تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مركز ثقل الصفيحة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد موضع مركز ثقل صفيحة مكوَّنة من أشكال قياسية في بُعدَيْن.

وزن الجسم قوة، والقوة تؤثِّر عند نقطة ما. إذا كان الجسم جسيمًا، يمكننا القول إن وزن الجسم يؤثِّر في موضع الجسم.

لكن نفترض أن لدينا قضيبًا أفقيًّا جاسئًا. يمكن تمثيل القضيب على صورة نظام مكوَّن من عدد 𞸍 من الجسيمات، تفصل بين كلٍّ منها مسافة 𞸐، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يمكننا أن نتخيَّل مقارنةً بين جسيم واحد، ج، ونظام مكوَّن من عدد 𞸍 من الجسيمات. كتلة ج تساوي مجموع كتل هذا العدد 𞸍 من الجسيمات. ولأن ج ليس له طول، فلا يمكنه الدوران، وأيُّ قوة تؤثِّر عليه يمكن أن تُنتج عجلة انتقالية فقط.

إذا كانت قوة محصلة، 󰄮󰄮𞹟، تؤثِّر على النظام المكوَّن من 𞸍 من الجسيمات عند نقطة معيَّنة، 𞸎، تقتصر على النظام، فإن كل جسيم في النظام يكتسب عجلة ناتجة عن 󰄮󰄮𞹟 مكافِئة لعجلة ج الناتجة عن 󰄮󰄮𞹟.

وإذا كانت 󰄮󰄮𞹟 تؤثِّر عند 𞸎، فإن النظام يكتسب عجلة انتقالية ناتجة عن 󰄮󰄮𞹟. ولا يدور النظام بسبب 󰄮󰄮𞹟.

وعندما تكون عجلة ج وعجلة النظام متساويتين، تكون النقطة 𞸎 مركز ثقل النظام.

نُعرِّف مركز الثقل لنظام من الجسيمات أحادي الأبعاد.

تعريف: مركز الثقل لنظام من الجسيمات أحادي الأبعاد

يُعطى موضع 𞸎، وهو مركز الثقل لنظام من الجسيمات أحادي الأبعاد، بواسطة العلاقة: 𞸎=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊،𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓 حيث 𞸊𞸓 كتلة الجسيم ذي الدليل 𞸓، 𞸎𞸓 المسافة من نقطة الأصل إلى النظام الإحداثي إلى الجسيم ذي الدليل 𞸓.

يمكن جعل القيمة التقريبية لنظام من 𞸍 من الجسيمات أكثر واقعيةً بافتراض أن 𞸊𞸓 تئول إلى الصفر؛ ومن ثَمَّ، فإن 𞸍 تئول إلى ما لا نهاية. وهذا يتطلَّب أن يُستبدَل بالمجموع هذا التكامل الآتي: 𞸎=󰊾𞸎𞸃𞸊󰌄𞸊.𞸍٠𞸍𞸓=١𞸓

في حالة القضيب المنتظم، تُعطى 𞸎 بواسطة: 𞸎=󰊾𞸎×𞸃𞸎󰌄𞸊=󰃄𞸎٢١𞸋󰃃=𞸋٢،𞸋٠𞸍𞸋𞸍𞸓=١𞸓٢𞸎=𞸋𞸎=٠ حيث 𞸋 طول القضيب؛ ومن ثَمَّ تقع 𞸎 عند منتصف القضيب.

القوة المؤثِّرة على مركز ثقل القضيب تؤثِّر بشكل مكافئ لمجموعة من القوى المؤثِّرة في الاتجاه نفسه عند كل نقطة على طول القضيب. ويمكن استخدام نفس طريقة التعويض عن قوة واحدة بمجموعة من القوى فيما يتعلَّق بالقوة الناتجة عن وزن القضيب.

