتظمة؛ لذا، فإن كتلتَي المربع والمثلث تتناسبان طرديًّا مع مساحتَيْهما النسبيتين.

مساحة المربع هي: ومساحة المثلث هي: ومن ثَمَّ، فإن كتلة المثلث تساوي من كتلة المربع.

يشكِّل مركزا ثقل كلٍّ من المربع والمثلث نظامًا أحادي الأبعاد بالنسبة إلى اتجاه المحور ، الذي يمكن تمثيله بالجدول الآتي:

يمكن إيجاد مركز ثقل النظام في اتجاه المحور بواسطة:

هذا يُعطينا إحداثيات مركز ثقل النظام الثنائي الأبعاد على الصورة:

مثال ٤: إيجاد إحداثيات مركز الثقل لصفيحة مستطيلة غير منتظمة

صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل طوله ٦٣ سم وعرضه ٥٩ سم. الصفيحة مقسَّمة لثلاثة مستطيلات متساوية على طولها، طُوي آخر هذه المستطيلات؛ بحيث يقع مستويًا على المستطيل الأوسط، كما هو موضَّح في الشكل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة على هذا الشكل.

الحل

الصفيحة مقسَّمة إلى ثلاثة مستطيلات متساوية الحجم. يقع مركز ثقل كل مستطيل عند المركز الهندسي لكل مستطيل. كل مستطيل له كتلة .

بعد طي الصفيحة، تصبح المنطقة المحدَّدة بالخط المتقطِّع لها نفس إحداثيات المنطقة المظلَّلة في الشكل. وبما أن مركز ثقل كل مستطيل يقع عند المركز الهندسي لكل مستطيل، إذن مركزا كتلتَي المستطيلين موضَّحان في الشكل الآتي، ويشمل ذلك مسافة كلٍّ منهما من في اتجاه المحور .

وبما أن المنطقة المظلَّلة تتكوَّن من مستطيلين متراصين، إذن كتلة هذه المنطقة تساوي ضعف كتلة المنطقة غير المظلَّلة.

يمكن تمثيل النظام الأحادي الأبعاد في اتجاه المحور بالجدول الآتي:

يمكن إيجاد الإحداثي لمركز ثقل النظام في اتجاه المحور من:

يمكن التأكُّد من الناتج باستخدام الصيغة الآتية:

بالتعويض بالقيم عن ، ، نحصل على:

يظهر العامل في كلٍّ من البسط والمقام؛ ومن ثَمَّ، يمكن استبعاده للحصول على:

لا يؤثِّر طي الصفيحة على توزيع كتلتها في الاتجاه ؛ ومن ثَمَّ، فإن مركز ثقل الصفيحة في اتجاه المحور يكون ببساطة نقطة المنتصف لعرض الصفيحة الذي يبلغ ٥٩ سم في اتجاه المحور .

ومن ثَمَّ، تكون إحداثيات مركز ثقل الصفيحة هي:

مثال ٥: حساب الزاوية بين خط مستقيم والخط الرأسي في صفيحة منتظمة، علمًا بأن الصفيحة معلَّقة تعليقًا حرًّا من نقطة

أوجد، لأقرب درجة، الزاوية التي يصنعها الخط المستقيم مع الرأسي، إذا عُلِّقت الصفيحة المنتظمة الموضَّحة تعليقًا حرًّا من النقطة .

الحل

بدلًا من تعليق الصفيحة من نقطة لإيجاد مركز ثقلها، يتضمَّن السؤال إيجاد موضع مركز ثقل الصفيحة لإيجاد الزاوية التي سيصنعها أحد أضلاع الصفيحة مع الرأسي عندما تُعلَّق من نقطة.

يمكن إيجاد موضع مركز ثقل الصفيحة من خلال إيجاد مواضع مراكز كتلة الأجزاء المستطيلة من الصفيحة أولًا. مركز ثقل كل جزء مستطيل من الصفيحة هو المركز الهندسي لهذا المستطيل.

قبل إجراء أي عمليات حسابية، يمكننا إيجاد مركز ثقل الصفيحة بالتقريب باستخدام طريقة مقياس الرسم، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يوضِّح مقياس الرسم أن مركز ثقل الصفيحة يكون في اتجاه المحور وقريبًا جدًّا من موضع النقطة التي ستُعلَّق منها الصفيحة.

بتمثيل الصفيحة على صورة مستطيلين، يمكن توضيح موضعَي مركزَي ثقل المستطيلين ، من خلال الشكل الآتي:

إحداثيات هي: وإحداثيات هي:

وبما أن المستطيلين منتظمان، إذن كتلتاهما النسبيتان تتناسبان طرديًّا مع مساحتَيْهما النسبية؛ ومن ثَمَّ:

ومن هذا المنطلق، يمكن أيضًا ملاحظة أن: إذن:

يمكن تمثيل النظام الأحادي الأبعاد في اتجاه المحور بالجدول الآتي:

يمكن إيجاد الإحداثي لمركز ثقل الصفيحة من:

يمكن التأكُّد من الناتج باستخدام الصيغة الآتية:

بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على:

يظهر العامل في كلٍّ من البسط والمقام، ويمكن استبعاده للحصول على:

يمكن إعادة ترتيب ذلك كالآتي:

باتباع طريقة مكافئة لإيجاد الإحداثي لمركز ثقل الصفيحة، نحصل على:

يوضَّح الشكل الآتي الزاوية المحصورة بين مركز الثقل وخط عمل القوة المؤثِّرة لتعليق الصفيحة. نلاحظ أن الزاوية صغيرة جدًّا.

عندما تُعلَّق الصفيحة، فإنها تدور في اتجاهٍ عكس اتجاه عقارب الساعة بهذه الزاوية حول نقطة التعليق.

وتُحسَب المسافة الرأسية من نقطة التعليق إلى مركز الثقل من: وتُحسب المسافة الأفقية من نقطة التعليق إلى مركز الثقل من:

ومن ثَمَّ، فإن الزاوية تُحسب من: وهو ما يُعطينا قيمة :

يدور الخط المستقيم بالزاوية نفسها. وبما أن أفقي ابتداءً، إذن زاويته الابتدائية التي يصنعها مع الرأسي تساوي . وبينما تقل هذه الزاوية بمقدار ، تنتج زاوية نهائية، بعد التقريب لأقرب درجة، مقدارها .