نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد قياس الزاوية بين خطين مستقيمين في ثلاثة أبعاد. لتطبيق ذلك، سنستخدم صيغة جيب تمام الزاوية بين المستقيمين المعرفة في حاصل الضرب القياسي أو الضرب النقطي. يمكن تعريف الخطوط المستقيمة بطرق مختلفة، وسنرى كيف نوجد الزاوية بين مستقيمين معرفين بصور مختلفة. لا بد أن تكون قد صرت على دراية جيدة بإيجاد معادلات الخط المستقيم في الفضاء وحساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين.
المستقيم الموضح متجه اتجاهه ﻫ ويمر بالنقطة ﺃ، التي إحداثياتها ﺱ واحد، وﺹ واحد، وﻉ واحد. إذا كانت ﻡ وإحداثياتها ﺱ، وﺹ، وﻉ، تمثل أي نقطة على هذا المستقيم، وﺭ هو متجه الموضع للنقطة ﻡ، إذن يمكن كتابة المعادلة المتجهة للمستقيم على الصورة ﺭ يساوي ﺱ واحد ﺱ زائد ﺹ واحد ﺹ زائد ﻉ واحد ﻉ زائد ﻙ مضروبًا في ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ، حيث ﺱ وﺹ وﻉ متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ، كما أن ﻙ كمية قياسية. علمًا بأن كل قيمة لـ ﻙ تشير إلى متجه الموضع لنقطة واحدة على المستقيم. وهذه الصورة تكافئ الصورة البارامترية حيث ﺱ يساوي ﺱ واحد زائد ﻙﺃ، وﺹ يساوي ﺹ واحد زائد ﻙﺏ، وﻉ يساوي ﻉ واحد زائد ﻙﺟ. وكلتاهما تكافئان الصورة الكارتيزية حيث ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﺟ.
النقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﻉ واحد هي نقطة واحدة من بين عدد لا نهائي من النقاط على المستقيم. والمتجه ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ هو متجه الاتجاه ﻫ؛ وﺃ وﺏ وﺟ هي نسب الاتجاه. وبدلًا من ذلك، لأي خط مستقيم يمر بنقطتين ثابتتين معلومتين كما في الشكل اثنين؛ حيث إحداثيات النقطة ﺃ هي ﺱ واحد، وﺹ واحد، وﻉ واحد؛ وإحداثيات النقطة ﺏ هي ﺱ اثنان، وﺹ اثنان، وﻉ اثنان والمستقيم يوازي متجه الاتجاه ﻫ، حيث ﻫ يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد ﺹ زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد ﻉ، ونسب الاتجاه هي ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد، وﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد، و ﻉ اثنان ناقص ﻉ واحد؛ باستخدام ﺃ أو ﺏ نقطة ثابتة، يمكننا أيضًا كتابة المستقيم بإحدى الصور الثلاث المذكورة سابقًا، أي الصورة المتجهة أو البارامترية أو الكارتيزية.
لنفترض الآن أن لدينا مستقيمين في الفضاء هما ﻝ واحد وﻝ اثنان؛ حيث ﻝ واحد يوازي متجه الاتجاه ﻫ واحد، وﻝ اثنان يوازي متجه الاتجاه ﻫ اثنين، و𝜃 هي الزاوية بين المستقيمين. يمكننا كتابة هذين المستقيمين على الصورة المتجهة باستخدام المعادلتين الموضحتين، حيث ﺭ واحد هو متجه الموضع لأي نقطة على المستقيم ﻝ واحد، وﺭ اثنان هو متجه الموضع لأي نقطة على المستقيم ﻝ اثنين. ويمكننا كتابتهما باستخدام رموز المتجه الأكثر إيجازًا. والمكون الأهم لدينا في هذا السياق هو متجه الاتجاه ﻫ واحد ومتجه الاتجاه ﻫ اثنين. ﻫ واحد هو المتجه ﺃ واحد ﺱ زائد ﺏ واحد ﺹ زائد ﺟ واحد ﻉ. وﻫ اثنان هو متجه الاتجاه ﺃ اثنين ﺱ زائد ﺏ اثنين ﺹ زائد ﺟ اثنين ﻉ.