يبذل القضيب الذي يرتكز على سطحٍ قوًى عند كل نقطة تَلامُس بين القضيب والسطح، لكن يمكن تمثيل وزن القضيب في صورة قوة واحدة تؤثِّر عند مركز ثقل القضيب.

إذا كان القضيب ملامسًا للسطح، فسيُنتج السطح قوة رد فعل، 󰄮𞸓، في الاتجاه المعاكس لوزن القضيب، 󰄮𞸅؛ حيث تؤثِّر 󰄮𞸅 في اتجاه مستقيم يمر بمركز الثقل. ولكي يؤثِّر كلٌّ من 󰄮𞸅، 󰄮𞸓؛ ليكون الجسم في حالة اتزان، يجب أن يكون مركز ثقل القضيب رأسيًّا أسفل الجزء من السطح الذي يكون عنده 󰄮𞸓، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يُحدِّد موضع مركز ثقل القضيب بالنسبة إلى السطح إذا ما كان يَنتج عن الوزن دورانٌ أو لا.

يهتم هذا الشارح بالأجسام ذات السُّمك المهمَل فقط. تُسمَّى هذه الأجسام بالصفائح. والصفيحة تكون ثنائية الأبعاد.

بالنسبة إلى الصفيحة، يمكن تعريف مركز الثقل باستخدام إحداثيات ثنائية الأبعاد في نظام إحداثي مُعطى. يمكن للتبسيط اعتبار نقطة الأصل في النظام الإحداثي المستخدَم في تحديد مركز ثقل الصفيحة هي أحد رءوس الصفيحة، بافتراض أن الصفيحة لها أي رءوس.

نُلقي نظرة على مثال يتناول تحديد موضع مركز ثقل الصفيحة.

مثال ١: إيجاد مركز ثقل صفيحة على شكل مثلث قائم الزاوية

في الشكل الموضَّح، أوجد مركز ثقل الصفيحة المثلثة المنتظمة 󰏡𞸁𞸢، باعتبار أن 󰏡 نقطة الأصل.

الحل

بالنسبة إلى الصفائح المنتظمة، يكون مركز ثقل الجسم هو المركز الهندسي للجسم. وبما أن الصفيحة منتظمة، إذن مركز ثقلها هو مركزها الهندسي.

المركز الهندسي للمثلث القائم الزاوية هو نقطة التقاطع بين مستقيمين؛ حيث يتقاطع طرف كلِّ مستقيم مع أحد رءوس المثلث، ويتقاطع الطرف الآخر مع نقطة تنصيف القطعة المستقيمة المقابلة لهذا الرأس. هذان المستقيمان هما متوسطا المثلث.

يوضِّح الشكل الآتي مستقيمَيْن يتقاطعان عند النقطة (𞸎،𞸑)، وهي المركز الهندسي لـ 󰏡𞸁𞸢، ويُطلَق عليها مركز المثلث. ويوضِّح الشكل الآتي إحداثيات الأجزاء المقطوعة من المحورين 𞸎، 𞸑 لهذين المستقيمين.

يمكن تحديد قيمتَي 𞸎، 𞸑 جبريًّا بإيجاد قيمتَي 𞸎، 𞸑 اللتين تكون عندهما معادلة المستقيم 𞸤𞸢 مساوية لمعادلة المستقيم 𞸁𞸃.

معادلة 𞸁𞸃 هي: 𞸑=𞸋󰂔󰂔٠٥٢٠󰂓𞸎+٥󰂓𞸑=𞸋󰂔٥٢𞸎+٥󰂓.

ومعادلة 𞸤𞸢 هي: 𞸑=𞸋󰃭󰃭٠٤٠󰃬𞸎+٥٢󰃬𞸑=𞸋󰂔٥٨𞸎+٥٢󰂓.٥٢

هاتان المعادلتان متساويتان، عندما يكون 𞸎، 𞸑 إحداثيَّي مركز المثلث 󰏡𞸁𞸢: 𞸋󰂔٥٢𞸎+٥󰂓=𞸋󰂔٥٨𞸎+٥٢󰂓.

