شارح الدرس: الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في الفضاء الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين بمعلومية نسب الاتجاه

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين نسب الاتجاه لكلٍّ منهما و.

الحل

لدينا نسب الاتجاه لخطين مستقيمين، سنُسمِّيهما ، . بتذكُّر أن نسب الاتجاه هي معاملات مركَّبات ، ، لمتجه الاتجاه، نحصل على متجهَي اتجاه المستقيمين ، ، كالآتي: حيث ، ، متجهات الوحدة في الاتجاهات ، ، .

نعلم أن الزاوية المحصورة بين مستقيمين متجهَا اتجاهَيْهما ، تُعطَى بالصيغة: حيث يشير إلى القيمة المطلَقة لحاصل الضرب القياسي للمتجهين ، ، ويشير إلى معيار المتجه ، كما يشير إلى معيار المتجه .

بالنسبة إلى المستقيمين ، ، حاصل الضرب القياسي لمتجهَي اتجاهَيْهما هو:

إذن القيمة المطلقة تساوي ٢٥. معيار المتجه هو: ومعيار المتجه هو:

باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية بين متجهَي الاتجاه، نحصل على:

وبأخذ معكوس جيب التمام لكلا الطرفين، نحصل على قياس هذه الزاوية:

طُلِبَ منا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية، ولإيجاد ذلك، نتذكَّر أن هناك ٦٠ دقيقة في درجة واحدة، و٦٠ ثانية في دقيقة واحدة. لذلك، نضرب الجزء العشري من هذه الدرجات في ٦٠، لنجد أن: . وبذلك يصبح لدينا (دقيقة)، ثم نضرب الجزء العشري من هذه الدقائق في ٦٠، نحصل على: (ثانية).

إذن، لأقرب ثانية، قياس الزاوية المحصورة بين الخطين المستقيمين ، هو .

مثال ٢: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في ثلاثة أبعاد بمعلومية إحداثيات أربع نقاط تقع عليهما.

الخط المستقيم يمر بالنقطتين ، ، والخط المستقيم يمر بالنقطتين ، . أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.

الحل

بالنسبة إلى المستقيم الأول ، سنبدأ بإيجاد نسب اتجاهه، التي يمكننا منها معرفة متجه اتجاهه. يمكننا عمل ذلك بطرح معاملات المركَّبات ، ، للنقطة الأولى من معاملات مركَّبات النقطة الثانية . من ثَمَّ؛ متجه اتجاه هو: حيث ، ، متجهات الوحدة في الاتجاهات ، ، . وبالمثل، عند استخدام النقطتين ، على المستقيم الآخر ، نحصل على متجه الاتجاه:

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين ، ، يمكننا استخدام الصيغة المُعاد ترتيبها للقيمة المطلَقة لحاصل الضرب القياسي لمتجهَي الاتجاه:

هذا يعني أنه لإيجاد قياس الزاوية، ، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهَي الاتجاه، ومعيارَيْهما ، . يُعطَى حاصل الضرب القياسي كالآتي:

إذن القيمة المطلقة، ، تساوي ١٢٠. معيار المتجه هو: ومعيار المتجه هو:

باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية بين متجهَي الاتجاه، نحصل على:

وبأخذ معكوس جيب التمام لكلا الطرفين، يكون قياس الزاوية:

إذن قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين ، يساوي لأقرب منزلتين عشريتين.

مثال ٣: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين بمعلومية معادلتَيْهما في ثلاثة أبعاد

أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين ، ، مقرِّبًا الناتج لأقرب ثانية.

الحل

بما أن الزاوية المحصورة بين مستقيمين في الفضاء هي الزاوية المحصورة بين متجهَي اتجاهَيْهما، إذن نُوجِد أولًا متجهَي اتجاهَيْهما لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما. يمكننا استخدام الصيغة الآتية لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين:

في هذا السؤال، لدينا مستقيم. هذا المستقيم هو ، والمُعطى على الصورة البارامترية: والمستقيم الآخر، ، مُعطى على الصورة الكارتيزية: حيث مضاعف قياسي، ويمر المستقيم بالنقطة ، وله متجه الاتجاه .