السبب في أهمية متجهي الاتجاه هذين أن الزاوية بين المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين تعرف بأنها الزاوية بين متجهي الاتجاه لكلا المستقيمين؛ ﻫ واحد وﻫ اثنين. إذا رسمنا ﻫ واحد وﻫ اثنين من نقطة مشتركة، يمكننا إيجاد قياس الزاوية بينهما باستخدام صيغة حاصل ضربهما القياسي، مع تذكر أن حاصل الضرب القياسي هو مجموع حاصل ضرب المعاملات المتناظرة لمتجهات الوحدة في كل اتجاه. وبالطبع، سيكون الناتج كمية قياسية. وتذكر أيضًا أن معيار أي متجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات معاملات متجه الوحدة، على سبيل المثال، معيار ﻫ واحد يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ واحد تربيع زائد ﺏ واحد تربيع زائد ﺟ واحد تربيع.
ولكن تذكر أننا نريد إيجاد 𝜃، وهي الزاوية بين المستقيمين. وإذا قسمنا طرفي المعادلة على حاصل ضرب معياري المتجهين مع تبديل طرفي المعادلة، فسنحصل على جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﻫ واحد وﻫ اثنين مقسومًا على حاصل ضرب معياري المتجهين. تلخيصًا لما سبق، لإيجاد قياس الزاوية بين مستقيمين، علينا تحويل المستقيمين إلى صورة يمكننا من خلالها معرفة متجه الاتجاه لكلا المستقيمين. نحسب حاصل الضرب القياسي لمتجهي الاتجاه، ونقسم على حاصل ضرب معياريهما، ثم نحسب الدالة العكسية لجيب التمام للناتج.
من المهم ملاحظة أنه إذا كان المستقيمان متعامدين، فإن ﻫ واحد ضرب قياسي ﻫ اثنين يساوي صفرًا، وهو ما يعني بالطبع أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٩٠ درجة أو 𝜋 على اثنين. أما إذا كان المستقيمان متوازيين، فإن حاصل الضرب القياسي يساوي موجب أو سالب حاصل ضرب معياريهما. في هذه الحالة، يكون قياس الزاوية إما صفرًا أو ١٨٠ درجة، حسب الاتجاهات. لذا دعونا نرى كيف نطبق ذلك تطبيقًا عمليًا ببعض الأمثلة؛ حيث لدينا في المثال الأول نسب الاتجاه للمستقيمين.
أوجد لأقرب ثانية قياس الزاوية التي تقع بين خطين مستقيمين النسب الاتجاهية لكل منهما سالب أربعة، سالب ثلاثة، سالب أربعة؛ وسالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد.
لدينا نسب الاتجاه لخطين مستقيمين. سنطلق على المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين. ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية بين هذين المستقيمين. سنفترض أولًا أن متجه الاتجاه لكل مستقيم من المستقيمين في الاتجاه الموجب، ومن ثم ستكون الزاوية بينهما زاوية حادة. لنطلق عليها 𝜃. والآن، تذكر أن نسب الاتجاه لأي مستقيم، ولدينا اثنان في هذا المثال، هي المعاملات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه اتجاه المستقيم بحيث يعرف متجه الاتجاه بأنه ﻫ يساوي ﺱﺱ زائد ﺹﺹ زائد ﻉﻉ، حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي نسب الاتجاه.
إذن، في المثال لدينا، متجها الاتجاه هما ﻫ واحد يساوي سالب أربعة ﺱ زائد سالب ثلاثة ﺹ زائد سالب أربعة ﻉ، وﻫ اثنان يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد سالب ثلاثة ﺹ زائد سالب واحد في ﻉ. والآن، لإيجاد الزاوية بين مستقيمين لهما متجها الاتجاه ﻫ واحد وﻫ اثنان، على الترتيب، يمكننا استخدام الصيغة جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهي الاتجاه ﻫ واحد وﻫ اثنين على حاصل ضرب معياري متجهي الاتجاه. وتذكر أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي مجموع حاصل ضرب المعاملات المتناظرة لمتجهات الوحدة وهي ﺱ وﺹ وﻉ لكل متجه، والناتج كمية قياسية. وتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات معاملات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجهات الوحدة.