يُوجَد عامل مشترك هو 𞸋، يمكن إلغاؤه لنحصل على: ٥٢𞸎+٥=٥٨𞸎+٥٢.

يمكن إعادة ترتيب ذلك على النحو الآتي للحصول على قيمة 𞸎: ٥٢𞸎٥٨𞸎=٥٢٥󰂔٥٢٥٨󰂓𞸎=٥٢٥󰂔٠٢٨+٥٨󰂓𞸎=٥٢٥١٨𞸎=٥٢٥١𞸎=٠٤٢𞸎=٤٣.

بالتعويض بقيمة 𞸎 في معادلة 𞸁𞸃، نحصل على: 𞸑=𞸋󰂔󰂔٥٢×٤٣󰂓+٥󰂓𞸑=𞸋󰂔٠٢٦+٥󰂓𞸑=𞸋󰂔٠٢٦+٠٣٦󰂓𞸑=٠١٦𞸋=٥𞸋٣.

للحصول على الإحداثي 𞸎 للنقطة 𞸋(𞸎،𞸑)، يجب ضرب قيمة 𞸎 في 𞸋؛ ومن ثَمَّ: 𞸎=٤𞸋٣.

وبناءً على ذلك، تُعطَى إحداثيات مركز ثقل 󰏡𞸁𞸢 بواسطة: 󰂔٤𞸋٣،٥𞸋٣󰂓.

كان من الممكن إلى حدٍّ كبير تبسيط طريقة إيجاد مركز المثلث عن طريق تقاطع متوسطين؛ حيث يكون 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا، ونعلم أن مركز المثلث يقسم المتوسط بنسبة ٢١. وهذا يعني أن موضع مركز المثلث يكون بالضرورة عند ١٣ طول المتوسط؛ ومن ثَمَّ، تساوي قيمة الإحداثي 𞸑 بالضرورة ١٣×٥𞸋. وبما أن طول الضلع في 󰏡𞸁𞸢، الذي في اتجاه المحور 𞸎، يساوي ٤٥ طول الضلع الذي في اتجاه المحور 𞸑، إذن قيمة إحداثي 𞸎 يجب أن تساوي ١٣×٤𞸋.

عندما نقوم بتحديد موضع مركز ثقل صفيحة منتظمة، نحتاج إلى تحديد المركز الهندسي للصفيحة. يرجع سبب ذلك إلى أنه عندما نتناول صفيحة منتظمة، يكون المركزان متماثلين. لنرَ سبب ذلك.

انظر الصفيحة المنتظمة الآتية التي على شكل قطع ناقص بؤرتاه عند النقطتين 󰏡، 𞸁.

أضفنا محور التماثل الأفقي؛ حيث يمر بالنقطتين 󰏡، 𞸁. إذا قمنا بعد ذلك بتقسيم القطع الناقص بواسطة محور التماثل، فسنحصل على شكلين متطابقين. وبما أن الصفيحة منتظمة، إذن الشكلان لهما كتلتان متساويتان. نتناول الآن مركزَي الثقل للصفيحتين الجديدتين. بما أن الصفيحتين متطابقتان ومنتظمتان، إذن مركز الثقل يكون في نفس الموضع بكلٍّ منهما.

بما أن القطع الناقص شكل منتظم والصفيحة منتظمة، فلاحِظ أنه من المنطقي أن يقع مركز الثقل للشكلين على محور التماثل الرأسي للقطع الناقص. في الشكل، يمكننا ملاحظة أن مركزَي الثقل هما 𞸃، 𞸤، وأن القطعة المستقيمة 𞸃𞸤 عمودية على 󰄮󰏡𞸁.

نعلم أن كتلتَي الصفيحتين متساويتان؛ ومن ثَمَّ، يقع مركز ثقل القطع الناقص عند منتصف 𞸃𞸤، وهي النقطة التي تقع عند موضع التقاطع مع 󰄮󰏡𞸁. إذن يقع مركز ثقل القطع الناقص عند موضع تقاطع محورَي التماثل.

