فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين معطيين وبمعلومية معادلتيهما الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قياس الزاوية التي تقع بين الخط المستقيم ﺱ يساوي واحدًا، ﺹ يساوي اثنين؛ والخط المستقيم ﺹ يساوي سالب واحد، ﻉ يساوي صفرًا.

في هذا السؤال، لدينا خطان مستقيمان: الخط المستقيم ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي اثنين؛ والخط المستقيم ﺹ يساوي سالب واحد، وﻉ يساوي صفرًا. وعلينا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين الخطين المستقيمين.

لنبدأ بتذكر كيف نوجد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في الفضاء. نتذكر أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين، ومتجها اتجاهيهما ﻫ واحد وﻫ اثنان، فإن جتا 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﻫ واحد وﻫ اثنين مقسومًا على معيار ﻫ واحد في معيار ﻫ اثنين. بعبارة أخرى، يمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين بإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهي اتجاهيهما.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد متجهي اتجاه الخطين المستقيمين المعطيين. ولنبدأ بإيجاد متجه اتجاه المستقيم الأول. يوجد بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. أسهل طريقة هي ملاحظة أن ﺱ يظل ثابتًا عند واحد، وأن ﺹ يظل ثابتًا عند اثنين. لكن قيمة ﻉ يمكن أن تكون أي قيمة نريدها. وعليه، كلما تحركنا على طول المستقيم، فإن قيمة ﺱ لا تتغير، كما أن قيمة ﺹ لا تتغير. إذن، مركبتا ﺱ وﺹ في متجه اتجاهه تساويان صفرًا. يمكننا كتابة أن ﻫ واحد هو المتجه صفر، صفر، واحد.

وبالطبع، يمكننا أخذ أي مضاعف قياسي لهذا المتجه باعتباره متجه اتجاه لذلك المستقيم. يمكننا فعل الأمر نفسه بالضبط لإيجاد متجه اتجاه المستقيم الثاني. في هذه المرة، تظل قيمتا المركبتين ﺹ وﻉ ثابتتين عند سالب واحد وصفر، على الترتيب. ومن ثم، تتغير فقط قيمة ﺱ. هذا يعني أن متجه الاتجاه ﻫ اثنين لهذا المستقيم هو المتجه واحد، صفر، صفر.

والآن، توجد عدة طرق مختلفة يمكننا من خلالها الإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين ومعياريهما والتعويض بذلك في الصيغة. وهذه طريقة مناسبة؛ حيث يمكننا حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين بحساب مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة. نحصل على صفر في واحد زائد صفر في صفر زائد واحد في صفر، وهو ما يساوي صفرًا.

نجد بعد ذلك أن البسط في الطرف الأيسر من المعادلة يساوي صفرًا. إذن، لسنا بحاجة إلى حساب معيار المتجهين، على الرغم من أننا نلاحظ أن معيارهما يساوي واحدًا. وبما أن الطرف الأيسر من هذه المعادلة بسطه يساوي صفرًا، فيمكننا كتابة ذلك على الصورة جتا 𝜃 يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝜃 بحساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة. وبما أن الدالة العكسية لـ جتا صفر تساوي ٩٠ درجة، فإنه يمكننا استنتاج أن قياس 𝜃 يساوي ٩٠ درجة.

تجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا استخدامها للإجابة عن هذا السؤال. فعلى سبيل المثال، نلاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام بشأن متجهي الاتجاه. بما أن الإحداثي ﻉ لمتجه اتجاه الخط المستقيم الأول هو الذي يتغير فقط، فإنه يوازي المحور ﻉ. وبالمثل، بما أن الإحداثي ﺱ لمتجه اتجاه الخط المستقيم الثاني هو الذي يتغير فقط، فإن هذا المستقيم يوازي المحور ﺱ. إذن، يمكننا اختيار متجهي الاتجاه لهذين الخطين المستقيمين ليكونا متجهي الوحدة ﻉ وﺱ.

ومن ثم، يكون قياس الزاوية المحصورة بين هذين الخطين المستقيمين هو نفسه قياس الزاوية المحصورة بين متجهي الاتجاه هذين. وبالطبع، نحن نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بين متجهي الاتجاه هذين يساوي ٩٠ درجة؛ لأنه سيساوي قياس الزاوية المحصورة بين أي محورين.

وباستخدام أي من الطريقتين، يمكننا توضيح أن قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ﺱ يساوي واحدًا، ﺹ يساوي اثنين، والخط المستقيم ﺹ يساوي سالب واحد، ﻉ يساوي صفرًا؛ يساوي ٩٠ درجة.