وبالطبع في حالة متجه الاتجاه، تكون معاملات ﺱ وﺹ وﻉ هي نسب الاتجاه. إذن، في هذه الحالة، حاصل الضرب القياسي يساوي سالب أربعة في سالب ثلاثة زائد سالب ثلاثة في سالب ثلاثة زائد سالب أربعة في سالب واحد. هذا يساوي ١٢ زائد تسعة زائد أربعة، وهو ما يساوي ٢٥. ولكي نستخدم الصيغة، علينا أيضًا إيجاد معياري المتجهين. إذن، معيار ﻫ واحد، وهو متجه الاتجاه الأول، يساوي الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع زائد سالب أربعة تربيع. هذا يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦ زائد تسعة زائد ١٦، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٤١. ومعيار ﻫ اثنين يساوي الجذر التربيعي لسالب ثلاثة تربيع زائد سالب ثلاثة تربيع زائد سالب واحد تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لتسعة زائد تسعة زائد واحد، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٩.
لدينا إذن حاصل الضرب القياسي لمتجهي الاتجاه، والذي يساوي ٢٥. ومعيار ﻫ واحد يساوي الجذر التربيعي لـ ٤١. معيار ﻫ اثنين يساوي الجذر التربيعي لـ ١٩. وبعد إفراغ بعض المساحة، يمكننا التعويض بهذه القيم في الصيغة؛ حيث جتا 𝜃 يساوي ٢٥ على الجذر التربيعي لـ ٤١ في الجذر التربيعي لـ ١٩. بحساب الدالة العكسية لـ جتا في كلا الطرفين، نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ٢٥ على الجذر التربيعي لـ ٤١ في الجذر التربيعي لـ ١٩. ومن هذا نجد أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٢٦٫٣٩٩ درجة وهكذا مع توالي الأرقام. لكننا لم ننته بعد لأن المطلوب هو قياس الزاوية بين المستقيمين لأقرب ثانية.
في هذه المرحلة، من المهم أننا لم نقرب بعد العلامة العشرية. لدينا إذن ٢٦ درجة، سنحصل بعد ذلك على الدقائق بضرب جميع الأرقام بعد العلامة العشرية في ٦٠. وهذا يعطينا ٢٣٫٩٥٢ دقيقة وهكذا مع توالي الأرقام. ومجددًا، لا نقرب بعد العلامة العشرية؛ لأنه لإيجاد الثواني، سنضرب جميع الأرقام بعد العلامة العشرية مرة أخرى في ٦٠ لنحصل على ٥٧٫١٢٦. إذن لدينا ٢٦ درجة و٢٣ دقيقة و٥٧ ثانية. وبما أن الزاوية حادة، فقد حصلنا إذن على الاتجاهات الصحيحة. وعليه، فقياس الزاوية بين مستقيمين النسب الاتجاهية لكل منهما هي سالب أربعة، سالب ثلاثة، سالب أربعة، وسالب ثلاثة، سالب ثلاثة، سالب واحد، لأقرب ثانية، هو، 𝜃 وتساوي ٢٦ درجة و٢٣ دقيقة و٥٧ ثانية.
في المثال التالي، سننظر في كيفية إيجاد قياس الزاوية بين مستقيمين بمعلومية إحداثيات نقطتين على كل مستقيم منهما.
الخط المستقيم ﻝ واحد يمر بالنقطتين ﺃ وإحداثياتها (سالب اثنين، اثنان، سالب ثلاثة)؛ وﺏ وإحداثياتها (سالب ستة، سالب أربعة، سالب خمسة)؛ والخط المستقيم ﻝ اثنان يمر بالنقطتين ﺟ وإحداثياتها (واحد، أربعة، واحد)، وﺩ وإحداثياتها (سالب تسعة، سالب ستة، سالب تسعة). أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.