بالنظر إلى هذا القطع الناقص، استنتجنا خاصية من خواص الصفيحة المنتظمة.

خاصية: مركز ثقل الصفيحة المتماثلة

إذا وُجِد محور تماثل هندسي للصفيحة المنتظمة، فإن مركز ثقل الصفيحة يقع على هذا المحور.

بالمثل، إذا كان للصفيحة المنتظمة أكثر من محور تماثل هندسي، فإن مركز الثقل يقع عند موضع تقاطع محاور التماثل.

يمكن تسمية النقطة التي تتقاطع عندها محاور التماثل للصفيحة بالمركز الهندسي. لذلك، يقع مركز الثقل عند نفس النقطة للمركز الهندسي للصفيحة المنتظمة.

نركِّز في هذا الشارح على الصفائح فقط، ولكن يمكن تطبيق نفس المفهوم على الأشكال الثلاثية الأبعاد ذات الكثافة المنتظمة. إذا كان لهذه الأشكال مستوى تماثل، فإن مركز الثقل يقع على هذا المستوى. وإذا كان لها مستويان للتماثل، فيمكننا حينها تحديد خط تقاطع المستويين الذي يقع عليه مركز الثقل، وإذا كان لها ثلاثة مستويات للتماثل أو أكثر، فإن مركز الثقل يقع عند نقطة تقاطع المستويات الثلاثة.

في المثال التالي، نرى كيفية تحديد مركز الثقل لنظام يتضمَّن صفيحة وبعض الكتل.

مثال ٢: إيجاد مركز ثقل صفيحة مع كتل إضافية مضافة

صفيحة منتظمة على شكل مربع 󰏡𞸁𞸢𞸃 طول ضلعه ٢٨ سم كتلتها ٥٤ جرامًا. ثُبِّتت الكتل ١٠ و٨ و٤ و٨ جرامات عند 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃 على الترتيب. أوجد إحداثيات مركز ثقل النظام.

الحل

يمكن اعتبار ما عرضناه في السؤال نظامًا يتكوَّن من خمسة جسيمات. الكتل الأربع المعلَّقة هي جسيمات بالفعل، ومركز ثقل الصفيحة هو أيضًا جسيم. وبما أن الصفيحة عبارة عن مربع منتظم، إذن مركز ثقل الصفيحة يقع عند مركز المربع.

نظام الجسيمات هو نظام ثنائي الأبعاد وليس نظامًا أحادي الأبعاد. مع ذلك، من الممكن تمثيل النظام الثنائي الأبعاد في صورة نظامين أحاديَّي الأبعاد في الاتجاهين 𞸎، 𞸑، على الترتيب.

يمكن تمثيل النظام الأحادي الأبعاد في الاتجاه 𞸎 بالجدول الآتي:

الإجمالي
الكتلة١٠٨٥٤٨٤٨٤
المسافة من 󰏡𞸁٠٠١٤٢٨٢٨
الكتلة × المسافة٠٠٧٥٦٢٢٤١١٢١‎ ‎٠٩٢

مركز ثقل النظام في اتجاه المحور 𞸎 يمكن إيجاده بواسطة: 𞸎=٢٩٠١٤٨=٣١.

إيجاد موضع مركز ثقل النظام في اتجاه المحور 𞸎 باستخدام الصيغة الآتية: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎+𞸊𞸎𞸊+𞸊+𞸊،١١٢٢٣٣١٢٣ حيث يمكن إيجاد قيم 𞸊١، 𞸊٢، 𞸊٣ عن طريق جمع قيم 𞸊 عند قيمة مُعطاة لـ 𞸎. إذن: 𞸊=٠١+٨=٨١،𞸊=٤٥،𞸊=٨+٤=٢١.١٢٣

يبلغ طول كل ضلع من أضلاع المربع ٢٨ سم، وتؤثِّر كتلة المربع عند نقطة منتصف هذه القطع المستقيمة. إذن يمكن الحصول على قيمة 𞸎، مع أخذ النقطة 󰏡 عند 𞸎=٠، بواسطة: 𞸎=(٨١×٠)+(٤٥×٤١)+(٢١×٨٢)٨١+٤٥+٢١=٢٩٠١٤٨=٣١.