إذن بالنسبة إلى المستقيم :

بالمقارنة بالصورة البارامترية العامة، يمكننا ملاحظة أنه إذا كان يناظر ، فإن ، ، . هذه هي نسب الاتجاه لدينا، وبناءً على ذلك، فإن متجه الاتجاه يكون:

لاحِظ أنه ليس من الضروري أن نُحدِّد النقطتين، ، اللتين يمر بهما المستقيمان لإيجاد الزاوية بينهما. وعلى الرغم من ذلك، يمكننا في هذا السؤال معرفة ذلك بسهولة من المعادلة؛ حيث .

نتناول الآن المستقيم الآخر :

بما أن معاملات ، ، في كل بسط تساوي ١، وبالمقارنة بالصورة الكارتيزية العامة، إذن يمكننا مرةً أخرى ببساطة معرفة قيم نسب الاتجاه ، ، . وهذه القيم هي:

إذن متجه اتجاه المستقيم يساوي:

يمكننا الآن حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهَي الاتجاه، ، ومعيارَيْهما ، ، لاستخدام تلك القيم في صيغة جيب تمام الزاوية بين المستقيمين.

نحصل على حاصل الضرب القياسي كالآتي:

والقيمة المطلَقة لحاصل الضرب القياسي الذي نعوِّض به في الصيغة لدينا . معيار هو: ومعيار هو:

بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يصبح لدينا:

وبأخذ معكوس جيب تمام الزاوية للطرفين، يصبح قياس الزاوية:

إذا لم نأخذ القيمة المطلَقة لحاصل الضرب القياسي لمتجهَي الاتجاه، فسنجد أن جيب تمام الزاوية سالب. ومن خلال معرفتنا بحساب المثلثات نجد أن أخذ معكوس جيب تمام الزاوية لعدد سالب يعطينا زاوية منفرجة؛ أي زاوية أكبر من . لكن ما نريده هنا هو إيجاد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين؛ ولهذا نأخذ القيمة المطلَقة لحاصل الضرب القياسي. ثمة طريقة بديلة لذلك؛ وهي أن نأخذ أولًا معكوس جيب تمام الناتج السالب لدينا، لنحصل على:

بعد ذلك، لإيجاد قياس الزاوية الحادة، نطرح هذا الناتج من :

لإيجاد الدقائق والثواني لهذه الزاوية، نضرب تباعًا الجزء العشري في ٦٠، كالآتي:

إذن قياس الزاوية المحصورة بين الخطين المستقيمين ، هو .

مثال ٤: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية بين الخطين المستقيمين ، .

الحل

لدينا خطان مستقيمان في الفضاء سنشير إليهما بالرمزين ، :

المستقيمان معرَّفان على الصورة الكارتيزية؛ أي على الصورة: حيث تقع النقطة على المستقيم، كما أن ، ، هي نسب الاتجاه، ومتجه اتجاه المستقيم هو (حيث ، ، متجهات الوحدة في الاتجاهات ، ، ).

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المستقيمين ، ، نستخدم الصيغة الآتية:

علينا إذن معرفة نسب الاتجاه (، ، ) للمستقيمين، ويمكننا إيجاد تلك النسب بمقارنة الحدود الثلاثة في الصورة الكارتيزية العامة الموضَّحة بالأعلى بالحدود الموجودة في معادلة كلٍّ من المستقيمين.

بدءًا بالمستقيم ، نجد أن:

وبالمقارنة بين حدَّي أولًا، نجد أن: ثم بالمقارنة بين العوامل، نجد أن:

إذا حلَلْنا المعادلة الأولى لإيجاد قيمة ، فسنجد أن . بعد ذلك، عند حل المعادلة الثانية لإيجاد الحد الثابت، نجد أن . وباتباع الطريقة نفسها لحدود ، ، نجد أن ، وأن:

بما أن ، إذن نعلم من ذلك أن المستقيم يمر بالنقطة . وباستخدام قيم ، ، ، نجد أن للمستقيم متجه الاتجاه .