لدينا إحداثيات نقطتين على كل مستقيم من المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين، ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية بين الخطين المستقيمين. يمكننا القيام بذلك بعدة طرق، لكننا سنستخدم متجه الاتجاه للمستقيمين. نعلم أنه إذا كان لدينا مستقيم يمر بنقطتين هما النقطة ﻡ وإحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، والنقطة ﻥ وإحداثياتها ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، ﻉ اثنان، ويوازي متجه الاتجاه ﻫ، فإن متجه الاتجاه ﻫ لهذا المستقيم يساوي ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد في ﺱ زائد ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد في ﺹ زائد ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد ﻉ، حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي متجهات الوحدة في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ. ويمكننا إيجاد قياس الزاوية بين مستقيمين باستخدام الصيغة جتا 𝜃 يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجه الاتجاه لكلا المستقيمين على حاصل ضرب معيارهما.
ولاحظ أن معاملات ﺱ وﺹ وﻉ في متجه الاتجاه يطلق عليها نسب الاتجاه. إذن، لاستخدام الصيغة، علينا إيجاد متجه الاتجاه لكلا المستقيمين. فلنبدأ بالمستقيم ﻝ واحد الذي يمر بالنقطتين ﺃ وإحداثياتها سالب اثنين، اثنان، سالب ثلاثة؛ وﺏ وإحداثياتها سالب ستة، سالب أربعة، سالب خمسة. بالرجوع إلى متجه الاتجاه ﻫ، يصبح لدينا ﻫ واحد يساوي سالب ستة ناقص سالب اثنين في ﺱ زائد سالب أربعة ناقص اثنين في ﺹ زائد سالب خمسة ناقص سالب ثلاثة في ﻉ. وهذا يعني أن ﻫ واحد يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص ستة ﺹ ناقص اثنين ﻉ.
وأما المستقيم ﻝ اثنان الذي يمر بالنقطة ﺟ وإحداثياتها: واحد، أربعة، واحد؛ والنقطة ﺩ وإحداثياتها: سالب تسعة، سالب ستة، سالب تسعة؛ فمتجه الاتجاه ﻫ اثنين يساوي سالب تسعة ناقص واحد في ﺱ زائد سالب ستة ناقص أربعة في ﺹ زائد سالب تسعة ناقص واحد في ﻉ. وهذا يساوي سالب ١٠ﺱ زائد سالب ١٠ﺹ زائد سالب ١٠ﻉ. وبعد إفراغ بعض المساحة، يمكننا الآن استخدام متجهي الاتجاه في الصيغة. أول ما نحتاج إليه هو حاصل الضرب القياسي وهو ما يساوي حاصل ضرب معاملات ﺱ زائد حاصل ضرب معاملات ﺹ زائد حاصل ضرب معاملات ﻉ. والناتج بالطبع كمية قياسية. وبالتالي، سيكون لدينا سالب أربعة في سالب ١٠ زائد سالب ستة في سالب ١٠ زائد سالب اثنين في سالب ١٠. هذا يساوي ٤٠ زائد ٦٠ زائد ٢٠، وهو ما يساوي ١٢٠.
تذكر أيضًا أن معيار المتجه ﻫ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع، حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي معاملات ﺱ وﺹ وﻉ، والتي هي متجهات الوحدة. إذن للمتجه ﻫ واحد، معيار ﻫ واحد يساوي الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد سالب ستة تربيع زائد سالب اثنين تربيع. هذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٦. ومعيار متجه الاتجاه ﻫ اثنين يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٠ تربيع زائد سالب ١٠ تربيع زائد سالب ١٠ تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٠٠. سنفرغ بعض المساحة، ولدينا الآن جميع القيم التي نحتاجها لاستخدام الصيغة.
بالتعويض عن حاصل الضرب القياسي لـ ﻫ واحد في ﻫ اثنين، يساوي ١٢٠ على معيار ﻫ واحد في معيار ﻫ اثنين. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٦ في الجذر التربيعي لـ ٣٠٠. وبحساب الدالة العكسية لـ جتا لكلا الطرفين، نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ جتا ١٢٠ مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ٥٦ في الجذر التربيعي لـ ٣٠٠. وباستخدام الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٢٫٢٠٧٦ درجة وهكذا مع توالي الأرقام، وبالتقريب لأقرب منزلتين عشريين، نجد أن الناتج يساوي ٢٢٫٢١ درجة، ومن ثم فإن قياس الزاوية بين المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين على الترتيب ويمران بالنقاط ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ يساوي ٢٢٫٢١ درجة.