يمكن تطبيق الطريقة نفسها في اتجاه المحور 𞸑 للحصول على موضع مركز الثقل في اتجاه المحور 𞸑؛ ومن ثَمَّ، فإن توزيع الكتل حول نظام مكوَّن من جسيمات يُعطينا قيم 𞸊١، 𞸊٢، 𞸊٣ نفسها، وقيم 𞸑١، 𞸑٢، 𞸑٣ تساوي 𞸎١، 𞸎٢، 𞸎٣، على الترتيب، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

ومن ثَمَّ، فإن قيمة 𞸑 تساوي أيضًا ١٣ سم.

ويكون موضع مركز ثقل النظام: (٣١،٣١).

مركز ثقل النظام قريب جدًّا من مركز ثقل الصفيحة. وهذا متوقَّع؛ أولًا: لأن معظم كتلة النظام ناتج عن الصفيحة، وثانيًا: لأن الكتل الأخرى موزَّعة هندسيًّا بصورة متماثلة حول مركز الصفيحة، وثالثًا: لأن مدى القيم والكتل الأخرى صغير مقارنةً بكتلة الصفيحة.

نُلقي نظرة على مثال لصفيحة مركبة.

مثال ٣: إيجاد مركز ثقل صفيحة مكوَّنة من مستطيل ومثلث

󰏡𞸁𞸢𞸃 صفيحة مربعة منتظمة طول ضلعها 𞸋. شُكِّلت صفيحة منتظمة أخرى 𞸁𞸢𞸤 بنفس الكثافة على صورة مثلث متساوي الساقين، وضُمَّت إلى المربع؛ بحيث تقع النقطة  𞸤 خارج المربع، 𞸁𞸤=𞸢𞸤. إذا كان طول ضلع المربع يساوي ٥٣ من طول ارتفاع المثلث، فأوجد مركز ثقل النظام.

الحل

يمكن بسهولة تحديد مركزَي ثقل المربع والمثلث اللذين تتكوَّن منهما الصفيحة المركبة.

مركز ثقل المربع هو مركز المربع؛ لذا، تكون إحداثياته: 󰂔𞸋٢،𞸋٢󰂓، باعتبار 𞸃 نقطة الأصل للنظام الإحداثي الثنائي الأبعاد.

يكون الإحداثي 𞸎 لمركز ثقل المثلث عند نقطة على بُعدٍ يساوي ١٣ طول متوسط المثلث من قاعدة المثلث؛ إحداثيات هذه النقطة هي: 󰂔𞸋+󰂔١٣󰂓󰂔٣𞸋٥󰂓،𞸋٢󰂓=󰂔٦𞸋٥،𞸋٢󰂓.

الصفيحة منتظمة؛ لذا، فإن كتلتَي المربع والمثلث تتناسبان طرديًّا مع مساحتَيْهما النسبيتين.

مساحة المربع هي: 𞸋×𞸋=𞸋٢ ومساحة المثلث هي: 𞸋×𞸋٢=٣٠١𞸋،٣٥٢ ومن ثَمَّ، فإن كتلة المثلث تساوي ٣٠١ من كتلة المربع.