باتباع الطريقة نفسها مع المستقيم الآخر ، نجد أن هذا المستقيم يمر أيضًا بالنقطة (بما أن )، وأن: إذن للمستقيم متجه الاتجاه .

يمكننا الآن استخدام متجهات الاتجاه لإيجاد قياس الزاوية بين المستقيمين باستخدام الصيغة المذكورة بالأعلى، وذلك من خلال إيجاد القيمة المطلقة لحاصل الضرب القياسي ومعيارَي متجهَي الاتجاه. يُعطَى حاصل الضرب القياسي كالآتي:

وبناءً على ذلك، فإن قيمته المطلقة، ، تساوي . نحصل على معيار المتجه كالآتي: ومعيار المتجه كالآتي:

بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، يصبح لدينا:

إذا أخذنا الآن معكوس جيب التمام للطرفين، نحصل على:

لكننا لم ننتهِ بعدُ؛ حيث طُلِبَ منا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. ولعمل ذلك، نتذكَّر أنه تُوجَد ٦٠ دقيقة في درجة واحدة، و٦٠ ثانية في دقيقة واحدة. لذا، نضرب الجزء العشري من هذه الدرجات في ٦٠: . من ثَمَّ، يصبح لدينا (دقيقة)، وبضرب الجزء العشري من هذه الدقائق في ٦٠، نحصل على: (ثانية). إذن قياس الزاوية المحصورة بين الخطين المستقيمين ، ، لأقرب ثانية، هو .

مثال ٥: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين باستخدام جيوب تمام اتجاهَيْهما

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم الذي له نِسَب الاتجاه ، والخط المستقيم الذي له زوايا الاتجاه .

الحل

لدينا نسب اتجاه أحد المستقيمين، الذي سنُسمِّيه ، وزوايا اتجاه المستقيم الآخر، الذي سنُسمِّيه . لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين هذين المستقيمين، سنستخدم الصيغة: حيث ، جيوب تمام الاتجاه للمستقيمين ، . لكن، قبل أن نتمكَّن من فعل ذلك، سيكون علينا إيجاد جيوب تمام الاتجاه للمستقيمين. عند البدء بالمستقيم ، نجد أن لدينا نسب الاتجاه . جيب تمام الاتجاه للمركَّبة يُعطَى بالعلاقة: حيث الزاوية التي يصنعها متجه اتجاه المستقيم مع المحور . في هذا السؤال، لدينا:

وبإنطاق المقام، يصبح لدينا ، وباتِّباع الطريقة نفسها مع المركَّبتين ، ، نجد أن ، . من ثَمَّ؛ بالنسبة إلى المستقيم ، فإن جيوب تمام الاتجاه هي:

بالنسبة إلى المستقيم الآخر، ، لدينا زوايا الاتجاه ؛ لذا، سنحسب ببساطة جيوب تمام هذه الزوايا لإيجاد جيوب تمام الاتجاه. لتسهيل العملية الحسابية، نحوِّل أولًا قياس زاوية الاتجاه في الاتجاه إلى الصورة العشرية كالآتي:

إذن جيوب تمام اتجاه المستقيم هي:

بناءً على ذلك، جيب تمام الزاوية بين هذين المستقيمين يُعطَى بالعلاقة:

والآن، بأخذ معكوس جيب التمام لطرفَي المعادلة، نجد أن:

وأخيرًا، بالتحويل إلى الدرجات والدقائق والثواني عن طريق ضرب الأجزاء العشرية على الترتيب في ٦٠، نجد أن: ، . إذن قياس الزاوية المحصورة بين هذين الخطين المستقيمين، لأقرب ثانية، هو: .