في المثال التالي، سنلقي نظرة على كيفية إيجاد قياس الزاوية بين مستقيمين بمعلومية المعادلة الكارتيزية لكل منهما.
أوجد لأقرب ثانية قياس الزاوية بين الخطين المستقيمين سالب اثنين ﺱ يساوي أربعة ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﻉ، وسالب أربعة ﺱ يساوي سالب خمسة ﺹ يساوي اثنين ﻉ.
لدينا خطان مستقيمان على الصورة الكارتيزية. تذكر أن الصورة الكارتيزية لأي خط مستقيم هي ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﺃ يساوي ﺹ ناقص ﺹ واحد على ﺏ يساوي ﻉ ناقص ﻉ واحد على ﺟ. وذلك حيث تقع النقطة ﺃ وإحداثياتها ﺱ واحد، وﺹ واحد، وﻉ واحد على المستقيم، وﺃ، وﺏ، وﺟ هي نسب الاتجاه لمتجه الاتجاه ﻫ، الذي يوازي المستقيم. لنبدأ بتسمية المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين. وعند مقارنة الحدود الثلاثة في الصورة الكارتيزية العامة بالمستقيمين، يمكننا تحديد النقطة على المستقيم. لكن الأهم من ذلك أنه يمكننا إيجاد نسب الاتجاه ﺃ وﺏ وﺟ، ومن ثم، متجه الاتجاه ﻫ لكل مستقيم.
يمكننا بعد ذلك استخدام الصيغة الموضحة لإيجاد جيب تمام الزاوية بين المستقيمين، وحساب الدالة العكسية لجيب التمام لإيجاد قياس الزاوية. إذن، لننظر أولًا إلى المستقيم ﻝ واحد. بمقارنة مقدار المتغير ﺱ بالصورة الكارتيزية، نجد أن سالب اثنين ﺱ يساوي ﺱ ناقص ﺱ واحد على ﺃ. وبفصل الكسر الموجود في الطرف الأيسر، يصبح لدينا ﺱ على ﺃ ناقص ﺱ واحد على ﺃ. وبمقارنة المعاملات، نجد أن سالب اثنين يساوي واحدًا على ﺃ، وصفر يساوي سالب ﺱ واحد على ﺃ. نستنتج من المعادلة الأولى قيمة ﺃ، حيث ﺃ يساوي سالب واحد على اثنين. ومن المعادلة الثانية، نستنتج أن صفرًا يساوي ﺱ واحد أو ﺱ واحد يساوي صفرًا. وبعد إفراغ بعض المساحة، سيكون لدينا ﺃ يساوي سالب نصف وﺱ واحد يساوي صفرًا.
وبتطبيق الأمر نفسه على الحد ﺹ، نجد أن ﺏ يساوي ربعًا وﺹ واحد يساوي صفرًا. وأخيرًا، فيما يتعلق بالحد ﻉ، نجد أن ﺟ يساوي سالب ثلث وﻉ واحد يساوي صفرًا. والآن، بتذكر أن ﺱ واحد وﺹ واحد وﻉ واحد هي إحداثيات النقطة ﺃ، فستكون إحداثيات النقطة ﺃ هي صفر، صفر، صفر. وبتذكر أننا نحصل على متجه الاتجاه من الصيغة ﻫ يساوي ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ؛ بذلك يكون متجه اتجاه المستقيم ﻝ واحد هو ﻫ واحد، وهو يساوي سالب نصف ﺱ زائد واحد على أربعة ﺹ زائد سالب ثلث ﻉ. وسنطلق على النقطة ﺃ واحد لتمييزها عن النقطة الواقعة على المستقيم ﻝ اثنين.