يشكِّل مركزا ثقل كلٍّ من المربع والمثلث نظامًا أحادي الأبعاد بالنسبة إلى اتجاه المحور 𞸎، الذي يمكن تمثيله بالجدول الآتي:

الإجمالي
الكتلة١٣٠١٣١٠١
المسافة من 󰏡𞸃𞸋٢٦𞸋٥
الكتلة × المسافة𞸋٢٨١𞸋٠٥٣٤𞸋٠٥

يمكن إيجاد مركز ثقل النظام في اتجاه المحور 𞸎 بواسطة: 𞸎==٣١=٣٤٥٦𞸋.٣٤٠٥٣١٠١٠٣٤٠٥

هذا يُعطينا إحداثيات مركز ثقل النظام الثنائي الأبعاد على الصورة: 󰂔٣٤𞸋٥٦،𞸋٢󰂓.

والآن، نُلقي نظرة على مثال فيه الصفيحة المنتظمة مطوية.

مثال ٤: إيجاد إحداثيات مركز الثقل لصفيحة مستطيلة غير منتظمة

صفيحة رقيقة منتظمة على شكل مستطيل طوله ٦٣ سم وعرضه ٥٩ سم. الصفيحة مقسَّمة لثلاثة مستطيلات متساوية على طولها، طُوي آخر هذه المستطيلات؛ بحيث يقع مستويًا على المستطيل الأوسط، كما هو موضَّح في الشكل. أوجد إحداثيات مركز ثقل الصفيحة على هذا الشكل.

الحل

الصفيحة مقسَّمة إلى ثلاثة مستطيلات متساوية الحجم. يقع مركز ثقل كل مستطيل عند المركز الهندسي لكل مستطيل. كل مستطيل له كتلة 𞸊.

بعد طي الصفيحة، تصبح المنطقة المحدَّدة بالخط المتقطِّع لها نفس إحداثيات المنطقة المظلَّلة في الشكل. وبما أن مركز ثقل كل مستطيل يقع عند المركز الهندسي لكل مستطيل، إذن مركزا كتلتَي المستطيلين موضَّحان في الشكل الآتي، ويشمل ذلك مسافة كلٍّ منهما من 󰏡 في اتجاه المحور 𞸎.

وبما أن المنطقة المظلَّلة تتكوَّن من مستطيلين متراصين، إذن كتلة هذه المنطقة تساوي ضعف كتلة المنطقة غير المظلَّلة.

يمكن تمثيل النظام الأحادي الأبعاد في اتجاه المحور 𞸎 بالجدول الآتي:

الإجمالي
الكتلة١٢ ٣
المسافة من 󰏡𞸃١٢٢٣󰂔١٢٢󰂓
الكتلة × المسافة١٢٢٦󰂔١٢٢󰂓٧󰂔١٢٢󰂓

يمكن إيجاد الإحداثي 𞸎 لمركز ثقل النظام في اتجاه المحور 𞸎 من: 𞸎=٧󰂔󰂓٣=٧٤١٦=٩٤٢.١٢٢

يمكن التأكُّد من الناتج باستخدام الصيغة الآتية: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎𞸊+𞸊.١١٢٢١٢

بالتعويض بالقيم عن 𞸊، 𞸎، نحصل على: 𞸎=𞸊+٢𞸊󰂔٣󰂓٣𞸊.١٢٢١٢٢

يظهر العامل 𞸊 في كلٍّ من البسط والمقام؛ ومن ثَمَّ، يمكن استبعاده للحصول على: 𞸎=+٢󰂔٣󰂔󰂓󰂓٣𞸎=+٦󰂔󰂓٣=٧٤١٦=٩٤٢.١٢٢١٢٢١٢٢١٢٢

لا يؤثِّر طي الصفيحة على توزيع كتلتها في الاتجاه 𞸑؛ ومن ثَمَّ، فإن مركز ثقل الصفيحة في اتجاه المحور 𞸑 يكون ببساطة نقطة المنتصف لعرض الصفيحة الذي يبلغ ٥٩ سم في اتجاه المحور 𞸑.

ومن ثَمَّ، تكون إحداثيات مركز ثقل الصفيحة هي: 󰂔٩٤٢،٩٥٢󰂓.