والآن إذا طبقنا الخطوات نفسها مع المستقيم الثاني ﻝ اثنين، فسنجد أن ﻝ اثنين يمر بالنقطة ﺃ اثنين التي إحداثياتها صفر، صفر، صفر، وله متجه الاتجاه ﻫ اثنين يساوي سالب واحد على أربعة ﺱ زائد سالب واحد على خمسة ﺹ زائد واحد على اثنين ﻉ. لا نحتاج إلا إلى استخدام متجهي الاتجاه للتعويض بهما في صيغة جتا 𝜃. سيتعين علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهي الاتجاه. وتذكر أن ذلك يساوي مجموع حاصل ضرب المعاملات ﺱ وﺹ وﻉ، وهي متجهات الوحدة، وأن معيار المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات معاملات ﺱ وﺹ وﻉ.
وبناء على ذلك، فإن حاصل الضرب القياسي يساوي سالب نصف في سالب ربع زائد ربع في سالب خمس زائد سالب ثلث في نصف. هذا يساوي واحدًا على ثمانية زائد سالب واحد على ٢٠ زائد سالب واحد على ستة، وهو ما يساوي سالب ١١ على ١٢٠. وبإفراغ بعض المساحة، علينا بعد ذلك إيجاد معياري المتجهين. معيار ﻫ واحد يساوي الجذر التربيعي لسالب نصف تربيع زائد ربع تربيع زائد سالب ثلث تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٦١ على ١٢. ومعيار ﻫ اثنين يساوي الجذر التربيعي لسالب ربع تربيع زائد سالب خمس تربيع زائد نصف تربيع. وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ١٤١ مقسومًا على ٢٠.
يمكننا الآن التعويض بالقيم الثلاث في الصيغة. وتذكر أن القسمة على كسر تعادل الضرب في مقلوبه. لدينا سالب ١١ في ١٢ في ٢٠ في البسط، و١٢٠ في الجذر التربيعي لـ ٦١ في الجذر التربيعي لـ ١٤١ في المقام. ويمكننا حذف ١٢ في البسط والمقام. نختصر الناتج ١٠ في المقام مع ٢٠ في البسط. وبذلك يصبح لدينا جتا 𝜃 يساوي سالب ٢٢ على الجذر التربيعي لـ ٦١ في الجذر التربيعي لـ ١٤١. سنفرغ بعض المساحة الآن، إذا حسبنا الدالة العكسية لـ جتا لكلا الطرفين، فسنجد أن قياس 𝜃 يساوي ١٠٣٫٧٢٢ درجة لأقرب ثلاثة منازل عشرية. لكن هذه زاوية منفرجة، وزاويتنا يجب أن تكون حادة. لذا دعونا نلق نظرة على متجهي الاتجاه.
في هذا المخطط لمتجهي الاتجاه، يمكننا رؤية أن الزاوية بينهما زاوية منفرجة. لكن عندما نشير إلى الزاوية بين مستقيمين، نعني الزاوية بين الاتجاهين الموجبين لكلا المتجهين. لكن المتجهين لدينا في اتجاهين متضادين. وعليه، فإن الزاوية التي استنتجناها هي الزاوية الأكبر بينهما. وفي الواقع، ما نريد إيجاده هو الزاوية الحادة الأصغر. الزاوية التي أوجدناها تناظر 𝛽 في هذا الشكل. والزاوية التي نريدها هي 𝛼، وهي تساوي ١٨٠ ناقص 𝛽. في حالتنا، ذلك يناظر ١٨٠ ناقص ١٠٣٫٧٢٢ وهكذا مع توالي الأرقام. أي ٧٦٫٢٧٨ درجة وهكذا مع توالي الأرقام.
لكننا لم ننته بعد؛ لأننا نريد قياس الزاوية لأقرب ثانية. بضرب الأرقام بالتتابع بعد العلامة العشرية في ٦٠، يصبح لدينا ٧٦ درجة، و١٦ دقيقة، و٣٩ ثانية. إذن، قياس الزاوية بين المستقيمين لأقرب ثانية يساوي ٧٦ درجة و١٦ دقيقة و٣٩ ثانية.
دعونا ننهي هذا الفيديو باسترجاع بعض النقاط الأساسية. إذا أوجدنا متجهي الاتجاه لخطين مستقيمين في الفضاء، يمكننا استخدام متجهي الاتجاه في الصيغة لإيجاد قياس الزاوية بينهما. لكن تذكر أننا نريد إيجاد قياس الزاوية الحادة بين الاتجاهين الموجبين لكلا المستقيمين.