يؤثِّر وزن الجسم على مركز الثقل؛ ومن ثَمَّ، فإن الجسم الذي يؤثِّر عليه وزنه وقوة مؤثِّرة لا يمكن أن يكون في حالة اتزان، إلا إذا كانت القوة المؤثِّرة والوزن لهما خط العمل نفسه.

افترض أن لدينا صفيحة مربعة منتظمة في حالة اتزان معلَّقة من خيط رقيق عند النقطة 𞸋، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

القوة الرأسية المتجهة لأعلى، المؤثِّرة على الجسم نتيجة شد الخيط، لها نفس خط عمل وزن الصفيحة.

إذا كانت الصفيحة غير منتظمة، فإن تعليقها بالطريقة الموضَّحة قد يُثبت فقط أن خط عمل القوة المؤثِّرة يمر عبر مركز ثقل الصفيحة، وليس موضع مركز الثقل. لا يمكن تحديد المركز إلا عن طريق تعليق الصفيحة من نقطتين، وإيجاد تقاطعات خطوط عمل القوى التي تؤثِّر على نقاط التعليق، كما هو موضَّح في الشكل.

نُلقي نظرة الآن على مثال فيه تُعلَّق صفيحة مركَّبة من نقطة ما.

مثال ٥: حساب الزاوية بين خط مستقيم والخط الرأسي في صفيحة منتظمة، علمًا بأن الصفيحة معلَّقة تعليقًا حرًّا من نقطة

أوجد، لأقرب درجة، الزاوية التي يصنعها الخط المستقيم 𞸔𞸆 مع الرأسي، إذا عُلِّقت الصفيحة المنتظمة الموضَّحة تعليقًا حرًّا من النقطة 𞸌.

الحل

بدلًا من تعليق الصفيحة من نقطة لإيجاد مركز ثقلها، يتضمَّن السؤال إيجاد موضع مركز ثقل الصفيحة لإيجاد الزاوية التي سيصنعها أحد أضلاع الصفيحة مع الرأسي عندما تُعلَّق من نقطة.

يمكن إيجاد موضع مركز ثقل الصفيحة من خلال إيجاد مواضع مراكز كتلة الأجزاء المستطيلة من الصفيحة أولًا. مركز ثقل كل جزء مستطيل من الصفيحة هو المركز الهندسي لهذا المستطيل.

قبل إجراء أي عمليات حسابية، يمكننا إيجاد مركز ثقل الصفيحة بالتقريب باستخدام طريقة مقياس الرسم، كما هو موضَّح في الشكل الآتي:

يوضِّح مقياس الرسم أن مركز ثقل الصفيحة يكون في اتجاه المحور 𞸎 وقريبًا جدًّا من موضع النقطة التي ستُعلَّق منها الصفيحة.

بتمثيل الصفيحة على صورة مستطيلين، يمكن توضيح موضعَي مركزَي ثقل المستطيلين 𞸊١، 𞸊٢ من خلال الشكل الآتي:

إحداثيات 𞸊١ هي: 󰂔٤،٥١٢󰂓، وإحداثيات 𞸊٢ هي: 󰂔٣١،٩٢󰂓.

وبما أن المستطيلين منتظمان، إذن كتلتاهما النسبيتان تتناسبان طرديًّا مع مساحتَيْهما النسبية؛ ومن ثَمَّ: 𞸊𞸊=٥١×٨٠١×٩=٤٣.١٢

ومن هذا المنطلق، يمكن أيضًا ملاحظة أن: 𞸊=٤٣𞸊،١٢ إذن: 𞸊+𞸊=٧٣𞸊.١٢٢

يمكن تمثيل النظام الأحادي الأبعاد في اتجاه المحور 𞸎 بالجدول الآتي:

الإجمالي
الكتلة٤٣١٧٣
المسافة من 𞸔𞸋٤١٣
الكتلة × المسافة٦١٣١٣٥٥٣

يمكن إيجاد الإحداثي 𞸎 لمركز ثقل الصفيحة من: 𞸎==٥٥٧.٥٥٣٧٣

يمكن التأكُّد من الناتج باستخدام الصيغة الآتية: 𞸎=𞸊𞸎+𞸊𞸎𞸊+𞸊.١١٢٢١٢

بالتعويض بالقيم المعلومة، نحصل على: 𞸎=󰂔𞸊×٤󰂓+󰁓𞸊×٣١󰁒𞸊.٤٣٢٢٧٣٢

يظهر العامل 𞸊٢ في كلٍّ من البسط والمقام، ويمكن استبعاده للحصول على: 𞸎=󰂔×٤󰂓+٣١.٤٣٧٣

يمكن إعادة ترتيب ذلك كالآتي: 𞸎=٣×󰂔+٣١󰂓٧=٥٥٧.٦١٣

باتباع طريقة مكافئة لإيجاد الإحداثي 𞸑 لمركز ثقل الصفيحة، نحصل على: 𞸑=٣×󰂔٠١+󰂓٧=٧٨٤١.٩٢

يوضَّح الشكل الآتي الزاوية المحصورة بين مركز الثقل وخط عمل القوة المؤثِّرة لتعليق الصفيحة. نلاحظ أن الزاوية صغيرة جدًّا.

عندما تُعلَّق الصفيحة، فإنها تدور في اتجاهٍ عكس اتجاه عقارب الساعة بهذه الزاوية حول نقطة التعليق.

وتُحسَب المسافة الرأسية من نقطة التعليق إلى مركز الثقل من: 𞸐=٥١٧٨٤١=٣٢١٤١،𞸑 وتُحسب المسافة الأفقية من نقطة التعليق إلى مركز الثقل من: 𞸐=٨٥٥٧=١٧.𞸎

ومن ثَمَّ، فإن الزاوية 𝜃 تُحسب من: (𝜃)==٤١١٦٨،١٧٣٢١٤١ وهو ما يُعطينا قيمة 𝜃: 𝜃=٥٥٠.

يدور الخط المستقيم 𞸔𞸆 بالزاوية نفسها. وبما أن 𞸔𞸆 أفقي ابتداءً، إذن زاويته الابتدائية التي يصنعها مع الرأسي تساوي ٠٩. وبينما تقل هذه الزاوية بمقدار ٥٥٠، تنتج زاوية نهائية، بعد التقريب لأقرب درجة، مقدارها ٩٨.

النقاط الرئيسية

  • إذا كانت القوة المحصلة، 󰄮󰄮𞹟، تؤثِّر على نظام مكوَّن من عدد 𞸍 من الجسيمات عند مركز ثقل النظام، فإن كل جسيم من النظام يتحرَّك بعجلة ناتجة عن 󰄮󰄮𞹟 ومكافئة للعجلة الناتجة عن 󰄮󰄮𞹟 لجسيم واحد كتلته تساوي كتلة النظام.
  • يؤثِّر وزن الجسم عند مركز كتلته.
  • بالنسبة إلى الصفيحة المنتظمة، فإن موضع مركز الثقل يكون المركز الهندسي للصفيحة.
  • يمكن إيجاد موضع مركز الثقل لنظام من الجسيمات أحادي الأبعاد بواسطة: 𞸎=󰌄𞸊𞸎󰌄𞸊،𞸍𞸓=١𞸓𞸓𞸍𞸓=١𞸓 حيث 𞸊𞸓 كتلة جسيم دليله 𞸓، 𞸎𞸓 المسافة من نقطة الأصل للنظام الإحداثي لجسيم دليله 𞸓.
  • يمكن التعامل مع النظام الثنائي الأبعاد على أنه زوج من الأنظمة الأحادية الأبعاد.
  • مركز ثقل الصفيحة هو النقطة التي تتقاطع مع خطوط عمل قوى متعدِّدة تعمل كلٌّ منها على حدة لتعليق الصفيحة في حالة اتزان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.